Perceptron multicouche

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Perceptron multicouche
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Un perceptron multicouche
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Inventeur

Le perceptron multicouche (multilayer perceptron MLP) est un type de réseau neuronal artificiel organisé en plusieurs couches au sein desquelles une information circule de la couche d'entrée vers la couche de sortie uniquement ; il s'agit donc d'un réseau à propagation directe (feedforward). Chaque couche est constituée d'un nombre variable de neurones, les neurones de la dernière couche (dite « de sortie ») étant les sorties du système global.

Le perceptron a été inventé en 1957 par Frank Rosenblatt au Cornell Aeronautical Laboratory. Dans cette première version le perceptron était alors mono-couche et n'avait qu'une seule sortie à laquelle toutes les entrées étaient connectées.

Perceptron multicouche à rétropropagation[modifier | modifier le code]

Les premiers réseaux de neurones n'étaient pas capables de résoudre des problèmes non linéaires ; cette limitation fut supprimée au travers de la rétropropagation[1] du gradient de l'erreur dans les systèmes multicouches, proposé par Paul Werbos (en) en 1974 et mis au point douze années plus tard, en 1986 par David Rumelhart (en).

Dans le perceptron multicouche à rétropropagation, les neurones d'une couche sont reliés à la totalité des neurones des couches adjacentes. Ces liaisons sont soumises à un coefficient altérant l'effet de l'information sur le neurone de destination. Ainsi, le poids de chacune de ces liaisons est l'élément clef du fonctionnement du réseau : la mise en place d'un Perceptron multicouche pour résoudre un problème passe donc par la détermination des meilleurs poids applicables à chacune des connexions inter-neuronales. Ici, cette détermination s'effectue au travers d'un algorithme de rétropropagation.

Algorithme de propagation[modifier | modifier le code]

Les poids sont représentés dans les matrices et , puis propagés à la couche suivante tel que :

Apprentissage[modifier | modifier le code]

Calcul de l'erreur[modifier | modifier le code]

En connaissant la valeur attendue à la sortie d'un perceptron pour des entrées données, on peut calculer l'écart avec la prédiction grâce à une fonction objectif [2], le plus souvent l'erreur quadratique moyenne (abrégée )[3], telle que :

 ;

Cette fonction n'est pas linéaire, et sa dérivée est plus grande si la prédiction est éloignée de la valeur attendue, permettant ainsi un apprentissage plus rapide[4]. Au contraire, l'erreur moyenne absolue () a une dérivée constante, et donc un taux d'apprentissage qui ne varie pas[5] :

 ;

En minimisant ces fonctions objectif, les prédictions gagnent en précision[6].

Calcul du gradient[modifier | modifier le code]

Durant la phase d'apprentissage, après avoir calculé les erreurs du réseau de neurones, il est nécessaire de les corriger afin d'améliorer ses performances. Pour minimiser ces erreurs – et donc la fonction objectif –, l'algorithme du gradient est le plus souvent utilisé[7]. Le gradient est calculé afin de connaître la variation de la fonction objectif par rapport aux paramètres [8]. Il permet ensuite de modifier ces paramètres proportionnellement à leur impact sur la précision de la prédiction, dans le but d'atteindre après plusieurs itérations le minimum global de la fonction objectif.

La modification des paramètres à un instant se fait tel que :

avec un scalaire, le taux d'apprentissage, et le gradient de la fonction objectif[9]. L'algorithme du gradient permet donc de trouver les paramètres du réseau tel que la somme des erreurs faites par les prédictions sur des données d'entrainement soit la plus faible possible, c'est-à-dire que :

Le gradient se calcule avec la dérivée partielle de la fonction objectif par rapport à chacun des paramètres[10]. Lorsqu'il y a plusieurs paramètres à optimiser, il est exprimé comme un vecteur, parfois noté , puis ensuite ajouté au vecteur des paramètres, après avoir été multiplié par le taux d'apprentissage. Le gradient indique la direction vers le maximum de la fonction objectif, et son opposé mène donc vers le minimum[11],[12]. Son expression est donc :

Soit le gradient sur un perceptron de la couche , alors l'ensemble des gradients de cette couche peuvent être stockés et manipulés dans une matrice jacobienne [13], c'est-à-dire une matrice contenant les dérivées partielles de la fonction objectif vectorielle sur toute la couche [14], avec :

 ;

En utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées, la variation de la fonction objectif par rapport à l'un des poids est[15] :

 ;

Avec la dérivée partielle de la fonction d'activation, et la dérivée partielle de la fonction objectif par rapport à la prédiction finale . En développant et en utilisant la règle de dérivation des sommes  :

 ;
, si la fonction sigmoïde sert d'activation, ou pour la tangente hyperbolique ;
 ;

L'apprentissage s'arrête lorsque les paramètres convergent vers des valeurs, et que la dérivée de la fonction objectif vaut 0.

