Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856-1894).

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, on considère deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

$\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )},$

avec ξ_i ∈ [x_i–1, x_i], tend vers une limite S lorsque le pas max(x_i – x_{i – 1}) tend vers 0, alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes) de la fonction f par rapport à g. On la note

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)$

ou simplement ∫^b
_a f dg.

Propriétés

L'intégrale de Stieltjes est linéaire :

$\int _{a}^{b}(Kf_{1}(x)+f_{2}(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=K\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)+\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x).$

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.$

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g$ ou $\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} f$ existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à $\left[fg\right]_{a}^{b}:=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Démonstration

On suppose par exemple que la seconde existe. En ajoutant à la « subdivision marquée » ci-dessus les points $\xi _{n+1}=b$ et $\xi _{0}=a$, on trouve : $\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\left(g(x_{i})-g(x_{i-1})\right)=f(b)g(b)-f(a)g(a)+\sum _{i=0}^{n}\left(f(\xi _{i})-f(\xi _{i+1})\right)g(x_{i}).$ On conclut en utilisant que max(ξ_j – ξ_{j – 1}) ≤ 2 max(x_i – x_{i – 1}).

On a ainsi que si f est Stieltjes-intégrable, on a : $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\sup \left\lbrace h(x)\,\mathrm {d} g(x),h\ {\textrm {constante}}\ {\textrm {par}}\ {\textrm {morceaux}}\ {\textrm {et}}\ h<g\right\rbrace$$

Formules de la moyenne — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

• Première formule :

$\int _{a}^{b}f~\mathrm {d} g=f(c)\left(g(b)-g(a)\right).$

• Deuxième formule :

$\int _{a}^{b}g~\mathrm {d} f=g(a)\int _{a}^{c}\mathrm {d} f+g(b)\int _{c}^{b}\mathrm {d} f.$

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

$\int _{a}^{b}g(x)h(x)~\mathrm {d} x=g(a)\int _{a}^{c}h(x)~\mathrm {d} x+g(b)\int _{c}^{b}h(x)\mathrm {d} x.$

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ∫^b
_a g(x)h(x) dx).

Exemples et cas spéciaux

Intégrale de Riemann

L'intégrale de Riemann classique est une intégrale de Riemann-Stieltjes avec g(x) = x.

Fonction de Heaviside

Si g(x) est la fonction de Heaviside H(x). Alors l'intégrale de Stieltjes pour f vaut

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} H(x)=f(0).$

Redresseur

On considère la fonction g(x) = max {0, x}, utilisée dans l'étude des réseaux neuronaux, appelée Unité Linéaire Rectifiée (ReLU). Alors l'intégrale de Riemann–Stieltjes pour g vaut

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x$

où l'intégrale du terme de droite est l'intégrale de Riemann classique.

Cas où g est une fonction constante par morceaux croissante finie

On considère une subdivision finie de l'intervalle [a , b], soit a = a₁ < a₂ < ... < a_n = b, et une suite de valeurs réelles α₁ < α₂ < ... < α_n, de sorte que :

$\forall 1<k<n,\ \forall x\in ]a_{k},a_{k+1}[,\ g(x)=\alpha _{k}\ {\text{ et }}\alpha _{k-1}<g(a_{k})<\alpha _{k}$.

Ainsi, sur tout l'intervalle, g est constante par morceaux et croissante en tout point. Alors dans ce cas, on a :

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\sum _{k=1}^{n}(\alpha _{k}-\alpha _{k-1})f(a_{k})$.

Cette définition peut être étendue afin d'exprimer des séries convergentes comme des intégrales de Stieltjes.

Cas où g est dérivable

Si g est dérivable et de dérivée continue sur $\mathbb {R}$, on peut démontrer que

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x$,

où l'intégrale du terme de droite est l'intégrale de Riemann usuelle, en supposant que f admet une intégrale de Riemann-Stieltjes.

Plus précisément, il y a égalité entre l'intégrale de Riemann et celle de Riemann-Stieltjes si g est l'intégrale de Lebesgue de sa dérivée (donc si g est absolument continue). Il est possible que g soit discontinue ou de dérivée nulle presque partout, auquel cas l'intégrale de Riemann-Stieltjes n'est pas calculable en utilisant l'expression de la dérivée de g.

Application à la théorie de probabilités

Si G est la fonction de répartition de la loi d'une variable aléatoire X qui admet une densité par rapport à la mesure de Lebesgue, et f est une fonction quelconque d'espérance finie, alors la fonction de densité de X est la dérivée de G et on a :

$\mathbb {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)G'(x)\,\mathrm {d} x.$

Cependant, cette égalité n'est pas vérifiée si X n'admet par de densité Lebesgue-intégrable, ce qui est le cas pour toute variable suivant une loi discrète (auquel cas la densité est une somme pondérée de distributions de Dirac), ou si G est continue mais pas absolument continue (comme la fonction de Cantor). Toutefois, l'identité

$\mathbb {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} G(x)$

est vraie pour toute fonction réelle g représentant une fonction de répartition, peu importe ses propriétés. En particulier, peu importe les propriétés de la fonction de répartition G d'une variable aléatoire X, si le moment E(Xⁿ) existe, alors il vaut

$\mathbb {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{n}\,\mathrm {d} G(x).$

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Lebesgue
• Intégration de Lebesgue-Stieltjes
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale d'Itō
• Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

• (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, 1988, 3^e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
• (en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Stieltjes Integral », sur MathWorld