Méthode de Condorcet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

La méthode Condorcet (aussi appelée scrutin de Condorcet ou vote Condorcet) est un système de vote dans lequel l'unique vainqueur, s'il existe, est le candidat qui, comparé tour à tour à chacun des autres candidats, s’avérerait à chaque fois être le candidat préféré. Un tel candidat est appelé vainqueur de Condorcet.

Rien ne garantit la présence d'un candidat satisfaisant au critère de victoire : c'est le paradoxe de Condorcet. Ainsi, tout système de vote fondé sur la méthode comparative de Condorcet doit prévoir un moyen de résoudre les votes pour lesquels ce candidat idéal n'existe pas.

Cette méthode doit son nom à Nicolas de Condorcet, mathématicien et philosophe français du XVIIIe siècle qui la justifie à partir d'une réflexion mathématique sur les probabilités d'erreur de jugement de la part des électeurs[1]. Cependant la méthode était déjà mentionnée par l'écrivain catalan Raymond Lulle au XIIIe siècle[2].

Motivation[modifier | modifier le code]

Dans son Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, Condorcet met en évidence le fait qu'une élection ordinaire peut très bien ne pas représenter les désirs des électeurs. On peut en prendre conscience dans les deux exemples suivants

Exemple dans l'histoire contemporaine
Considérons l'élection présidentielle française de 2007. Le vainqueur fut Nicolas Sarkozy avec le scrutin uninominal majoritaire à deux tours en vigueur. Pourtant, des sondages indiquaient qu'une majorité de Français auraient préféré François Bayrou à Nicolas Sarkozy[3], ce qui peut paraître contradictoire. Ces sondages montraient de plus que François Bayrou était préféré face à chacun de ses adversaires lors de ces élections. Ainsi, ce candidat aurait été élu si le système électoral français respectait la méthode de Condorcet et si les sondages remplaçaient un scrutin national.
Exemple théorique proposé par Condorcet[4]
Considérons une assemblée de 60 votants ayant le choix entre trois alternatives , et . Les préférences exprimées se répartissent ainsi, en notant la préférence relative de l'alternative par rapport à l'alternative  :
  • 23 votants :  ;
  • 19 votants :  ;
  • 16 votants :  ;
  • 2 votants : .
Avec un scrutin uninominal majoritaire à un tour, l’emporte avec 23 voix, sur avec 19 voix et sur avec 18 voix. D’où .
Avec un scrutin uninominal majoritaire à deux tours, et remportent le premier tour avec respectivement 23 voix et 19 voix. Les votants préférant reportent leur voix sur leur deuxième préférence et remporte le second tour (et l'élection) avec 35 voix, sur avec 25 voix. D’où, cette fois, .
Mais lorsqu'on compare deux à deux toutes les alternatives, on obtient :
  • 35 voix pour et 25 voix contre ;
  • 41 voix pour et 19 contre ;
  • 37 voix pour et 23 contre.
Ce qui conduit à la préférence majoritaire . Il ressort que est l'alternative préférée à toutes les autres alors qu'elle apparaît comme l'exacte opposée avec les deux scrutins précédents.

Condorcet propose alors sa propre méthode tout en admettant que l'organisation très lourde qu'elle implique ne la rend pas très réaliste pour des élections importantes. Elle ne peut, selon lui, qu'être associée à un tri préalable des candidats pour en limiter le nombre. Il met de plus en évidence l'existence de situations où sa propre méthode ne permet pas de choisir à coup sûr le bon candidat. C'est ce qu'on appelle le paradoxe de Condorcet. Il existe plusieurs méthodes pour réduire les conflits générés dans ces situations, comme le scrutin de Condorcet randomisé.

Principe[modifier | modifier le code]

Un scrutin de Condorcet obéit au principe de Condorcet, qui se veut être l'extension au cas général du principe qui lui semblait le plus naturel[5], à savoir que, entre deux choix, celui qui est préféré à l'autre doit être élu. Le principe de Condorcet est que « si un choix est préféré à tout autre par une majorité ou une autre, alors ce choix doit être élu. » Il est important de noter que les « majorités » en question, qui permettent à un choix d'être le vainqueur de Condorcet, peuvent dépendre des options alternatives. Par exemple le théorème de l'électeur médian est susceptible de s'appliquer dans certains environnements politiques et indique que l'option centriste est le vainqueur de Condorcet quand elle bat les options de gauche (avec l'aide des voix de droite), et les options de droite (avec les voix de gauche). Le principe de Condorcet semble logique dans le cadre d'un scrutin démocratique mais il est plus strictement plus demandant, et donc plus contestable, que l'exigence que, lors d'une élection, si une même majorité d'électeurs préfère un candidat à tous les autres candidats, alors ce candidat préféré est celui qui doit être désigné vainqueur du scrutin.

