Principe de l'argument

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En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument[1]) indique que si est une fonction méromorphe sur un ouvert simplement connexe dont l'ensemble des zéros et des pôles est fini, alors pour tout lacet à image dans ,

Un lacet simple et positivement orienté C (en noir), les zéros de (en bleu) et les poles de (en rouge).


est la valuation de en c'est-à-dire l'ordre de si est un zéro et l'opposé de l'ordre de si c'est un pôle et est l'indice du point par rapport au lacet.

Si est un lacet simple positivement orienté formant le bord d'un compact , la relation ci-dessus se réécrit :

et représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de dans comptés avec leur multiplicité.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tours que fait l'image de par autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du théorème de Rouché.

Considérons en effet le terme , et posons , où l'on peut supposer que est fonction du paramètre t, variant entre 0 et 1. Par définition de l'intégrale curviline,

.

Mais cette expression définit justement l'indice du chemin , qui s'interprète comme le nombre de "tours" effectués par le point autour de 0, lorsque t varie entre 0 et 1, ou ce qui revient au même, lorsque est "revenu" à son point de départ. Ainsi, E représente le nombre (algébrique) de tours efféctués autour de l'origine par f(z), lorsque z se meut sur le chemin , jusqu'à être revenu à son point d'origine.

Figure 1: Premier cas pour la fonction . En bleu le lacet avec , en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue trois tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).
Figure 2: Second cas pour la fonction . En bleu le lacet avec , en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue deux tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit la fonction ayant deux zéros simples en (la valuation de ces deux points est +1) et définie par :

.

Considérons le lacet le plus simple : le cercle centré à l'origine et de rayon , il y a deux cas à considérer :

  • Tout d'abord si , alors l'indice des deux zéros est nul et l'image du lacet par ne tourne pas autour de l'origine.
  • L'autre cas est : , alors l'indice des deux zéros est égal à 1 et l'image du lacet par tourne deux fois autour de l'origine en effet :
.


Considérons à présent la fonction ayant un pôle triple à l'origine et un zéro simple en (les valuations de ces deux points sont respectivement et ) et définie par :

.

En considérant comme ci-dessus le cercle , nous avons à nouveau deux cas à considérer :

  • Si , alors l'indice du zéro simple est nul, et il ne reste que le pôle triple à considérer, l'image du lacet par la fonction tourne trois fois (trois fois dans le sens anti-trigonométrique) autour de l'origine.
  • Si , on doit considérer le zéro et le pôle et donc l'image du lacet par la fonction tourne deux fois autour de l'origine.

Ces deux cas sont illustrés par les figures 1 et 2 ci-contre.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par hypothèse, et est holomorphe sur donc (quotient de deux fonctions holomorphes) est également holomorphe sur .

est simplement connexe donc le lacet est homotope à un point dans ; ainsi, on peut donc appliquer le théorème des résidus :

.

Pour , on a, au voisinage de  :

est holomorphe et ne s'annule pas sur un voisinage de et est la valuation de .

On a donc :

dont on tire :

.

Le quotient ci-dessus a un pôle simple en puisque est holomorphe et ne s'annule pas au voisinage de . On peut maintenant calculer le résidu en  :

,

avec . En insérant ce dernier résultat dans la première équation, nous obtenons finalement :

.

Applications[modifier | modifier le code]

Des ouvrages d'automatique utilisent assez fréquemment ce principe comme base théorique pour le critère de stabilité de Nyquist (en). La thèse originale de 1932 de Harry Nyquist[2] fait usage d'une approche plutôt maladroite et primitive pour développer le critère de stabilité. Dans sa thèse, H. Nyquist ne mentionnait pas le principe de l'argument. Par la suite, Leroy MacColl[3] et Hendrik Bode[4] sont partis du principe de l'argument pour déterminer le critère de stabilité, approche qui est utilisée actuellement dans bon nombre d'ouvrages d'analyse complexe ou d'automatique.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill, 1973 (ISBN 978-2-7042-0020-7)
  2. (en) H. Nyquist, Regeneration theory, Bell System Technical Journal, vol. 11, 1932, p. 126-147
  3. (en) Leroy Maccoll, Fundamental theory of servomechanisms, 1945
  4. (en) Hendrik Bode, Network analysis and feedback amplifier design, 1945

Voir aussi[modifier | modifier le code]