Théorème de Cantor-Bernstein

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Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme l’existence d'une bijection entre deux ensembles à partir du moment ou il existe deux injections, l'une du second vers le premier l'autre du premier vers le second. Il est nommé ainsi en référence aux mathématiciens Georg Cantor, Felix Bernstein et Ernst Schröder. Cantor en donna une première démonstration, mais qui utilisait implicitement l'axiome du choix. Bernstein en donna une démonstration qui ne dépendait pas de cet axiome.

Historique[modifier | modifier le code]

Georg Cantor énonce ce théorème sans démonstration en 1887, puis en donne une preuve dans son livre Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis (1895-1897), en utilisant la théorie des ordinaux[1]. Felix Bernstein, élève de celui-ci, en esquisse une autre démonstration dès 1896 à l'âge de 18 ans. Elle est publiée en 1898 sur proposition de Cantor dans Leçons sur la théorie des fonctions sous la plume d'Émile Borel[2],[3]. Ernst Schröder publie lui aussi une démonstration en 1898[4], mais celle-ci s'avère erronée[5]. L'erreur est repérée en 1902 par Alwin Korselt qui en fait part à Schröder début mai 1902[6]. Celui-ci reconnaît que la paternité de la démonstration du théorème revient entièrement à Bernstein, dans une réponse envoyée quinze jours plus tard[6] (un mois avant sa mort). Il ajoute s'être lui-même rendu compte du problème en 1901 et en avoir fait part alors à son ami Max Dehn[7].

Korselt soumet fin mai 1902 un article aux Mathematische Annalen, où il expose l'erreur de Schröder et propose une autre démonstration, mais celui-ci n'est publié qu'en 1911. Pendant tout ce temps la preuve de Schröder est considérée comme correcte, en particulier par Cantor, Peano et Schönflies[8].

Richard Dedekind en fit lui-même une démonstration en 1897 mais qui ne fut publiée qu'en 1930. Ernst Zermelo en fait une autre en 1906 qui reprend en fait les idées de Dedekind.

Énoncé[modifier | modifier le code]

S'il existe une injection d'un ensemble vers un ensemble et une injection de vers , alors il existe une bijection de sur .

Trois démonstrations[modifier | modifier le code]

Première démonstration[modifier | modifier le code]

Lemme préliminaire[modifier | modifier le code]

Commençons par montrer que si est une application injective d'un ensemble vers une de ses parties, , alors il existe une bijection de sur .

Théorème de Cantor-Bernstein.

Soit la suite définie par :

Soit la réunion de tous les ensembles  : .

Soit alors l'application de dans définie par :

est bien définie à valeurs dans , car est à valeurs dans , et si alors et donc .

envoie injectivement dans  ; et le complémentaire de identiquement dans lui-même. C'est donc une injection.

Montrons que est surjective. Soit . Montrons qu'il existe un tel que .

  • Si  : alors il existe tel que ( est strictement positif car , donc ). Il existe donc tel que .
  • Si  : alors

Ainsi, est bijective, ce qui démontre la première proposition.

Interprétation[modifier | modifier le code]

On peut donner une interprétation du résultat montré ci-dessus. A est l'ensemble (infini) des spectateurs d'un théâtre (infini). Chaque spectateur a réservé une place, et initialement, on suppose que chaque place est occupée par un spectateur, mais pas forcément par le spectateur qui a réservé cette place. B est alors l'ensemble des spectateurs assis. Par ailleurs, les ensembles étant infinis, il peut rester des spectateurs debout. L'application u est l'application qui associe, à un spectateur x, le spectateur y = u(x) assis à la place de x.

est l'ensemble des spectateurs initialement debout. Ces spectateurs se rendent à leur place et délogent leur occupant. Ceux-ci forment alors l'ensemble . Ces derniers procèdent de même. désigne les spectateurs debout à la n-ème étape. Ils vont aux places qu'ils ont réservées et en chassent leurs occupants. On itère une infinité de fois. C désigne l'ensemble des spectateurs qui se sont levés au moins une fois (y compris ceux qui étaient debout initialement).