Dans les faits, la grande majorité des scrutins en vigueur dans les pays du monde contreviennent au principe de Condorcet

Déroulement du vote[modifier | modifier le code]

Forme des bulletins[modifier | modifier le code]

Chaque électeur classe les candidats par ordre de préférence.

Décompte des votes[modifier | modifier le code]

Le dépouillement du scrutin consiste à simuler l'ensemble des duels possibles : pour chaque paire de candidats, on détermine le nombre d'électeurs ayant voté pour l'un ou l'autre en vérifiant, sur chaque bulletin de vote, comment l'un était classé par rapport à l'autre. Ainsi pour chaque duel, il y a un candidat vainqueur. Fréquemment, il y a un unique candidat qui remporte tous ses duels : il s'agit du vainqueur du scrutin. La section suivante décrit ce qui se passe dans les cas où aucun candidat ne remporte tous ses duels.

Résolution des conflits[modifier | modifier le code]

Il arrive qu'aucun candidat ne soit élu à la suite du décompte des votes : Condorcet avait remarqué cet important paradoxe inhérent à la méthode, appelé le paradoxe de Condorcet : dans une élection dont les candidats sont A, B et C, dès que le nombre des électeurs est supérieur à deux, A peut être préféré à B, lui-même préféré à C, lui-même préféré à A. Plusieurs méthodes sont utilisables pour résoudre ce conflit de circularité[6]. Par exemple:

  1. On cherche le candidat qui a gagné le plus de confrontations. Cette méthode dite parfois de Copeland est simple mais donne souvent des ex-æquo ;
  2. On utilise la méthode Borda (le fait d’appliquer la méthode Condorcet puis, en cas de conflit uniquement, la méthode Borda s’appelle la méthode Black) ;
  3. On utilise la méthode Schulze ;
  4. On utilise la méthode Condorcet avec rangement des paires par ordre décroissant (en anglais: ranked pairs). On classe les paires selon les plus grandes différences observées, on construit alors un graphe orienté (qui gagne contre qui ?) en commençant par la paire ayant la plus forte différence et en descendant dans l'échelle en éliminant les paires qui pourraient conduire à une boucle (paradoxe de Condorcet). Le graphe final permet de définir un gagnant.
  5. On utilise le scrutin de Condorcet randomisé c'est-à-dire qu'on choisit le candidat vainqueur au hasard entre un certain nombre de candidats, suivant des probabilités particulières "optimales" ;
  6. On choisit celui qui a le moins perdu lors de sa plus mauvaise confrontation ;
  7. On constitue un groupe de tête : un candidat appartient au groupe de tête si, lors du décompte des votes, il est parvenu à battre tous les autres candidats, sauf ceux du groupe de tête. Une fois ce groupe de tête défini, on procède à un choix dans ce groupe de tête suivant une méthode ou une autre :
    1. En utilisant un vote alternatif,
    2. En choisissant le candidat qui a le moins perdu dans sa plus mauvaise confrontation,
    3. En éliminant au fur et à mesure ceux dont la défaite a été la plus faible,
    4. En comptant le nombre de fois ou chaque candidat est premier ou en appliquant la méthode Borda sur seulement les candidats de tête.

Le choix de la méthode doit être fixé avant le vote, ce choix ayant des conséquences sur la détermination du vainqueur.

