Discussion:Théorème des valeurs intermédiaires

Niveau (indicatif): < Bac +2 Démonstration: < Bac +2 Compréhension: Bac -1, Bac

Dichotomie non constructive

Il est affirmé dans l'article que la démonstration par dichotomie fournit un algorithme du calcul approché du zéro de la fonction. Il n'en est hélas rien et cette partie de l'article devra être corrigée (je peux m'en charger mais plus tard).

Considérons une suite $(a_{n})$ d'entiers relatifs valant -1, 0 ou 1 et posons $a=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{3^{n}}}$. Considérons maintenant la fonction f affine sur les intervalles $[0,{\frac {1}{3}}]$, $[{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}]$ et $[{\frac {2}{3}},1]$ et telle que $f(0)=-1$, $f(1)=1$, $f(1/3)=f(2/3)=a$. La dichotomie demande de déterminer le signe de $f(1/2)=a$

On applique l'algorithme de dichotomie en commençant par A=0 et B=1. Le théorème de Bolzano assure de l'existence d'un nombre c pour lequel on a f(c)=0. On calcule f(1/2) avec Maple V. cela s'effectue avec une précision aussi grande qu'on veut donc on connait rapidement le signe de a.

Le donc de la dernière phrase est faux. Tu calcules a(n), pour n < 1000, pour n <10000, pour n<100000 et tu trouves 0. Qu'est-ce que tu conclus ? Theon (d) 17 août 2009 à 10:00 (CEST)

Un algorithme est un "programme" qui se termine en un temps fini. Soit a=0 et alors on connait son signe donc on peut appliquer la dichotomie, soit a est non nul et alors ta boucle tant-que se termine et on peut appliquer la dichotomie. En fait, ton objection n'a aucun rapport avec la dichotomie: c'est celle qui consiste à savoir déterminer si un nombre est égal à 0. Il ne faut pas tout mélanger.Mathématique n'est pas Informatique.La dichotomie est une méthode mathématique même si son implémentation informatique pose des problèmes qu'on ne sait pas résoudre informatiquement.Claudeh5 (d) 17 août 2009 à 12:20 (CEST)

Nous sommes bien d'accord sur la définition d'un algorithme. Maintenant, comment fais-tu pour décider si a=0 ou pas ? Un peu plus bas dans le même paragraphe, je donne un exemple de nombre a que l'on peut calculer à n'importe quelle précision donnée a priori. Je note à ce sujet que tu as lu trop rapidement ce que j'ai écrit puisque j'avais dit le 29 janvier 2008 : « On notera qu'on est parfaitement capable de calculer une valeur approchée de a à toute précision demandée » et que tu réponds le 16 août 2009 : « je ne vois pas quel est le problème de déterminer avec précision la valeur de a ». La question n'est pas de donner une valeur approchée de a, mais de c. Par contre, pour cela, il est nécessaire de décider si a = 0 ou pas, or une valeur approchée de a, quelle qu'elle soit, ne permet pas de répondre à cette question. D'ailleurs, peux-tu dire si a est nul ou pas ? Et peux-tu donner une valeur approchée à 1/10 près d'un nombre c tel que f(c) = 0 ? Si oui, quelle est-elle ? Ceci dit, le présent paragraphe commence par les mots « Il est affirmé dans l'article que la démonstration par dichotomie fournit un algorithme du calcul approché du zéro de la fonction. Il n'en est hélas ». Or tu dis toi-même « La dichotomie est une méthode mathématique même si son implémentation informatique pose des problèmes qu'on ne sait pas résoudre informatiquement ». Il me semble donc que nous sommes d'accord. La méthode par dichotomie ne fournit pas un algorithme général pour déterminer une racine. Je me suis borné à corriger cet aspect. Theon (d) 17 août 2009 à 18:35 (CEST)

En fait, la méthode de dichotomie ne fournit pas de solution à l'équation f(x)=0, seulement des quasi-solutions à epsilon près.

