Ensemble parfait

Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».

Exemples

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$. Plus généralement, l'espace produit {0, 1}^I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble $\left\{\left.\sum _{n\in E}a_{n}~\right|~E\subset \mathbb {N} \right\}$ où $\sum a_{n}$ est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout N, $\sum _{n>N}|a_{n}|<|a_{N}|$.

On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si $P^{0}$ est une partie fermée de ℝⁿ, on définit le dérivé $P'=P^{1}$ de $P^{0}$ comme l'ensemble des points d'accumulation de $P^{0}$. Pour tout ordinal $\alpha$, on pose $P^{\alpha +1}=(P^{\alpha })'$ et, si $\alpha$ est un ordinal limite, $P^{\alpha }=\cap _{\beta <\alpha }P^{\beta }$. Si $\omega _{1}$ désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que :

• Ou bien $P^{\omega _{1}}=\varnothing$. On dit que $P^{0}$ est réductible ;
• Ou bien $P^{\omega _{1}}\neq \varnothing$ et c'est un ensemble parfait. $P^{0}$ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Propriétés

Un ensemble parfait non vide de ℝ ou ℝⁿ n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément :

• tout espace complètement métrisable parfait non vide contient un sous-espace homéomorphe à l'espace de Cantor ;
• tout espace localement compact parfait non vide contient un sous-ensemble équipotent à l'espace de Cantor.

Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-BendixsonThéorème de Cantor-Bendixson.