Exemples[modifier | modifier le code]

Groupe de tête et moins mauvaise défaite[modifier | modifier le code]

Lors d'une élection, trois candidats (X, Y et Z) se retrouvent dans le groupe de tête. Les résultats des votes pour ces trois candidats sont :

  • 41 électeurs ont voté pour 1er = X ; 2e = Y ; 3e = Z
  • 33 électeurs ont voté pour 1er = Y ; 2e = Z ; 3e = X
  • 22 électeurs ont voté pour 1er = Z ; 2e = X ; 3e = Y

Lorsque l'on effectue les comparaisons par paires,

  X : contre Y = 41+22-33 = +30 (donc X gagne par 30 votes)
     contre Z = 41-33-22 = -14 (donc X perd par 14 votes)
  Y : contre X = -30
     contre Z = 52
  Z : contre X = 14
     contre Y = -52

X gagne donc, puisque son plus mauvais résultat (-14) est meilleur que ceux de Y et Z (respectivement -30 et -52)

Classement des paires et graphe[modifier | modifier le code]

Reprenons l'exemple précédent et ajoutons un quatrième candidat T. Imaginons que

  • 41 électeurs ont voté pour 1er = X; 2e = Y ; 3e = T; 4e = Z
  • 33 électeurs ont voté pour 1er = Y; 2e = Z ; 3e = T; 4e = X
  • 22 électeurs ont voté pour 1er = Z; 2e = X ; 3e = T; 4e = Y

Le classement des paires donne

  • Y gagne contre Z et Y gagne contre T (52)
  • X gagne contre Y et X gagne contre T (30)
  • Z gagne contre X, Z gagne contre T (14)

La constitution du graphe se fait dans l'ordre : Y > Z et Y > T, puis X > Y (pas de cycle), puis on élimine Z > X qui constituerait une boucle, on conserve X > T et Z > T. Le gagnant est alors X car X > Y > Z > T.

La méthode Condorcet comparée au vote alternatif[modifier | modifier le code]

Le vote alternatif est un autre système de vote par classement utilisé principalement en Australie. Il arrive que le vote alternatif ne donne pas le même résultat que la méthode de Condorcet.

Cependant, s'il existe un gagnant de Condorcet sans conflit, c'est-à-dire un candidat mieux placé que tous ses adversaires, et si on suppose que les votes ont été sincères et non stratégiques, la confrontation entre le gagnant de Condorcet et le gagnant du vote alternatif lors d'un simple scrutin majoritaire tournera évidemment à l'avantage du gagnant de Condorcet. Mais cela peut ne toujours être le cas suivant la méthode utilisée pour résoudre les conflits.

Utilisation du vote de Condorcet[modifier | modifier le code]

Par des organisations[modifier | modifier le code]

Cette méthode n'est pas utilisée actuellement dans des élections nationales. Elle commence cependant à être utilisée dans certaines organisations publiques. Parmi elles, on peut trouver :

Implémentations logicielles[modifier | modifier le code]

Il existe de nombreuses solutions pour calculer Condorcet et les différentes méthodes respectant ses critères. La plupart d'entre elles sont constituées sous forme de logiciel libre.

PHP :

Condorcet PHP
Application en ligne de commande ou bibliothèque en langage PHP, permettant de manipuler des élections pour la quasi-totalité des méthodes respectant les critères de Condorcet ainsi que d'autres systèmes de votes. Il permet le calcul de classement complet et l'accès aux statistiques détaillées de ceux-ci. Lorsqu'il est utilisé dans son mode librairie logicielle, il offre des fonctions de gestionnaire d'élection (simulation, gestion des performances, sécurité, paramètres avancées).
Distribué sous licence MIT.
Electowidget
Module pour MediaWiki, distribué sous une licence de style BSD.

HTML5 / Javascript :

bgotink/Schulze
Interface graphique HTML5 / Javascript réalisant la méthode de Schulze. Distribué sous licence GPL3.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Condorcet, Essai sur 'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix Paris: Imprimerie Royale, 1785. . [lire en ligne].
  2. Artificium electionis personarum (1247-1283) et De arte electionis (1299).
  3. « Sondage: au second tour, Bayrou gagnerait face à Sarkozy ou Royal », Libération,‎ (lire en ligne, consulté le 24 avril 2018).
  4. Condorcet, Discours préliminaire: Essai sur l’application de l’analyse, 1785, p. 58.
  5. « (...) puisqu'il était nécessaire de se laisser guider par une volonté unique, c'était la volonté du petit nombre qui naturellement devait se sacrifier à celle du plus grand » - Marquis de Condorcet, Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, 1785, préliminaire iii)
  6. Jean-François Laslier, Tournament Solutions and Majority Voting, Heidelberg, New–York: Springer–Verlag, 1997.