Algorithme de rétropropagation[modifier | modifier le code]

  1. Présentation d'un motif d'entraînement au réseau.
  2. Comparaison de la sortie du réseau avec la sortie ciblée.
  3. Calcul de l'erreur en sortie de chacun des neurones du réseau.
  4. Calcul, pour chacun des neurones, de la valeur de sortie qui aurait été correcte.
  5. Définition de l'augmentation ou de la diminution nécessaire pour obtenir cette valeur (erreur locale).
  6. Ajustement du poids de chaque connexion vers l'erreur locale la plus faible.
  7. Attribution d'un blâme à tous les neurones précédents.
  8. Recommencer à partir de l'étape 4, sur les neurones précédents en utilisant le blâme comme erreur.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Rumelhart, D. E., Hinton, McClelland, and Williams, R. J. (1986), ―Learning Internal Representations by Error Propagation‖ Parallel Distributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cognition
  2. (en) Shiva Verma, « Understanding different Loss Functions for Neural Networks. », sur Medium, (consulté le 13 mars 2021)
  3. (en) Mohammed Zeeshan Mulla, « Cost, Activation, Loss Function|| Neural Network|| Deep Learning. What are these? », sur Medium, (consulté le 13 mars 2021)
  4. (en-US) « Mean Squared Error: Definition and Example », sur Statistics How To (consulté le 13 mars 2021)
  5. (en) Prince Grover, « 5 Regression Loss Functions All Machine Learners Should Know », sur Medium, (consulté le 13 mars 2021)
  6. (en) Shuyu Luo, « Optimization: Loss Function Under the Hood (Part I) », sur Medium, (consulté le 13 mars 2021)
  7. (en) Niklas Donges, « Gradient Descent: An Introduction to 1 of Machine Learning’s Most Popular Algorithms », sur Built In, (consulté le 28 mars 2021)
  8. (en) Nikil Reddy, « How Does the Gradient Descent Algorithm Work in Machine Learning? », sur Analytics Vidhya, (consulté le 28 mars 2021)
  9. (en-US) Imad Dabbura, « Gradient Descent Algorithm and Its Variants », sur Imad Dabbura, (consulté le 28 mars 2021)
  10. (en) Towards AI Team, « Gradient Descent for Machine Learning (ML) 101 with Python Tutorial », sur Medium, (consulté le 1er avril 2021)
  11. (en) Anjana Yadav, « Why we move opposite to gradients in Gradient Descent?? », sur Medium, (consulté le 1er avril 2021)
  12. (en) Shikhar Goswami, « Why direction of steepest descent is always opposite to the gradient of loss function? », sur Medium, (consulté le 1er avril 2021)
  13. (en) Matthew Barnett, « A Primer on Matrix Calculus, Part 2: Jacobians and other fun - LessWrong », sur Less Wrong, (consulté le 1er avril 2021)
  14. (en) Julien Herzen, « Computing the Jacobian matrix of a neural network in Python », sur Medium, (consulté le 1er avril 2021)
  15. (en) Chi-Feng Wang, « Calculating Gradient Descent Manually », sur Medium, (consulté le 14 mars 2021)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Marc Parizeau, Réseaux de Neurones (Le perceptron multicouche et son algorithme de retropropagation des erreurs), Université Laval, Laval, 2004, 272 p.
  • Fabien Tschirhart (dir. Alain Lioret), Réseaux de neurones formels appliqués à l'Intelligence Artificielle et au jeu, ESGI (mémoire de master de recherche en multimédia et animation numérique), Paris, 2009, 121 p. [mémoire en ligne (page consultée le 8 novembre 2010)]