La méthode de dichotomie fournit un nombre x tel que |f(x)| < e, pour tout e > 0 donné à l'avance,mais pas nécessairement un nombre x tel que |x - c| < e, où c est la racine exacte. Par contre, comme tu le dis ci-dessous, on peut remplir cette condition si f est C1 et s'il existe un minorant strictement positif connu m de |f'|. Il convient donc de distinguer le caractère démonstratif de la méthode qui fournit une preuve de l'existence de la racine dans le cas où f est continue, du caractère algorithmique qui, lui, nécessite davantage d'hypothèses.Theon (d) 18 août 2009 à 09:39 (CEST)

Pour traiter le problème sérieusement on a besoin d'une hypothèse supplémentaire qui, évidemment, n'est pas vérifiée dans ton cas: il faut supposer f C1. Si f est seulement C0, ce qui est le cas ici, on ne peut jamais avoir de borne pour la différence |x-c| qui ne peut être obtenue que si f est C1 et m<=|f'|. On applique alors le théorème de Lagrange |f(x)-f(c)| = |x-c||f'(y)| <= epsilon. Ce qui donne alors |x-c| <= epsilon/m. Mais ce genre de problème est souvent mal compris (je ne cite pas de nom mais je pense à quelqu'un...). Donc la dichotomie fournit dans tous les cas une quasi solution (ou un ensemble de quasi-solutions) mais on n'est assuré de la convergence effective "théorique" de l'algorithme de la dichotomie que si f est C1.Claudeh5 (d) 17 août 2009 à 19:55 (CEST)

PS: on a également le même problème, cette fois ci de manière théorique lorsque l'on calcule les décimales d'un nombre exactement et que l'on tombe (en base 10) sur une suite de 9... Ce nombre est-il 1 ?Claudeh5 (d) 17 août 2009 à 19:57 (CEST)

On sait donc si a est + ou -. Supposons a>0. Donc, c se trouve entre 0 et 1/2. On applique de nouveau le processus en 1/4. Or f(x)= 3(a+1)x-1 dans l'intervalle [0;1/3]. Ce qui donne f(1/4)=3(a+1)/4-1. Donc f(1/4) <0 si a1<1 car alors a<=1/6, ce que nous supposerons. On a donc c dans l'intervalle [1/4;1/2]. On continue avec f(3/8)=a >0. Donc c est dans [1/4;3/8]... Je ne vois pas où se trouve le problème.Claudeh5 (d) 16 août 2009 à 17:28 (CEST)

Pour cela il suffit de déterminer le signe du premier terme non nul de la suite $(a_{n})$ s'il en existe. Malheureusement, il n'existe aucun algorithme général répondant à ce genre de question.

? cette remarque a-t-elle un sens ? Si l'on ne peut pas calculer a par suite de la méconnaissance des valeurs a_n, il est clair qu'on ne peut pas appliquer l'algorithme. Par exemple si a1 est égal à 1 si le premier chiffre non nul du développement de Pi, précédé de 1000 zéros est un nombre >=5 et -1 autrement, là on va avoir du mal ! Mais ce problème a-t-il alors un sens ? car on peut toujours, à propos de n'importe quoi, mettre une calcul impossible à réaliser pratiquement.L'objection est alors général à tout calcul.Claudeh5 (d) 16 août 2009 à 17:28 (CEST)

Contrairement à ce qu'on croît, la dichotomie n'est pas un processus constructif, et d'ailleurs, le théorème des valeurs intermédiaires n'est pas admis sous cette forme en analyse constructive. (cf Erret Bishop, Douglas Bridges, Constructive analysis, Springer-Verlag (1985), p.8).

A noter que que, si a>0, la valeur c telle que f(c) = 0 est inférieure à 1/3 ; si a<0, la valeur c telle que f(c) = 0 est supérieure à 2/3, et on est incapable en général de donner la moindre valeur approchée potable de c.

Exemple : Posons $a_{n}=0$ si $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ sont premiers entre eux, $a_{n}=1$ si $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ ne sont pas premiers entre eux et que n est pair, $a_{n}=-1$ si $n^{17}+9$ et $(n+1)^{17}+9$ ne sont pas premiers entre eux et que n est impair. Donner une valeur approchée de c à 1/10 près. On notera qu'on est parfaitement capable de calculer une valeur approchée de a à toute précision demandée, ainsi que toute valeur approchée de f(x) pourvu qu'on ait donné une valeur approchée adéquate de x. Theon (d) 29 janvier 2008 à 18:35 (CET)

je ne vois pas quel est le problème de déterminer avec précision la valeur de a sauf à travailler avec une représentation fixe (comme le fait l'informatique traditionnelle), mais un logiciel comme MAPLE V vous donnerait autant de décimales que vous désirez si l'on est capable de lui dire les valeurs de la suite (a_n).Claudeh5 (d) 16 août 2009 à 14:05 (CEST)

