Discussion:Calcul des prédicats

Je ne comprends pas le bien-fondé du changement de catégorie de cet article. Ou alors, je voudrais qu'on m'explique la différence entre les catégories logique et logique informatique. Pour moi la seconde était le développement formel de la première, accompagné des développements théoriques relatifs à la complétude et à la calculabilité, alors que la première reste dans un langage assez général et traite de la logique d'un point de vue plus épistémologique. --Ąļḋøø 30 aoû 2004 à 12:43 (CEST)

J'ai supprimé le passage «Il n’y a pas de sens à dire qu’une formule qui contient des variables libres est vraie ou fausse. Il faut substituer des constantes à toutes les variables libres pour obtenir une formule susceptible d’être vraie ou fausse.» du paragraphe Précicats, variables libres, variables liées, car il n'est pas correct. Si P est un prédicat unaire, la formule $Px\to Px$, dans laquelle apparaît la variable libre x, est un théorème du calcul des prédicats, que ce soit du point de vue syntaxique (il résulte du remplacement de f par Px dans la tautologie du calcul des propositions $f\to f$) que sémantique (dans tout modèle M, si P est représenté par une partie A de M et si on attribue à x une valeur a dans l'ensemble, alors on obtient une formule vraie, à savoir : si a appartient à A, alors a appartient à A).Theon 16 janvier 2006 à 13:44 (CET)

J'ai abrégé le paragraphe sur les résultats d'incomplétude qui ont peu de rapports avec le sujet de l'article. Un lien suffit pour renvoyer le lecteur intéressé sur les résultats d'incomplétude. Theon 17 janvier 2006 à 10:47 (CET)

je me trompe peut-être, mais le "théorème" cité par theon dit quelque chose comme $P(x)\to P(x)$ est satisfait pour tout x. Donc la formule complète est en fait $\forall x(P(x)\to P(x))$, formule dans laquelle $x$ n'est pas une variable libre, contrairement à ce que prétend theon. Personnellement, je trouve qu'il n'y avait pas lieu de supprimer le passage cité: chercher à évaluer une formule non close n'a pas de sens. Tout au mieux, on lie implicitement les variables libres en utilisant des quantificateurs sans s'en rendre compte (c'est ce que Theon semble avoir fait).

Il existe une différence entre prouver $Q(x)$, et prouver $\forall x,Q(x)$. D'ailleurs, l'équivalence entre ces deux formulations repose sur des axiomes du calcul des prédicats. L'axiome de généralisation par exemple, énonce que, pour prouver $\forall x,Q(x)$, il suffit de prouver $Q(x)$, avec $x$ variable libre. Cela a donc un sens de s'intéresser à la validité d'une formule telle que $Q(x)$, avec $x$ variable libre. La rédaction initiale de l'article était trop restrictive. La preuve de $\forall x(P(x)\to P(x))$ se fait par exemple en trois étapes.

1) Preuve de $f\to f$ en calcul propositionnel

2) Preuve de $P(x)\to P(x)$ par substitution de $f$ par $P(x)$

3) Preuve de $\forall x(P(x)\to P(x))$ par application de l'axiome de généralisation. Theon 4 mai 2006 à 18:03 (CEST)

La généralisation est une règle, et pas un axiome (Q x → ∀x Q x est manifestement fausse en général). Pour définir inductivement la sémantique du calcul des prédicats classique, on est bien obligé d'une façon ou d'un autre de remplacer les variables libres par des "constantes" (éléments du modèle). Donc la phrase supprimée est correcte au sens strict, mais demande des explications. L'usage est d'interpréter la vérité d'une formule avec des variables libres par celle de sa clôture universelle. Je ne propose pas le rétablissement, sinon dans un contexte ou la sémantique est mieux expliquée.

