Intégrale de Stieltjes

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L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a,b], ainsi qu'une subdivision a=x_0 <x_1 <x_2<...< x_{n-1}<x_n=b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

\sum_{i=0}^{n-1}f(\xi_i )\bigl(g(x_{i+1})-g(x_i)\bigr),

avec ξi ∈ [xi, xi+1], tend vers une limite fixe S lorsque le pas max(xi+1xi) tend vers 0, alors S est appelé l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g. On la note

 \int_a^bf(x)\,\mathrm dg(x)\,\!

ou simplement

 \int_a^b f\,\mathrm dg\,\!.

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas. Cependant, si f est continue et g' = \mathrm dg/\mathrm dx possède une intégrale de Riemann sur l'intervalle considéré, alors

 \int_a^bf(x)\,\mathrm dg\,\!(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm dx\,\!.

Ainsi, si f est continue et si g(x)=x, on retrouve la définition classique de l'intégrale de f au sens de Riemann, puisque g'(x)=1 alors que \mathrm dg(x)=dx. L'intégrale de Stieljes étend donc la définition de Riemann.

Plus généralement, si f est continue et g à variations bornées, cette intégrale est bien définie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) H. Jeffreys et B.S. Jeffreys, Integration: Riemann, Stieltjes, §1.10 Methods of Mathematical Physics, 3e éd., Cambridge, CUP, 1988 (ISBN 0-521-66402-0), p. 26–36
  • (en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11, p. 247–269
  • (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, CUP,‎ 2007 (ISBN 978-0-52184903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486-494