Pour savoir si a = f(1/2) est strictement positif ou strictement négatif, il faut se lancer dans une boucle while (du genre tant que a(n) est nul, incrémenter n) et rien ne dit que cette boucle va se terminer. L'algorithme consistant à augmenter pas à pas la précision du calcul de a ne permet donc pas de manière certaine de pouvoir déterminer une valeur approchée de la solution de l'équation. Theon (d) 17 août 2009 à 09:57 (CEST)

Le terme n'est pas si impropre

L'article suppose que pour la fonction f étudiée, il existe une méthode de connaître parfaitement la valeur d'une image si l'antécédent est connue. Cette hypothèse est très largement supposée pour ce que l'on appelle les algorithmes d'extraction de racines. On parle aussi d'algorithmes par exemple pour la méthode de Newton qui suppose qu'il est possible d'expliciter non seulement la valeur de la fonction mais aussi la dérivée.

Si par exemple la fonction est définie par f(x) = x² - 2, définie sur l'intervalle [0, 2]. La première étape montre qu'une racine se situe entre 1 et 2, la deuxième entre 1 et 1,5 la troisième entre 1,25 et 1,5 etc...

Si les informations possédées sur f ne sont que l'appartenance à une famille de fonctions sans plus de précision, il apparaît que cette démarche n'est pas systématiquement opérationnelle. Je ne connais pas d'algorithme qui résiste à cela, en revanche, le terme d'algorithme pour l'extraction d'une racine est largement utilisé. Une telle approche est nécessaire par exemple pour programmer une petite calculette la fonction extraction de racine, qui ne sera néanmoins pas capable de réaliser du calcul formel. La méthode décrite ici est parfois utilisée. Jean-Luc W (d) 29 janvier 2008 à 19:42 (CET)

Je ne sais pas ce que veut dire connaître parfaitement la valeur d'une image. Pour des fonctions d'une variable réelle et le calcul numérique, je ne connais qu'un seul sens raisonnable : pouvoir calculer f(x) à une précision donnée sachant que x peut lui-même être connu à toute précision souhaitée. Cela me paraît la seule définition raisonnable. C'est ce que fait mon exemple. Bien entendu, on peut appeler algorithme toute démonstration même si elle est en défaut dans les calculs pratiques, mais il y a tromperie sur la marchandise. C'est pour cela que le mot méthode me paraît mieux adapté. Une méthode, on fait ce qu'on peut avec, et c'est exactement à cela que servent les méthodes de résolution d'équation. A titre d'exemple, je note que J.P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles, titre l'un de ses chapitres méthodes itératives pour la résolution d'équations. Theon (d) 30 janvier 2008 à 09:12 (CET)

Ta définition me va très bien. Soit ε > 0 une précision. Ton exemple permet en effet de calculer la valeur de f(x) à la précision ε. Si f(1/2) est égale à 0 (à ε près) alors la racine est déterminée (à ε près, l'objectif recherché). Si f(1/2) est strictement supérieure à ε, alors il existe une racine dans l'intervalle [0, 1/2[, et je réitère le processus sur la valeur 1/4. Si elle est strictement inférieure, alors je réitère sur la valeur 3/4 car je sais qu'il existe une racine dans l'intervalle ]1/2, 1]. Je trouverais donc une racine à ε près en un temps fini. Pour être précis, comme la dérivée de ta fonction (définie presque partout) est majorée en valeur absolue par 6, si n est le plus petit entier tel que (1/2)ⁿ est strictement plus petit que 6ε, alors il suffit de n étapes pour trouver la racine. En fait, avec cette définition je ne vois pas où est le problème.

Pourrais tu m'indiquer quel est selon toi la définition du mot algorithme et me donner un exemple ?