Au passage l'article théorie des modèles est imprécis à ce sujet (pas de définition vraiment correcte de la sémantique). L'article Théorème de complétude passe en calcul propositionnel quand la question se pose... Proz 22 juillet 2006 à 17:34 (CEST)

Kant dans cet article

Je suis pas un défenseur de Kant, mais si on le cite, dire que "critique de la raison pure" avait pour propos de dire que la logique était complète et définitive... me semble un peu fort (relisez ne serait-ce que le titre du livre). Voici la phrase que je critique : 'Emmanuel Kant croyait à tort que la logique de son temps, celle d’Aristote, était une science complète et définitivement achevée (préface de la seconde édition de la critique de la raison pure, 1787).'. Il y a probablement pas mal d'interprétation qu'on peut faire, mais kant a été souvent présenté comme "précurseur" de godel car il souligne (il est proche d'une démonstration philosophique si on peut dire ca) l'incapacité du "raisonnement pur" à être complet et qu'il est toujours dépendant de l'expérience (des axiomes). En bref, cette phrase, c'est vouloir faire dire à kant quelque chose qu'il a dit mais hors de son contexte, ca n'est pas correct et peut être mal interprété et est trop simplificateur (a mon avis). Et pire, aguicheur. (ca fait toujours classe de sortir quelques grand noms autour d'une anecdote plus ou moins vraie).

Compte tenu de la remarque ci-dessus, je propose de supprimer le paragraphe relatif à Kant, à moins que quelqu'un se sente assez compétent pour le modifier. Theon 2 juin 2006 à 15:39 (CEST)

je suis d'accord : on peut supprimer si personne n'est capable de corriger. Proz 22 juillet 2006 à 17:04 (CEST)

En l'occurrence, quoi qu'il en soit des liens que l'on peut faire entre Kant et Gödel, ce qui est dans l'article est plus solide et plus fondé dans les textes que la critique formulée quelques lignes plus haut, dans cette page de discussion. Il n'est pas niable que Kant estimait que la «logique formelle» (qu'il est en gros le premier à nommer ainsi) était close avec la syllogistique aristotélicienne (dûment nettoyée). La référence à la 2e Préface est correcte. Il n'est pas niable non plus qu'il n'ait eu tort sur ce point. Donc, c'est peut-être rapide, mais certainement pas inexact. C'est plutôt la suite du paragraphe qui pose problème. On n'a pas attendu De Morgan, Boole ou Frege pour s'apercevoir que les relations étaient mal formalisées par le syllogisme. Ainsi, Joachim Jungius, dans sa Logica Hamburgensis de 1638, présente comme conséquences directes les consequentia per inversionem relationis, telles que: «si Jean est le père de Paul, alors Paul est l'enfant de Jean». Il a des précurseurs médiévaux et stoïciens sur ce point. La critique ci-dessus développée me paraît donc mal fondée. Il ne faut pas supprimer la phrase sur Kant, il faut plutôt supprimer la suite du paragraphe... 83.196.98.10 (d) 11 novembre 2011 à 19:30 (CET)

Calcul des relations

Je ne suis pas d'accord avec la redirection de « calcul des relations » vers « calcul des prédicats ». Je propose de supprimer cette redirection et de commencer un article sur les calcul des relations comme l'avait initié Alfred Tarski. Pierre de Lyon 1 avril 2007 à 15:33 (CEST)

Consistance

Après avoir présenté le calcul des prédicats d'un point de vue syntaxique et sémantique, l'article s'intéresse au rapport entre ces points de vue. Bonne présentation de la complétude, mais qu'en est-il de la cohérence\consistance ? Cela revient, à mon avis, à s'intéresser uniquement à l'implication suivante : Si la formule est valide, alors c'est un théorème. En oubliant l'implication dans l'autre sens... Qu'en pensez-vous ? Jérémie

Il y a deux problèmes dans l'article : disons la fidélité, ce qui est démontrable est valide dans tout modèle : juste mentionné pas vraiment traité ; une théorie (éventuellement infinie) est syntaxiquement cohérente ssi elle a un modèle : pas traité du tout (ni fidélité, ni complétude). Proz (d) 5 mars 2008 à 00:50 (CET)

Bonjour Jérémie et bien venu en logicie,

• Comme vous le remarquez bien les liens syntaxe-sémantique ont 2 sens :
  • 1. "Si la formule est valide, alors c'est un théorème", c'est le thm de complétude. Qui nous dit donc que les règles syntaxiques nous donnent toutes les formules valides (mais potentiellement d'autres).
  • 2. Dans l'autre sens ont a : "Toute formule qui est théorème est valide". C'est le thm de fiabilité/correction (soundness en anglais) Qui nous dit que les règles ne nous donne que des formules valides (mais potentiellement pas toutes).
• Maintenant : La question de la cohèrence découle du thm de fiabilité (Toute formule qui est théorème est valide) donc contrairement à ce qui vous semble.

