Théorème de Bohr-Mollerup

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En mathématiques, le théorème de Bohr–Mollerup porte le nom des deux mathématiciens danois Harald Bohr et Johannes Mollerup (de), qui l'ont démontré en 1922[1]. Il caractérise la fonction gamma, définie pour par

comme la seule fonction définie pour qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

  • est logarithmiquement convexe, c'est-à-dire que est une fonction convexe[2].

Il est amusant de remarquer que Bohr et Mollerup ont publié ce résultat dans un manuel d'analyse, car ils le croyaient déjà connu.

Une démonstration particulièrement élégante en a été donnée par Emil Artin[3].

Démonstration[modifier | modifier le code]

La fonction gamma satisfait classiquement ces trois conditions (la première est immédiate, la deuxième se montre par intégration par parties et la troisième se déduit de l'inégalité de Hölder).

Soit une fonction qui les satisfait aussi.

Les deux premières conditions permettent d'obtenir, pour tout entier naturel et tout réel  :

On utilise ensuite la convexité de pour en déduire :

En particulier, pour tout réel et tout entier  :

En substituant , on obtient ainsi l'encadrement[4] :

Or quand tend vers l'infini, le majorant et le minorant sont équivalents à

Ceci prouve que la limite de cette expression est égale à la fois à (si bien que cette limite existe) et à .

Ces égalités, démontrées pour tout , s'étendent à tout grâce à la deuxième condition, donc .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (da) H. Bohr et J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analyse, vol.3, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1922, p. 149-164.
  2. La base du logarithme n'a pas d'importance du moment qu'elle est strictement supérieure à 1, mais par convention certains mathématiciens prennent le log sans indice pour désigner le logarithme naturel : celui de base e.
  3. (en) E. Artin, The Gamma function, Holt, Rinehart, Winston, 1964, p. 14-15 (traduction par Michael Butler de Einführung in die Theorie der Gammafunktion, 1931)
  4. Cette méthode, tirée de (en) Proof of Bohr-Mollerup theorem, id3808 de PlanetMath, est essentiellement celle d'Artin.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Wielandt

Liens externes[modifier | modifier le code]