Merci de ta précision. Jean-Luc W (d) 30 janvier 2008 à 10:09 (CET)

Dans ton explication, on peut noter que ce n'est pas la racine c qui est connue à ε près. Reprenons l'exemple de la fonction affine par morceaux et valant a entre 1/3 et 2/3. Supposons a non nul (c'est d'ailleurs le cas dans mon exemple, mais je ne dirai pas s'il est positif ou négatif), mais inférieur en valeur absolue à la précision du calcul ε. En valeur approchée, a sera considéré comme nul et la méthode par dichotomie donnera 1/2 comme valeur approchée de c. Supposons maintenant qu'on décide d'augmenter la précision du calcul de façon qu'avec cette nouvelle précision, on s'aperçoit non seulement que a est non nul, mais qu'il est positif. Brutalement, la valeur de c passe en dessous de 1/3. Ce n'est donc pas la valeur de c qui est calculée de façon pertinente, puisque la méthode par dichotomie lui fera subir des variations importantes en fonction de la précision du calcul. Il faudrait donc cesser de faire croire que la démonstration par dichotomie (qui n'est qu'une démonstration) soit un algorithme numérique donnant une valeur approchée de c. C'est faux. La version numérique de la méthode par dichotomie ne donne pas une valeur approchée de la racine c, mais une valeur c dont l'image est une valeur approchée de 0. C'est tout à fait différent. Enoncé sous cette forme, je veux bien qu'on parle d'algorithme. Ainsi, si algorithme il y a, c'est celui qui donne une valeur de c telle que son image soit inférieure en valeur absolue à une borne ε > 0 donnée. C'est d'ailleurs ce résultat que tu énonces, et c'est également ce dernier énoncé qui est la version du théorème des valeurs intermédiaires en analyse constructive. Mais la valeur ainsi trouvée de c peut se trouver fort éloignée de la racine exacte de f. Theon (d) 30 janvier 2008 à 10:40 (CET)

Si tu définis les algorithmes d'extractions de racine comme une méthode qui offre une approximation aussi précise que souhaitée sur l'abscisse et non sur l'ordonnée et sur n'importe quelle fonction continue, alors tu as raison. Cette définition me semble néanmoins un peu tirée par les cheveux, en tout cas elle est à ma connaissance rarement utilisée. Je ne vois plus à quoi appliquer la locution d'algorithme d'extraction de racine. Je me demande même dans quel contexte ce mot reste utilisable. Tu as néanmoins raison, dans les articles spécialisés sur cette question, il faut préciser que l'algorithme donne une bonne approximation de l'image et nécessite des informations sur un minimum de la norme de la dérivée au voisinage de la racine. En revanche, je me demande un peu ce que cette remarque vient faire sur un article dont le sujet est le théorème des valeurs intermédiaires et non pas l'algorithmique. De plus pour les articles algorithmiques, je préconise de ne pas utiliser cette définition bien restrictive et de continuer à utiliser la définition commune. Le mot serait banni de WP alors qu'il est largement utilisé (Recuit simulé, Méthode de Monte-Carlo, Méthode de Newton, Test de primalité de Miller-Rabin qui est probabiliste etc...). Jean-Luc W (d) 30 janvier 2008 à 14:00 (CET)

: Si j'ai bien compris ce que tu nous essaies de nous dire, c'est que la méthode de dichotomie fournit un encadrement d'une racine d'amplitude (1/2)ⁿ tant que l'on peut donner avec certitude le signe de f(a_n). Comme en pratique, la valeur de f(a_n) n'est connu qu'avec une certaine imprécision, il existe un N au dela duquel le signe de f(a_n) ne peut pas être donné, la recherche s'arrête donc et c n'est connu qu'avec une précision de (1/2)^N ? Je pense que cette remarque doit en effet figurer dans l'article. Ton contrexemple en revanche est peut-être un peu ardu pour le niveau de celui-ci. Enfin, tu sembles avoir une définition très précise du terme algorithme que j'emploie moi avec le sens de "recette". S'il existe une définition officielle d'algorithme, il serait bon de compléter l'article en question de wikipédia. ou de d'y signaler l'usage abusif que l'on fait semble-t-il parfois de ce mot. HB (d) 30 janvier 2008 à 14:08 (CET)

(conflit avec HB) je débarque sur cet échange et je dois avouer que je suis d'accord avec les dernières remarques pratiques de Jean-Luc. Il faudrait définir ce qu'on entend par "racine" en analyse numérique ; ça me paraîtrait naturel d'exiger une notion de racine de la forme tout réel x tel que $|f(x)|<\varepsilon '$, avec a priori $\varepsilon '\neq \varepsilon$ (précision voulue sur l'abscisse). En tout cas, ça correspond plus à une logique numérique. Peps (d) 30 janvier 2008 à 14:14 (CET)

