Point adhérent

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En mathématiques et plus précisément en topologie, un point adhérent à une partie A d'un espace topologique E est un élément de l'adhérence de A, c'est-à-dire un point x de E tel que tout voisinage de x rencontre A (i.e. est non disjoint de A) ou encore : tout ouvert contenant x rencontre A. Tous les points de A sont adhérents à A ; d'autres points de E peuvent aussi, selon le cas, être adhérents à A.

La notion de point adhérent à un ensemble A n'est pas intrinsèque, en ce sens qu'elle dépend de l'espace topologique dont A est vu comme sous-ensemble.

Un point de E est non adhérent à A si et seulement s'il est intérieur à E\A. Un tel point est dit extérieur[1] à A.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Tout élément de A est adhérent à A.
  • Si la topologie de E est discrète, seuls les points de A sont adhérents à A.
  • Si la topologie de E est grossière et si A est non vide, tout point de E est adhérent à A.

Point limite, point isolé, partie discrète[modifier | modifier le code]

On dit qu'un point x de E est un point limite de A si tout voisinage de x contient au moins un élément de A autre que x. Autrement dit, x est un point limite de A si x est adhérent à A\{x}.

Selon les auteurs (cf. section suivante), l'ensemble dérivé de A, noté A' , désigne :

  • soit l'ensemble des points limites de A ;
  • soit l'ensemble des points d'accumulation de A ;
  • soit les deux lorsqu'ils sont identiques.

Un point de l'adhérence A qui n'est pas dans A est automatiquement un point limite de A, donc :

et A est fermé si et seulement s'il contient tous ses points limites.

Dans un espace T1, A' est fermé :

Un point de A qui n'est pas un point limite de A est appelé point isolé de A.

Une partie dont tous les points sont isolés est appelée partie discrète. En effet, la topologie induite sur A par la topologie de E est discrète si et seulement si tout point de A est isolé.

Point d'accumulation[modifier | modifier le code]

Comme indiqué dans le glossaire de topologie, il n'y a pas de consensus dans le monde francophone sur la différence entre « point limite » et « point d'accumulation ». Il y a actuellement deux écoles.

Pour la première école, représentée par Choquet[2], Schwartz[3] et Willard[4] et adoptée dans l'article détaillé, les expressions « point d'accumulation » et « point limite » sont synonymes. Si A est une partie d'un espace topologique, un point d'accumulation ou point limite de A est un point x dont tout voisinage contient un point de A distinct de x. Autrement dit, un point x est un point d'accumulation de A si et seulement s'il est adhérent à A \ {x}.

Pour la deuxième école, représentée par Steen et Seebach[5] et adoptée dans cet article, « point d'accumulation » désigne une propriété plus forte que « point limite ». On dit qu'un point x de E est un point d'accumulation de A si tout voisinage de x contient une infinité de points de A. Tout point d'accumulation de A dans E est donc un point limite de A, mais la réciproque n'est vraie que si E est un espace T1 ou a fortiori s'il est séparé (espace T2), en particulier s'il est métrisable. Mais dans un espace topologique quelconque, A peut avoir des points limites qui ne sont pas des points d'accumulation. Par exemple, si E est un ensemble fini non vide muni de la topologie grossière et si A est une partie stricte non vide de E, tout point de E \ A est point limite de A mais A ne possède pas de point d'accumulation dans E.

Caractérisation séquentielle[modifier | modifier le code]

Si un point x de E est limite d'une suite d'éléments de A alors x est adhérent à A. La réciproque est vraie si E est métrisable (ou plus généralement si x admet un système fondamental de voisinages dénombrable). Dans un tel espace on a donc de même : x est point limite de A si et seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de A distincts de x.

De plus, dans un espace T1, rappelons que « point limite » est synonyme de « point d'accumulation » et remarquons que par ailleurs, un point est limite d'une suite d'éléments de A distincts de lui-même si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A. Dans un espace métrique on a donc : un point de E est point d'accumulation de A si et seulement s'il est limite d'une suite injective d'éléments de A.

Dans des espaces plus généraux, les suites ne fonctionnent plus ; il est préférable d'utiliser alors les filtres ou les suites généralisées.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, vol. 1, Paris, Gauthier-Villars, (OCLC 7471923), p. 38.
  2. Gustave Choquet, Cours d'analyse, vol. 2 : Topologie, Paris, Masson, 2e éd. revue et corrigée, 2e tirage 1973 (1re éd. 1964) (OCLC 802147174), p. 14.
  3. Laurent Schwartz, Analyse : Topologie générale et analyse fonctionnelle, vol. 1, Paris, Hermann, 2e éd. revue et corrigée, nouveau tirage 1993 (1re éd. 1970) (OCLC 797583398).
  4. (en) Stephen Willard, General Topology, Reading, Mass., Addison-Wesley, (1re éd. 1968) (OCLC 633848112) — réimprimé par Dover, Mineola, New York en 2004 [lire en ligne].
  5. (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach , Jr., Counterexamples in Topology, New York, Springer, 2e éd., 1978 (1re éd. 1970) (OCLC 3649846) — réimprimé par Dover, Mineola, New York en 1995 (ISBN 978-0-486-68735-3).

Articles connexes[modifier | modifier le code]