Fonction nombre de diviseurs

En théorie des nombres — une branche des mathématiques — la fonction nombre de diviseurs est une fonction arithmétique qui indique le nombre de diviseurs d'un entier naturel n, en incluant parmi les diviseurs de n les nombres 1 et n. Elle est généralement notée $d$ ou $\tau$ (de l'allemand Teiler : diviseur), ou encore $\sigma _{0}$, comme cas particulier de fonction diviseur.

Définition

Pour tout nombre naturel $n$ on définit :

$d(n):=\operatorname {card} \left(\{d\in \mathbb {N} \mid 1\leq d\leq n\ {\text{et}}\ d\mid n\}\right)$.

Les premières valeurs sont les suivantes :

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Diviseurs de $n$	1	1, 2	1, 3	1, 2, 4	1, 5	1, 2, 3, 6	1, 7	1, 2, 4, 8	1, 3, 9	1, 2, 5, 10	1, 11	1, 2, 3, 4, 6, 12
$d(n)$	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4	2	6

Propriétés

• On a l'identité suivante : $\sum _{k=1}^{n}d(k)=\sum _{m=1}^{n}E({\frac {n}{m}})$
• Si la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ est

  $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots p_{r}^{e_{r}}$,

  alors :

  $d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dots (e_{r}+1)$.

• La fonction nombre de diviseurs est donc multiplicative, c.-à-d. que si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, alors :

  $d(mn)=d(m)d(n)$.

• Un nombre $n$ est premier si et seulement si $d(n)=2$.
• Un nombre $n$ est un carré parfait si et seulement si $d(n)$ est impair.
• La série de Dirichlet de la fonction nombre de diviseurs est le carré de la fonction zêta de Riemann :

  $\zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}$ (pour $\operatorname {Re} (s)>1$).

Comportement asymptotique

En moyenne, $d(n)\approx \log n$. Plus précisément : il existe des constantes $\beta \leq {\tfrac {1}{2}}$ telles que

$\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta })$

(où $O$ est un symbole de Landau et $\gamma$ la constante d'Euler-Mascheroni.)

La valeur $\beta ={\tfrac {1}{2}}$ a déjà été prouvée par Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, c'est pourquoi la recherche de meilleures valeurs est appelée le « problème des diviseurs de Dirichlet (en) ».

De meilleures valeurs ont été indiquées par Gueorgui Voronoï (1903, $O(x^{\beta })$ remplacé par $O({\sqrt[{3}]{x}}\log x)$), Johannes van der Corput (1922, $\beta ={\tfrac {33}{100}}$), ainsi que Martin Huxley (de) ($\beta ={\tfrac {131}{416}}$). À l'opposé, Godfrey Harold Hardy et Edmund Landau ont démontré que $\beta$ est nécessairement supérieur ou égal à 1/4. Les valeurs possibles pour $\beta$ sont toujours l'objet de recherches.

Plus petit entier ayant un nombre prescrit de diviseurs

$n_{min}(d)$ : plus petit $n$ ayant $d$ diviseurs.

$d$	$n_{min}(d)$	Factorisation de $n_{min}(d)$
1	1	1
2	2	2
3	4	22
4	6	2·3
5	16	24
6	12	22·3
7	64	26
8	24	23·3
9	36	22·32
10	48	24·3
11	1 024	210
12	60	22·3·5
13	4 096	212
14	192	26·3
15	144	24·32
16	120	23·3·5
17	65 536	216
18	180	22·32·5
19	262 144	218
20	240	24·3·5
21	576	26·32
22	3 072	210·3
23	4 194 304	222
24	360	23·32·5
25	1 296	24·34
26	12 288	212·3
27	900	22·32·52
28	960	26·3·5
29	268 435 456	228
30	720	24·32·5
31	1 073 741 824	230
32	840	23·3·5·7
33	9 216	210·32
34	196 608	216·3
35	5 184	26·34
36	1 260	22·32·5·7

 

Généralisations

La fonction diviseur $\sigma _{k}$ associe à chaque nombre $n$ la somme des puissances $k$-ièmes de ses diviseurs :

$\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}$

La fonction nombre de diviseurs est donc le cas particulier de la fonction diviseur pour $k=0$ :

$\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1=d(n)$.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Teileranzahlfunktion » (voir la liste des auteurs).

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