Je prends note que vous proposez d'appeler racine tout réel x tel que $|f(x)|<\varepsilon$. Je ne suis pas sûr que le lecteur à qui s'adresse cet article comprenne que le mot racine est pris dans ce sens puisque cela n'a pas été expliqué. Pour lui, une racine est un nombre c tel que f(c)=0 et une valeur approchée de la racine c à 1/1000 près est une valeur x telle que |x - c| < 1/1000 et absolument pas une valeur x telle que |f(x)| < 1/1000. Quand on demande une valeur approchée à 1/1000 de ${\sqrt {2}}$, on attend un nombre x tel que $|{\sqrt {2}}-x|<1/1000$ et pas tel que $|x^{2}-2|<1/1000$. Plus généralement, si on cherche une valeur approchée d'un nombre z à un millième près et qu'on s'aperçoive que z est solution d'une équation f(x) = 0, je ne pense pas qu'on puisse se satisfaire comme valeur approchée de z d'un x tel que |f(x)| < 1/1000. D'ailleurs la lecture de l'article, qui précise On finit alors par trouver un encadrement « assez fin » de la solution, partage ce point de vue puisqu'on prétend restreindre l'intervalle relatif à l'abscisse et absolument pas celui relatif à l'ordonnée. La correction apportée par Jean-Luc W sous la forme : La dichotomie est un algorithme simple pour déterminer une approximation de la valeur de c, ne corrige malheureusement pas cette ambiguïté. Ceci dit, je ne souhaite pas nécessairement parler d'algorithme dans cet article, mais si on en parle, qu'on le fasse sans créer de confusion sur ce qu'on appelle calculer une racine. Je propose donc :

• de reformuler le paragraphe qui commence par En général, un théorème d'existence ne donne aucun moyen de trouver l'un des éléments dont il affirme l'existence, puisque, pas plus que la première démonstration, la deuxième ne donnera de valeur précise de la racine c.
• de garder le mot algorithme si vous le souhaitez, mais à condition de préciser que la méthode par dichotomie ne donne pas une valeur approchée de la racine, mais seulement une valeur x telle que son image soit inférieure à une précision donnée, et qui peut être éloignée de la racine réelle c.
• de préciser que ce problème provient de la difficulté (voire l'impossibilité) à effectuer numériquement le test f(m_n) = k.

Cela aurait le mérite d'avertir le lecteur sur la difficulté souvent omise de calculer une racine à une précision donnée. Theon (d) 30 janvier 2008 à 18:08 (CET)

apparemment tu ne prends pas en compte qu'il y a deux "erreurs" $\varepsilon '\neq \varepsilon$ :

en fait je pensais à l'utilisation suivante :

"La démonstration par dichotomie se traduit facilement sous forme algorithmique, à l'exception du test f(m_n) = k, qu'on ne saurait vérifier exactement alors que l'on procède à des calculs numériques approchés. On peut vérifier une condition $|f(m_{n})-k|<\varepsilon _{1}$, où $\varepsilon _{1}$ est une quantité donnée à l'avance. Pour que l'algorithme ait un intérêt, il faut donc se placer dans des conditions telles que la relation $|f(x)-k|<\varepsilon _{1}$, entraîne que la valeur x est proche de la valeur exacte c d'une racine : $|f(x)-k|<\varepsilon _{1}\Rightarrow \exists c,f(c)=0$ et $|x-c|<\varepsilon$, erreur donnée à l'avance."

il me semble que c'est en ce sens qu'on peut parler d'algorithme (comme les autres, c'en est un moyennant d'avoir le contexte adéquat) Peps (d) 31 janvier 2008 à 17:48 (CET)

Oui, j'ai bien vu qu'il y avait deux erreurs. Le test d'arrêt consiste à regarder si $|f(x)-k|<\varepsilon '$ ou si la largeur de l'intervalle encadrant la racine est inférieure à $\varepsilon$, mais je n'ai pas voulu alourdir l'article. Il me semble que le fait de souligner qu'on ne trouve pas nécessairement une valeur proche de c est suffisant. Je pense que des détails supplémentaires peuvent être apportés dans l'article Méthode de dichotomie, d'autant plus que, dans ce dernier article également, on laisse penser qu'on peut obtenir la racine à toute précision voulue, sans aucune restriction. Theon (d) 31 janvier 2008 à 19:13 (CET)

Action sur l'article

Je crois en effet, que l'algorithmique n'est pas le sujet de cette article. Préciser ici que la distance entre l'approximation et la racine décroit exponentiellement avec le nombre d'itérations me semble largement suffisant. Le fait qu'une situation où le temps de détermination du signe de f(x) devient prohibitif soit imaginable me semble un problème typiquement d'algorithmique et touche peu le thème des valeurs intermédiaires.