Explication : 1. être cohèrent = ne pas pouvoir dériver (syntaxiquement) le faux = La formule fausse n'est pas un théorème. 2. (constat) : le faux n'est pas une formule valide donc 3. si on a le résultat "Toute formule qui est théorème est valide", on a que la formule fausse n'est pas dérivable des règles, ce qui établit donc la consistance.

• Concernant l'article :
  • La consistance d'une logique (il y en a plusieurs selons les règles syntaxiques que l'on se donne) est un peu le service minimal demandé et il est souvent plus facile à démontrer que la complétude de cette logique face à une interprétation sémantique. Aussi bien souvent, comme il en est dans cet article, on en parle moins. Mais vous avez raison de souligner, que ce point n'est pas assez mis en avant dans l'article, car tout de même, oui, pour répondre tout de même à votre interrogation, le calcul des prédicat est bien démontré cohérent; rassurez vous :-); [mais il n'est que semi-decidable :-( , mais c'est une autre question].
  • ... mais c'est loin d'être un résultat si trivial car pour des théories (théorie = règles d'inférences logiques+axiomes spécifiques) intuitivement simples comme l'arithmétique, on sait que si elle sont cohèrentes on ne peut le démontrer (cf Théorème d'incomplétude )!
  • Bref qu'un lecteur vigilant et soucieux comme vous de bien comprendre ce qui est dit s'interroge sur la question de la consistance du calcul des prédicats (en se trompant de sens sur l'implication; donc moins vrotre faute que l'incomplètude :-))) de l'article) , permet de voir qu'il y a encore du boulot à faire sur cet article. Au fait a t-on un article sur le théorème de fiabilité (enfin "soundness", tant je crois qu'on en parle si peu en français que la terminologie n'est pas établie) ?

--Epsilon0 ε₀ 5 mars 2008 à 11:33 (CET)

Ce que je voulais dire :

• Point de vue sémantique : Toute formule valide est un théorème. Il s'agit de la complétude, correctement abordée dans l'article.

• Point de vue syntaxique : Tout théorème est une formule valide. Il s'agit de la consistance, que je jugeai un peu passée sous silence.

Sans doute me suis-je mal exprimé précédemment mais j'ai bien compris le sens des implications contrairement à ce que vous pensez, et ma question "qu'en est-il de la cohérence ?" se rapportait à l'explication qui en ai faite dans l'article, pas au calcul des prédicats lui-même, dont je sais qu'il est (heureusement) prouvé cohérent.

Vous avez surement raison sur le fait qu'il s'agit d'un "service minimal" et donc sans doute, il n'est point besoin de s'étendre sur la chose.

Merci pour votre réponse très complète (et pour votre acceuil, je suis ravi de participer ne serait-ce qu'en m'interrogeant :-) , personnellement je n'ai jamais entendue parler du théorème de fiabilité et serais curieux de lire un article sur le sujet.

Jérémie

L'article est à améliorer et vous aviez raison de soulever ce problème, mais ce n'est pas le seul. La complétude du calcul des prédicats n'est pas abordée dans le cadre le plus général et le plus intéressant, celui d'une théorie (si tout modèle d'une théorie T est modèle d'une formule F, alors F se déduit syntaxiquement de T), donc je ne trouve pas que l'article soit satisfaisant de ce point de vue. Ce que vous appelez consistance est parfois appelé fidélité, adéquation, ..., c'est ce qu'Epsilon0 appelle fiabilité, je ne l'ai jamais vu appelée consistance. La consistance d'une théorie, en général c'est plus ou moins synonyme de sa cohérence, avec des variations dans les ouvrages introductifs : soit la théorie a un modèle, soit la théorie ne permet pas de déduire syntaxiquement toutes les formules, l'équivalence étant justement un autre énoncé du théorème de complétude (+fidélité), le "vrai". Proz (d) 6 mars 2008 à 01:40 (CET)

