Suite définie par récurrence

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Récurrence.

En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

Une relation de récurrence est une équation dans laquelle l'expression de plusieurs termes de la suite apparait, par exemple:

u_{n+2} - \sqrt{2 u _{n+3} + u_n} = 0

ou

u_{n^2} = u_n

ou

(u_{n+2})^2 - u_n - u_{n+1} = 0

ou si l'on se place dans les suites de mots sur l'alphabet \{a, b\}:

\alpha_{n+1} = a\alpha_n b b

Si la relation de récurrence a une « bonne » présentation, cela permet de calculer l'expression du terme d'indice le plus élevé en fonction de l'expression des autres. Par exemple dans la dernière équation, si on admet que les u_n sont des réels positifs, on peut écrire:

u_{n+2} = \sqrt{u _{n+1} + u_n}.

Une relation de récurrence et la donnée de « suffisamment » de termes initiaux permettent souvent de déterminer l'expression de tous les termes d'une suite (voir définition par récurrence).

Une relation de récurrence très simple est celle qui lie le terme d'indice n + 1 au terme d'indice n.

Exemple — On définit les puissances z^n d'une variable z par la relation de récurrence :
z^{n+1}= z\;\times z^{n} et l'initialisation  z^0 = 1.
Exemple — La suite de Fibonacci est définie par la donnée de u_0 = 1 et u_1 = 1 et par la relation de récurrence u_{n+2} = u_n + u_{n+1} ; cette relation de récurrence est dite « linéaire ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]