Pour les autres article traitant du sujet, il est peut être utile de rappeler que la méthode dichotomique est considérée comme très résistante. Elle permet d'approximer la racine s'il est possible de déterminer suffisamment rapidement le signe de f(x), ce qui est le cas par exemple s'il existe une borne inférieure de la valeur absolue du taux d'accroissement au voisinage de la racine (qui correspond à un cas fréquent en analyse numérique) si le temps de calcul de l'image n'est pas trop cher (ce qui est beaucoup plus rare si l'espace de départ est de grande dimension) et si l'on connait une image strictement positive et une strictement négative (ce que je n'ai pas vu souvent). Cette résistance est en général abandonnée au bénéfice d'une convergence plus rapide et au détriment d'un ensemble de fonctions sur lequel l'algorithme est efficace un peu différent (la fonction est souvent supposée de classe C2 avec les algos quadratiques, mais on ne suppose pas connue une valeur strictement positive et une strictement négative).

La notion de vitesse de convergence mérite d'être mieux traitée dans les articles d'algorithmiques. Le phénomène du dôme autour de la racine (obtenue par exemple avec une équation du type |a(x)| = 0 ou a est une application la plus linéaire possible sur un vaste espace) est un frein fréquent dans la pratique. Il touche les méthodes de Newton, quasi-Newton, Monté Carlo, recuit simulé etc... .Jean-Luc W (d) 30 janvier 2008 à 19:23 (CET)

Théorème de Bolzano

J'ai été assez surpris lorsque j'ai vu que le Théorème de Bolzano redirigeait vers le TVI. Pour moi, le théorème de Bolzano énonce le fait que de toute suite réelle bornée on puisse extraire une suite convergente... C'est un cas particulier de Bolzano Weierstrass mais il me semble qu'il porte le nom de Bolzano seul... --Vinky (d) 9 avril 2008 à 19:30 (CEST)

le théorème de Bolzano dit: "soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] telle que f(a) et f(b) sont de signes contraires. Alors l'équation f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle ]a,b[".

Cela n'a pas beaucoup à voir avec le théorème de bolzano-weierstrass (hormis la notion de coupure).Claudeh5 (d) 16 août 2009 à 13:37 (CEST)

Démonstration topologique

Une Ip a mis dans le corps de l'article cette remarque

« Petit hic: la démonstration du fait que les connexes de $\mathbb {R}$ sont les intervalles repose elle-même sur le TVI appliqué dans $\mathbb {R}$. »

Il ne me semble pas que ce soit le cas : on utilise effectivement les propriétés des fonctions continues mais c'est le théorème des bornes. Il est possible que le théorème des bornes, ou le fait que l'image d'une fonction continue par un compact soit un compact s'appuient sur le th de Vi mais mes souvenirs sont trop vieux pour confirmer ou infirmer cette remarque. Je laisse donc la question ouverte. HB (d) 7 décembre 2008 à 17:07 (CET)

Le fait que l'image d'un connexe par une application continue n'utilise pas le TVI. La démo utilise seulement le fait que la réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert. Par contre, le fait qu'un intervalle de $\mathbb {R}$ est un connexe utilise des raisonnements comparables au TVI. L'objection soulevée n'est donc pas totalement infondée. Theon (d) 8 décembre 2008 à 19:40 (CET)

Merci. Commentaire remis dans le corps de l'article en nuançant (théorème comparable au TVI et non TVI) . HB (d) 9 décembre 2008 à 12:48 (CET)