En relisant l'article autre trou : il ne parle pas de calcul des prédicats égalitaire, or on a un théorème de complétude pour le calcul des prédicats avec égalité, ce qui est intéressant et très utile. Proz (d) 6 mars 2008 à 02:08 (CET)

Une petite remarque pour Jérémie: la consistance (ou cohérence) n'est pas « Tout théorème est une formule valide ». Ce concept s'appelle la correction (ou la fiabilité ou la « santé » ou la soundness en anglais). La cohérence (ou consistance) c'est l'absence de contradiction et c'est donc autre chose. Je crois que ces concepts sont bien présentés dans l'article Calcul des propositions section Décidabilité, cohérence, complétude, compacité. Pierre de Lyon (d) 6 mars 2008 à 22:55 (CET)

Question aux spécialistes sur le lien entre prédicat et atome propositionnel

Bonjour, je me permets de polluer légèrement cette page de discussion pour poser une question sur la notion de prédicat, histoire de bien finir de vous convaincre que je ne suis pas un logicien :-) Je considère un prédicat p(X), où X prend ses valeurs dans un domaine dénombrable. Je décide de considérer que p(1) représente un atome propositionnel p1, p(6) l'atome p6, et que p(X) est un schéma correspondant à tout un ensemble d'atomes propositionnels. La question est, est-ce que cette "transformation" (dans un sens ou dans l'autre) a un nom ? D'autre part si vous avez des critiques ou des infos sur le concept, je suis preneur. Merci d'avance ! - Eusebius ^[causons] 31 mai 2008 à 17:42 (CEST)

Tu peux choisir tes "atomes propositionnels" comme tu veux, rien ne t'empêche de les appeler directement p(1), p(2), ..., p(n), ... Ca se fait, voir par ex. les applications du th. de compacité du calcul propositionnel (dans par ex. Cori-Lascar ? à vérifier). Il n'y a pas vraiment de transformation. Sinon prendre les formules atomiques closes du langage à paramètres dans le modèle, c'est je crois le diagramme positif du modèle (ce que tu fais pour N, langage de signature p), ça sert en théorie des modèles (voir Chang et Keisler par ex.). Proz (d) 31 mai 2008 à 19:02 (CEST)

Pour le nom des propositions c'était un exemple évidemment. Sinon merci beaucoup, je vais essayer de regarder tout ça... - Eusebius ^[causons] 31 mai 2008 à 19:14 (CEST)

Je ne sais si cela répond à la question, mais un atome propositionnel peut être vu comme un prédicat 0-aire, càd sans paramêtre. Aussi tout énoncé (formule sans variable libre), voire toute formule (?) peut être représenté comme un atome propositionnel, que l'on peut d'ailleurs intuitivement définir comme un énoncé inanalysé. --Epsilon0 ε₀ 31 mai 2008 à 22:32 (CEST)

De la nature des prédicats

« Un prédicat est une formule qui contient une ou plusieurs variables libres. On peut considérer les prédicats comme des concepts »

Ça ne va pas. Une formule ouverte est un objet syntaxique, un concept non. Sans parler de balancer ex-cathedra une définition du prédicat, il semble quand même important de dire dans quelle catégorie ça se situe. --Michel421 (d) 5 octobre 2008 à 15:10 (CEST)

Le calcul des propositions version réduite du calcul des prédicats

La phrase Le calcul des propositions est une version réduite du calcul des prédicats, sans les quantificateurs \forall et \exists. Il est très utile notamment en informatique mais ne suffit pas pour formaliser tous les raisonnements ne me convient pas. Pierre de Lyon (d) 12 décembre 2008 à 22:38 (CET)

Le langage du calcul des prédicats est une extension du langage du calcul des propositions. La question de savoir si le calcul des propositions est une version réduite du calcul des prédicats, c'est une question assez byzantine, comme de savoir combien d'anges peuvent danser sur une tête d'épingle.

Si c'est le calcul des prédicats égalitaire, là je dirais oui, car l'égalité est un prédicat - spécial et important, mais un prédicat.--Michel421 (d) 14 décembre 2008 à 19:04 (CET)

Faute de grammaire?

