Intégrale de Stieltjes

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L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\bigl(g(x_i)-g(x_{i-1})\bigr),

avec ξi ∈ [xi–1, xi], tend vers une limite S lorsque le pas max(xixi – 1) tend vers 0, alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes[1]) de la fonction f par rapport à g. On la note

\int_a^bf(x)\,\mathrm dg(x)

ou simplement ba f dg.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie[2],[3]. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue[4] (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

 \int_a^bf(x)\,\mathrm dg\,\!(x)=\int_a^bf(x)g'(x)\,\mathrm dx.

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties[5] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes \int_a^b f\,\mathrm dg ou \int_a^b g\,\mathrm df existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à \left[fg\right]_a^b:=f(b)g(b)-f(a)g(a).

Formules de la moyenne[6] — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

  • Première formule :
\int_a^bf~\mathrm dg=f(c)\bigl(g(b)-g(a)\bigr).
  • Deuxième formule :
\int_a^bg~\mathrm df=g(a)\int_a^c\mathrm df+g(b)\int_c^b\mathrm df.

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

\int_a^bg(x)h(x)~\mathrm dx=g(a)\int_a^ch(x)~\mathrm dx+g(b)\int_c^bh(x)\mathrm dx.

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ba g(x)h(x) dx).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Einar Hille (de) et Ralph S. Phillips (en), Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS,‎ (1re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
  2. (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers,‎ (ISBN 978-1-60021784-5, lire en ligne), p. 54.
  3. (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I: Classical Theory, CUP,‎ (ISBN 978-0-52184903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
  4. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover,‎ (lire en ligne), p. 255.
  5. Hille et Phillips 1996, p. 63.
  6. Xiao 2008, p. 60.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP,‎ , 3e éd. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
  • (en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11, p. 247–269