(de passage) Pas convaincu, on n'a besoin que de la définition de R, me semble-t-il. Que les connexes de R soient convexes (cad les intervalles) est immédiat : si a<b sont deux points d'un connexe U, alors tout a<c<b est dans U, sinon on trouverait comme recouvrement en deux ouverts disjoints $]-\infty ,c[\cup ]c,+\infty [$. La réciproque demande juste la propriété de la borne supérieure, qui peut être prise comme axiome (au moins selon Jean-Luc, cf nombre réel) : soit I un intervalle recouvert par deux ouverts non vides et disjoints U et V, soit a<b deux points de respectivement U et V. On note U' et V' les restrictions de U et V à [a,b], puis u=sup U'. Par convexité, u est dans I donc dans U ou V. S'il est dans U, par ouverture, on trouverait d'autres éléments dans U plus grands, contradiction ; s'il est dans V, il y a un petit voisinage d'éléments tous dans V, par ouverture, et on trouve des majorants de U' inférieurs à u, contradiction. Non ? Salle (d) 10 décembre 2008 à 11:22 (CET)

Mais on peut aussi procéder par dichotomie en commençant par prendre un point dans U et dans V. On obtient alors un raisonnement équivalent au précédent, mais utilisant la propriété des segments emboîtés (équivalente à celle de la borne sup), et cette démo est comparable à la démo faite dans l'article pour prouver le TVI. D'ailleurs, le TVI peut aussi se prouver sans dichotomie en prenant le sup des t tels que f(t) < k et on obtient de même une démo comparable à celle ci-dessus. Dans les deux cas, utilisation de la dichotomie ou utilisation de la borne sup, on trouve deux démos parallèles pour le TVI et les intervalles de $\mathbb {R}$. Theon (d) 10 décembre 2008 à 18:06 (CET)

Certes, mais qu'on passe par la connexité ou non, on peut éviter un recours aux segments emboîtés, donc ça me semble peu pertinent de dire qu'on a besoin de résultats puissants : à partir du moment où ça ne repose que sur la propriété de la borne supérieure, c'est bien au contraire une conséquence directe des axiomes définissant R. Salle (d) 10 décembre 2008 à 18:33 (CET)

Retour sur les démonstrations

Il me semble qu'il manque quelque part un lien vers la notion de borne supérieure qui est fondamentale dans le TVI. Pour la section démonstrations, je propose de restructurer de la facon suivante :

• demo par dichotomie
• autres demos : (qui reposent sur la notion de borne sup et la construction de R)
  • connexite
  • borne sup (sans rentrer dans le details, juste en mentionnant la notion, avec une ref vers un livre de cours)

--Moonyloony (d) 16 août 2009 à 12:53 (CEST)

Démonstration par la borne supérieure

La démonstration par la borne supérieure est fausse. En effet il y est inscrit:

Si au contraire l'intervalle ]c , b] est non vide, comme ses éléments x vérifient tous f(x) > u, on obtient (à nouveau par passage à la limite) f(c) ≥ u.

Cette inégalité et la précédente prouvent l'égalité voulue.

Or la fonction n'est en général pas croissante. Il faut donc remplacer ]c , b] par: [a,b] privé de X. De plus X n'est pas forcément un intervalle, et la notion de limite utilisée est quelque peu abusive. En tout cas je n'utiliserais pas cette démonstration si je dois démontrer le TVI. --Sacha — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.123.70.245 (discuter), le 31 mai 2011 à 13:01.

C'est oublier l'hypothèse : f(a) ≤ u ≤ f(b). On peut corriger en disant que f est croissante sur un intervalle ]c , d [ avec d≤b, un simple raisonnement par l'absurde le montre (si f était décroissante, c ne serait pas la borne supérieure de X). Et donc, le passage à la limite reste valable.

D'autre part, il n'est précisé nulle part que X est un intervalle, mais il est dit qu'il s'agit d'un sous-ensemble, qui peut effectivement être une réunion d'intervalles, mais on peut parfaitement en définir la borne supérieure.

L'article a été relu, tout de même... Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 31 mai 2011 à 13:08 (CEST)

@Sacha : je ne comprends pas "donc remplacer ]c , b] par: [a,b] privé de X". En tous cas la démo est correcte, et les 2 passages à la limite sont standard et ne nécessitent ni que l'ensemble soit un intervalle, ni que la fonction soit monotone, mais seulement continue au point c : si x_n tend vers c alors f(x_n) tend vers f(c) donc si les f(x_n) sont majorés (resp. minorés) par d alors f(c) l'est aussi.