Bonjour je maîtrise pas vraiment les mathématiques, et donc je me demande donc si une des phrases de cette article comporte une faute avec l'oublie d'un mot, ou bien c'est moi qui ne comprend pas ce terme:

il est écrit dans l'article: "e1∨e2 si les éléments sont formules.", ce ne devrait pas être :"e1∨e2 si les éléments sont des formules."?

merci pour ce que vous faites! --Nicobzz (d) 19 octobre 2010 à 22:31 (CEST)

Bonjour, en effet ces phrases étaient mal écrites, j'ai corrigé, merci de l'avoir signaler. En passant ce paragraphe est à reprendre : avant de définir la notion de formule il faut définir la notion de terme (qui sont des combinaisons de fonctions, constantes et variables d'undividu).--Epsilon0 ε₀ 20 octobre 2010 à 13:53 (CEST)

Logique hypecomplexe: une nouvelle logique sur la Wikiversité

D'une manière générale nous confondons abusivement la prédication (?) il y a avec il existe. Cette confusion est grandement préjudiciable aux principes logiques car leur nature est totalement différente, entraînant un différentiel de base logique. Je m'explique :

1. "IL Y A un point sur ma feuille" : c'est un fait, observable, qui ne nécessite d'autres explications d'ordre sémantiques que la simple constatation de sa présence. La proposition est du type logique orthodoxale = VRAI.
2. "IL EXISTE un point sur ma feuille" est une proposition du type décisionnelle qui nécessite un choix et toute une construction intellectuelle éventuellement assortie d'un calcul positionnel, ouvrant possibilité de discussion. Elle est du type logique : (ni-VRAI ; ni-FAUX) dépendant d'une acceptation de convention de représentation : une tâche aussi petite que possible, une croix, ... Tant que ce point N'EST PAS marqué nous restons dans le doute de sa réalité ! Une fois marqué, il devient une singularité.
   

En logique hypercomplexe faisant objet d'une recherche de formulation sur la wikiversité, nous faisons bien la différence ENTRE ÊTRE et EXISTER. L'existence résulte de l'exécution d'un processus intelligent à partir d'une situation tertiaire (ni-vrai ; ni-faux) qui ne remet pas en cause le tiers exclu, la non-contradiction, la logique modale ou intuitionisme mais complète les Théorèmes_d'incomplétude_de_Gödel et la sémantique de Kripke. En effet, si une proposition est du type (ni-vrai ; ni-faux) alors on peut définir sa contraposée comme (soit-vrai ; soit-faux) et nous retrouvons le mode basique (vrai/faux). Un exemple ? : proposition 1 :le résultat d'un dé cubique est élément de {1,2,3,4,5,6} IL Y A un élément de cet ensemble sur le tapis = vrai. Proposition 2 : IL EXISTE une éventualité qui ne présente pas un de ces éléments = faux (on ne l'a JAMAIS observée !). Eh bien, il faut attendre de l'observer (le dé est "cassé"). La proposition 2 était du type (ni-vrai ; ni-faux), tant qu'IL N'Y A pas d'observation.

A titre d'exercice d'application, nous proposons ici une démonstration logique du DTF en 2 propositions, qui réduit celle de Wiles au rang d'incohérence. N'hésitez pas à commenter, vous aurez des réponses directement sur vos PDD afin de laisser à de nombreux lecteurs la saveur de la découverte.-- Supreme assis (grain de sel) 9 octobre 2015 à 12:07 (CEST)

J'ai renommé cette section, car le titre précédent ne reflétait pas son contenu. --Pierre de Lyon (discuter) 9 octobre 2015 à 15:27 (CEST)

Prédicat / poids

Bonjour, Comme sur la page "Prédicat", il faudrait modifier "arité" par "poids" pour rester cohérent. --Jacques Segalla (discuter) 6 novembre 2015 à 08:48 (CET)

Je ne pense pas car "arité" est très largement utilisé etfacilement sourçable, mais pourquoi pas signaler une terminologie alternative, s'il y a des sources (livres). Proz (discuter) 6 novembre 2015 à 09:30 (CET)

