Intégrale de Stieltjes

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L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

avec ξi ∈ [xi–1, xi], tend vers une limite S lorsque le pas max(xixi – 1) tend vers 0, alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes[1]) de la fonction f par rapport à g. On la note

ou simplement ba f dg.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie[2],[3]. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue[4] (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties[5] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes ou existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à

Formules de la moyenne[6] — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

  • Première formule :
  • Deuxième formule :

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ba g(x)h(x) dx).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Einar Hille (de) et Ralph S. Phillips (en), Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
  2. (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, (ISBN 978-1-60021784-5, lire en ligne), p. 54.
  3. (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, CUP, (ISBN 978-0-52184903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
  4. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, (lire en ligne), p. 255.
  5. Hille et Phillips 1996, p. 63.
  6. Xiao 2008, p. 60.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, , 3e éd. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
  • (en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11, p. 247–269