Intégrale d'Itō

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L'intégrale d'Itō, appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō est un des outils fondamentaux du calcul stochastique.

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) ainsi que un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à , alors l'intégrale d'Itô

est définie par la limite en moyenne quadratique de

lorsque le pas de la partition de tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par , est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: . Noter que cette dernière intégrale est "classique", i.e. est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Voir aussi[modifier | modifier le code]