Je suis revenu à arité sur l'article Prédicat (logique mathématique). --Pierre de Lyon (discuter) 6 novembre 2015 à 12:08 (CET)

Le mot "arité" est plus clair.--Fschwarzentruber (discuter) 25 mai 2016 à 16:41 (CEST)

Bonjour Proz,

Je pense que je vais encore vous faire sourire ou bien bondir d'impatience en vous indiquant que N. Bourbaki dans le livre E de son traité "Eléments de mathématique" associe un "poids" (un entier naturel) à chaque "signe spécifique" d'une théorie. A part dans quelques parties dudit livre, les signes spécifiques employés sont d'une part, = pour une théorie égalitaire et d'autre part, = et ∊ (pour la théorie des ensembles ; ces deux signes étant de poids (i.e. d'arité) 2.

J'ajoute que j'ai souvent rencontré le mot "arité" en informatique.

En espérant ne pas vous avoir trop ennuyé/agacé, je vous souhaite une excellente semaine. Jacques A Mestre (discuter) 23 avril 2023 à 04:23 (CEST)

Restructuration de l'article

Je restructure l'article.

L'introduction est dur à lire contient des phrases très confuses ː

• " Les formules logiques déduites de ce calcul des prédicats ont pour but de s'appliquer à n'importe quel modèle," ː déduites de ce calcul ?ǃ Ca ne veut rien dire ǃ
• " Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est obligée" adjoint ? interprétation est obligée ?ǃ
• " Le calcul des propositions est la partie du calcul des prédicats qui concerne ce qui ne contient pas les notions de variables" ?ǃ Non, la logique propositionnelle n'est pas ce qui concerne etc. C'est une logique. On peut la voir comme un fragment syntaxique.

Je vais mettre les informations techniques dans les sections correspondantes.

La sémantique n'était pas assez mise en valeur.

A bientôt.--Fschwarzentruber (discuter) 22 mai 2016 à 19:54 (CEST)

Interwiki

Il existe first-order logic et predicate logic est malheureusement cet article ne peut être référencé dans les 2. Je l'ai mis dans le premier pour avoir le lien avec les articles en et es. Les allemands ont de:Prädikatenlogik erster Stufe et de:Prädikatenlogik ! Donc je pense qu'il faut renommer cette page en Logique du premier ordre et éviter de dire : « calcul des prédicats du premier ordre = calcul des prédicats ».   <STyx @ (en long break) 11 février 2018 à 16:25 (CET)

Je vote en faveur de "logique du premier ordre". Je déteste l'usage du mot "calcul", en plus le mot "calcul" est utilisé dans "calcul des séquents"... alors si on dit "calcul des séquents pour le calcul des prédicats", on est mort :). Mais, il faut mentionner "Calcul des prédicats" car des sources l'utilisent.

Prédicat et relation au sens de Bourbaki

Je sais que je vais en faire sourire certains et sursauter d'impatience d'autres mais j'aimerais que quelqu'un ait la gentillesse de me dire si, après tout, je peux assimiler une "relation" (telle que définie dans la partie "Description de la mathématique formelle" du Livre E du traité "Eléments de mathématique" de Nicolas Bourbaki ; livre que j'adore pour ceux qui ne le savent pas encore) à un "prédicat". Et si, finalement, ladite Description ne constitue pas une sorte de calcul des prédicats. (J'essaie de me cultiver un peu. A 69 ans et 3 mois, j'espère qu'il n'est pas trop tard.)

Je vous remercie de votre attention et de votre aide si précieuse. Jacques A Mestre (discuter) 21 avril 2023 à 00:59 (CEST)

A propos du signe = (simple remarque)

Bonjour,

Je lis dans l'article "Calcul des prédicats", un peut avant l'Introduction, la phrase suivante : "Le calcul des prédicats du premier ordre égalitaire adjoint au calcul des prédicats un symbole de relation, l'égalité, dont l'interprétation est l'affirmation que deux éléments sont les mêmes, (...)".