@Kelam : je ne comprends pas "C'est oublier l'hypothèse : f(a) ≤ u ≤ f(b)". En tous cas, il ne faut surtout pas "corriger en disant que f est croissante sur un intervalle ]c , d [" (elle peut très bien n'être ni croissante ni décroissante, même en réduisant l'intervalle).

Anne Bauval (d) 31 mai 2011 à 13:47 (CEST)

Ah, oui, en effet, l'habitude de me restreindre aux cas simples de fonctions régulières...

Pour le rappel de l'hypothèse, j'étais parti de tête sur une démo avant de la laisser tomber, mais j'ai oublié de virer ce bout qui ne servait plus à rien.

Kelam (Qu'est-ce que c'est ?) 31 mai 2011 à 13:54 (CEST)

L'axiome du choix est-il nécessaire pour démontrer ce théorème ?

Bonjour, l'article dit rapidement que ce thm n'est pas constructif et l'article en anglais en fait même une section, mais, à ce que je vois, nulle part est mentionné si l'axiome du choix est nécessaire à sa démonstration. Il pourrait pour exemple être seulement faux en logique intuitionniste sans nécessiter AC. Qu'en savez-vous ? Cordialement, --Graviot (discuter) 8 juillet 2022 à 23:38 (CEST)

Plus de détails sont donnés dans l’article Méthode de dichotomie. Elle est en effet non constructive, et inapplicable en logique intuitioniste (parce que (x=0 ou x>0 ou x <0) n’en est pas un théorème) ; en revanche, en logique classique, on a bien affaire à un algorithme (le choix de l’intervalle pouvant être systématique, en prenant l’intervalle de gauche chaque fois qu’il y a deux possibilités), et donc l’axiome du choix est inutile (et le résultat est vrai dans ZF). Dfeldmann (discuter) 9 juillet 2022 à 07:43 (CEST)

Merci pour cette réponse, qui me semble la bonne, Dfeldmann (d · c · b), car je ne vois pas de mention d'usage de AC dans la littérature évoquant ce thm. Il pourrait être bien, si c'est sourcé de mentionner dans l'article que ce thm est faux en logique intuitionniste (ce qui me semble évident) mais déductible de la logique classique avec seulement ZF.

Néanmoins, si je ne le fais pas, c'est que ce dernier point ne me semble toujours pas évident car ne m'est pas clair que « en prenant l’intervalle de gauche chaque fois qu’il y a deux possibilités » ne nécessite pas AC. Ceci car l'argument est du genre "il suffit de prendre le plus petit élément" qui est le Théorème de Zermelo équivalent à AC.

Note : pour lever une erreur courante (commise dans un ouvrage de vulgarisation d'une médaille Field française, que je ne nommerais pas par respect pour elle), AC ne dit pas qu'on peut faire un choix parmi une infinité d'objets, mais qu'on peut faire une infinité de choix (parfois avec seulement 2 objets à choisir) simultanément (la simultanéités étant exprimée par l'affirmation de l'existence de la fonction de choix).

Bon le fond est : peut-on améliorer l'article sur ce sujet de {logique intuitionniste, AC} avec des sources académiques ?

P.S. j'avoue ne pas avoir vu d'éclaircissement sur ce sujet dans Méthode de dichotomie.

--Graviot (discuter) 13 juillet 2022 à 01:30 (CEST)

??? AC affirme l’existence d’une fonction de choix sans pouvoir (et pour cause ) l’expliciter. Donc, quand on peut en construire une, AC n’est pas nécessaire. Dans le cas qui nous concerne, l’ensemble d’ensembles est l’ensemble des couples d’intervalles de la forme ([a+k(b-a)/2^n, a+(k+1)(b-a)/2^n],[a+(k+1)(b-a)/2^n, a+(k+2)(b-a)/2^n]) et la fonction de choix consiste à prendre le premier des deux (il est amusant de voir que c’est exactement l’argument de Russell sur les paires de chaussures). Dfeldmann (discuter) 13 juillet 2022 à 06:30 (CEST)

Oui en effet tu as raison : Nul « axiome de choix pour les chaussures, mais seulement pour les chaussettes » ;-). C'est ce point que j'avais oublié dans mon interrogation ci-dessus. Merci pour tes explications --Graviot (discuter) 16 juillet 2022 à 00:35 (CEST)