L'application v désigne l'application qui associe, à un spectateur x qui doit se lever, le spectateur y qu'il va déloger, ou bien qui, à un spectateur x qui reste toujours assis, associe x lui-même. L'application réciproque de v est l'application qui, à un spectateur y qui est dérangé, associe le spectateur x qui vient prendre sa place, ou bien qui associe, à un spectateur y jamais dérangé, y lui-même.

Démonstration finale du théorème[modifier | modifier le code]

Montrons alors le théorème initial.

Soit B = g(F) l'image de F par l'injection g. L'application u = g o f est une injection de E dans B, avec . Donc il existe une bijection v de E sur B. Comme g est une injection et g(F) = B, elle définit par restriction une bijection h de F sur B. La composée h-1v est une bijection de E sur F, ce qui démontre le théorème de Cantor-Bernstein.

Deuxième démonstration[modifier | modifier le code]

Un lemme préliminaire[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Knaster-Tarski.

Cette démonstration repose sur le lemme suivant, cas particulier du théorème de Knaster-Tarski.

Soit un ensemble, l'ensemble de ses parties et une application croissante, c'est-à-dire telle que . Alors admet un point fixe, c'est-à-dire qu'il existe une partie de telle que .

Démonstration finale[modifier | modifier le code]

Soient maintenant injective de dans et injective de dans . Pour toute partie de , on pose , c'est-à-dire que s'obtient en prenant l'image directe , puis le complémentaire dans de cette image, puis l'image directe par de ce complémentaire, et enfin le complémentaire dans de cette image. Il n'est pas difficile de vérifier que est croissante.

On introduit alors la partie du lemme préliminaire. Cette partie est invariante par , ce qui signifie que est le complémentaire de dans .

Théorème de Cantor-Bernstein.

On définit une bijection en posant :

si  ;
si .

joue un rôle comparable à la partie dans la première démonstration ou à dans la démonstration qui suit.

Troisième démonstration[modifier | modifier le code]

Cette démonstration est essentiellement celle publiée par Julius König en 1906[9], et souvent reprise depuis[10].

Supposons, sans perte de généralité, que et sont disjoints.

Théorème de Cantor-Bernstein (les ensembles , , et sont notés ici respectivement , , et ).

À chaque élément de on associe une suite dont la valeur initiale est , et définie par récurrence comme suit. On suppose défini (sinon, n'est pas défini non plus) :

  • si possède un antécédent par g, alors est cet (unique) antécédent (remarque : dans ce cas n est pair) ;
  • si possède un antécédent par f, alors est cet (unique) antécédent (remarque : dans ce cas n est impair) ;
  • dans les autres cas, n'est pas défini.

Trois cas sont alors possibles pour la suite qui permettent de partitionner en trois ensembles :

  • est l'ensemble des tels que la suite est finie et s'arrête sur un élément de (de façon équivalente, l'indice du dernier élément est pair) ;
  • est l'ensemble des tels que la suite est finie et s'arrête sur un élément de (de façon équivalente, l'indice du dernier élément est impair) ;
  • est l'ensemble des tels que la suite est infinie.

On partitionne de façon analogue en , et . Alors :

  • est une bijection de sur , ainsi que de sur  ;
  • est une bijection de sur , et sa réciproque est donc une bijection de sur .

On obtient ainsi une bijection de sur [11].

Applications[modifier | modifier le code]

Si l'on considère la technique naïve qu'a un enfant pour compter le nombre d'éléments d'un ensemble, cela revient quasiment toujours à associer chacun des éléments à un autre d'un ensemble connu dont le nombre d'éléments est connu.

Il peut s'agir soit d'associer chacun des éléments à compter avec l'un des doigts, soit d'associer chacun des éléments avec un nombre que l'on réciterait à haute voix (un, deux, trois, etc.), par exemple.

En clair, compter se fait naïvement en effectuant une bijection d'un ensemble dont la « dimension » est connue vers un autre dont la dimension est inconnue.

Ce théorème s'interprète alors comme disant : « Si je peux compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'éléments ». Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis.

