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Fonction bêta

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Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler, définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :

et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction gamma.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

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Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

(par le changement de variable ),
(par le changement de variable ).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

,
,
.

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante[1] :

.

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : .

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors Β(x, y) est un nombre transcendant[2].

Dérivation

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Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

ψ(x) est la fonction digamma.

ψn(x) est la fonction polygamma.

Fonction bêta incomplète

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La fonction bêta incomplète est définie par :

et vérifie trivialement[3] :

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

Les relations précédentes deviennent ainsi

[4]

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale[4] :

Notes et références

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  1. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. (de) Theodor Schneider, « Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale », J. reine angew. Math., vol. 183,‎ , p. 110-128 (lire en ligne).
  3. (en) M. Aslam Chaudhry et Syed M. Zubair, On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications, CRC Press, (ISBN 978-1-58488-143-8, lire en ligne), p. 218.
  4. a et b (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.6.

Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Beta Function », sur MathWorld