Comme je l'avais fait remarqué à mon professeur de mathématiques en 1970, alors que j'étais en classe de seconde au lycée, plutôt que de dire que "deux éléments/objets sont les mêmes ou sont égaux", il vaudrait mieux dire que "les deux expressions situées de part et d'autre du signe/symbole =, représentent le même élément/objet" et que, pour simplifier, on dit "expression 1 égal expression 2".

Ainsi lorsqu'on écrit "13+2 = 16-1" (i.e. qu'on lit 13+2 égal 16-1) ce ne sont pas les deux éléments de type chaîne de caractères "13+2" et "16-1" qui sont les mêmes ; mais les deux expressions "13+2" et "16-1" qui représentent le même élément/objet (ici le même nombre entier naturel) également représenté par les expressions telles que "15" (mot formé de chiffres décimaux) et "quinze" (mot français formé de lettres) voire "fifteen" (mot anglais formé de lettres).

Remarque. Quitte à faire grincer les dents de certaines personnes, je vais encore citer le livre E du traité "Eléments de mathématique" de Nicolas Bourbaki. Ce livre, au chapitre "Théories égalitaire", indique qu'une telle théorie est une théorie quantifiée (donc une théorie logique) dans laquelle figure le signe (spécifique) relationnel de poids 2, noté = (qui se lit "égal") ; et que si 𝑇 et 𝑈 sont des "termes" de la théorie alors l'assemblage =𝑇𝑈 est une relation de la théorie (dite relation d'égalité, qui en pratique est désignée par 𝑇 = 𝑈 ou (𝑇) = (𝑈)). Or le chapitre "Constructions formatives" inclut la remarque "Intuitivement, les "termes" (respectivement, les "relations") sont les assemblages de constructions formatives qui représentent des "objets" (respectivement, des "assertions que l'on peut faire sur des objets").

Il est donc clair que Bourbaki partage mon avis ; à savoir qu'autour du signe = la syntaxe n'attend pas deux éléments/objets, mais deux termes/expressions qui représentent en principe le même objet. Je dis "en principe" car, sauf erreur de ma part, "0 = 1" est une relation de la théorie des ensembles qui reste une assertion tant qu'on n'a pas prouvé, par exemple, via un paradoxe que ladite théorie est contradictoire, c'est à dire qu'il existe une relation telle que cette relation et sa négation soient toutes deux des théorèmes de la théorie des ensembles (auquel cas, en tant que théorie logique, toute relation de la théorie des ensembles, en particulier "0 = 1", serait un théorème).

Je ne pense pas que cette remarque ait un impact sur le Calcul des prédicats". Par contre, je crois fermement qu'elle a de l'importance quant à la rigueur nécessaire pour l'usage de la langue française dans le domaine des mathématiques (au moins).

Bon ! Faites ce que vous voudrez/pourrez de ma remarque. Faites au mieux. Cela ne m'inquiète guère.

Comme à l'habitude, je vous remercie de votre attention, voire de votre aide. Et je souhaite à toutes et à tous un excellent dimanche et une excellente semaine. Jacques A Mestre (discuter) 23 avril 2023 à 05:46 (CEST)

pb vraisemblable de parenthésage dans une image de l'article

Exemple d'une formule de la logique du premier ordre. Le schéma montre les quantificateurs, les occurrences des symboles de fonctions et des symboles de prédicats.

Bonjour Cette image dit "Tout le monde a un ami et x est l'ami de la mère de y" (et pas, par exemple "Tout le monde a un ami et est ami de la mère de cet ami"). J'imagine que ce n'est pas ce qui était souhaité ; le commentaire parlant de notions syntaxiques (basiques) autres). Merci à l'auteur de l'image de la modifier ou d'expliciter son usage dans l'article et à quiconque d'utiliser l'image actuelle pour illustrer l'article Variable libre (qui pourrait d'ailleurs plutôt s'appeler variable libre et variable liée). Cordialement --Zyrle (discuter) 7 avril 2024 à 00:01 (CEST)

Je vois en regardant de nouveau l'image qu'on a là un prédicat "amis" qui semble par une pirouette orthographique française (donc rien à voir avec le calcul des prédicats) dire un truc comme :

• amis(x,y) ssi ami(x,y) et ami(y,x).