« Si je peux compter un certain nombre de billes de mon sac de billes avec mes dix doigts, et qu'avec la totalité de mes billes, je peux les associer avec certains de mes doigts, alors j'ai exactement dix billes. »

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Soient X un ensemble non vide et une relation d'équivalence sur l'ensemble des parties de X. On suppose qu'elle vérifie les deux propriétés :

  • si alors il existe une bijection telle que, pour toute partie de ,  ;
  • si et et alors .

Soient deux ensembles et , un sous-ensemble de et un sous-ensemble de . On suppose que et . Alors .

Cette généralisation peut, elle aussi, être démontrée sans l'axiome du choix[12].

Dans le cas particulier où et est la relation d'équipotence, on retrouve le résultat précédent.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Georg Cantor, Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis, trad. française de 1899, énoncé p. 347 et démonstration p. 395, sur Gallica.
  2. F. Casiro, « Le théorème de Cantor-Bernstein », Tangente, mai-juin 2008, p. 42-44.
  3. Émile Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, p. 104.
  4. (de) Ernst Schröder, « Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor’sche Sätze », Nova Acta, Halle a. S., Johann Ambrosius Barth Verlag, vol. 71,‎ , p. 303–362 (336-344) (lire en ligne).
  5. « … the question why Schröder’s name is so often associated with a result towards which his sole contribution was to provide a fallacious proof. », (en) William W. Tait (en), « Michael Potter, Set Theory and its Philosophy (Book Review) », History and Philosophy of Logic, vol. 26, no 2,‎ , p. 162-166 (lire en ligne), p. 164.
  6. a et b (de) Alwin Korselt, « Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes », Mathematische Annalen, Leipzig, B. G. Teubner, vol. 70,‎ , p. 294–296 (ISSN 0025-5831, DOI 10.1007/bf01461161, lire en ligne)
  7. « … Daß ich Herrn F. Bernstein die Ehre, den G. Cantorschen Satz bewiesen zu haben, allein überlasse, hatte ich einstweilen einem Freunde desselben, Herrn Dr. Max Dehn (jetzt in Münster) schon vorigen Herbst resp. Sommer — natürlich zum Weitergeben — gesagt », extrait d'une lettre de Schröder à Körselt du 23 mai 1902, cité par Korselt 1911.
  8. (en) Gregory H. Moore, Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence, Springer, coll. « Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences » (no 8), (ISBN 978-0-387-90670-6).
  9. J. König, « Sur la théorie des ensembles », Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, vol. 143,‎ , p. 110-112 (lire en ligne).
  10. Par exemple Garrett Birkhoff et Saunders Mac Lane, A Survey of Modern Algebra, Macmillan, (1re éd. 1941) (ISBN 0-02-310070-2), p. 387-388, Andreï Kolmogorov et Sergueï Fomine, Éléments de la théorie des fonctions et de l'analyse fonctionnelle, , p. 22 (première édition en français 1974), (en) John L. Kelley, General Topology, Van Nostrand, (lire en ligne), p. 28 (réédité chez Springer-Verlag), René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique II. Fonctions récursives, théorème de Gödel, théorie des ensembles, théorie des modèles [détail des éditions], 1993.
  11. Cette démonstration suit de près Kolmogorov et Fomine 1977, p. 22 et Cori et Lascar 1993, p. 148-149, qui simplifient légèrement König 1906 et explicitent l'utilisation de la définition par récurrence, et donc des entiers. La preuve de Kelley 1955 qui n'explicite pas la définition des suites récurrente est incorrecte, car le partitionnement est défini selon le caractère fini et la parité du nombre d'éléments de l'ensemble image des suites et . Or cet ensemble peut être fini, si la suite correspondante est infinie mais présente un cycle. Ceci a été remarqué par Leslie Lamport, How to Write a Proof, 1993, p. 8, qui prend cette preuve comme exemple d'une preuve informelle fausse, dont l'erreur apparaît quand il essaye de la présenter de façon structurée, mais qui est difficile sinon à déceler.
  12. (en) Stan Wagon (en), The Banach-Tarski Paradox, CUP (ISBN 978-0-521-45704-0, lire en ligne)[réf. incomplète].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Propriété de Cantor-Bernstein (en)