ça laisse à méditer. --Zyrle (discuter) 7 avril 2024 à 00:12 (CEST)

Bonjour,

merci pour votre commentaire. La formule de l'image dit :

"Pour tout x, il existe y tel que (x et y sont amis et x et la mère de y sont amis)".

Autrement dit, "tout le monde possède un ami y et aussi ami avec la mère de y"

Autrement dit, ça colle avec "Tout le monde a un ami et est ami de la mère de cet ami"

Peut-être que c'est mieux que je rajoute des parenthèses autour de "amis(x, y) and amis(x, mère(y)" ? Mon intuition est d'avoir les deux occurrences de y liées à la quantification existentielle y (avoir une occurrence y liée, puis la deuxième libre est vraiment bizarre !) Si c'est bien ça, je vais rajouter les parenthèses, vous avez raison.

Quant à l'exemple, oui, il y a un prédicat "amis" et la signification de "amis(x, y)" est "x et y sont amis" (dans les modèles concernées, la relation est symétrique ; dit autrement on pourrait imaginer une théorie de l'amitié symétrique avec un axiome amis(x, y) <-> amis(y, x), mais bon, là ce n'est pas le propos de l'exemple).

Bonne journée. Fschwarzentruber (discuter) 7 avril 2024 à 08:56 (CEST)

Il n'y a pas de doute que sans parenthésage c'est la lecture de Zyrie qui est la plus courante, et surtout elle correspond à la définition par induction donnée plus bas. L'exemple est purement syntaxique, mais effectivement on évite d'avoir dans une formule des occurrences à la fois libres et liées de la même variable (ou plusieurs occurrences de la même variable liées par deux quantificateurs différents "imbriqués") même si formellement ça n'est pas interdit (c'est ce qui est appelé "formule polie" en dessous, pas de source, ça pourrait être dans Cori-Lascar). Toujours en suivant la définition par induction de l'article (qui est assez courante), il n'y a pas de "," après ∀x. Proz (discuter) 7 avril 2024 à 11:21 (CEST)

Bonjour, merci pour vos commentaires. J'ai mis à jour l'image. C'est mieux ? (attention, pour comprendre la discussion ci-dessus, il faut voir l'historique de l'illustration dans commons, car l'image est mise à jour) Fschwarzentruber (discuter) 7 avril 2024 à 14:36 (CEST)

Oui, merci. Proz (discuter) 7 avril 2024 à 21:07 (CEST)

Bonjour, merci à vous 2 pour vos interventions.

Je ne vois pas la modification de l'image dans cette pdd ni dans l'article mais seulement ici, sans doute un bug technique.

L'image est maintenant correctement parenthésée relativement à la def par induction de l'article (comme le dit Proz) ; merci Fschwarzentruber.

Pour la virgule entre les 2 quantif, elle aussi, encore avec Proz m'avait gênée, car correspond à une abréviation et pas forcément correcte (manque sans doute une autre virgule après le second quantificateur). Le fond du sujet est que souvent on abrège les formules et un usage est en effet d'utiliser des virgules à la place des parenthèses ouvrantes (thm que je ne pourrais sourcer : si dans une formule du calcul des prédicats/propositionnel parenthésée telle la def par induction on supprime toutes les parenthèses fermantes, celles si sont retrouvables ! Ainsi les parenthèses ouvrantes suffisent et peuvent être remplacées par d'autres symboles, comme la virgule (cas ici) ou le point (+- système d'écriture des Principia Mathematica.

Sinon je demeure gêné par un prédicat "amis" qui fait porter sur le nom du prédicat une propriété (la symétrie comme tu le dis bien François). Cet article a une vocation propédeutique à destination de débutants en logique. De telles, que dire, absence de rigueur formelle ou plutôt mélange de niveaux sémantiques, ne peuvent qu'apporter de la confusion aux débutants (perso, débutant en logique cela m'aurait perturbé).

Bien à vous. --Zyrle (discuter) 8 avril 2024 à 01:28 (CEST) (aka le plus petit point fixe d'une fonction sur les ordinaux ;-))

Je comprends complétement ta gêne par rapport au prédicat "amis". C'est inhérent au fait de prendre un exemple concret ; on a toujours en tête une théorie sous-jacente (le Sigma, pour faire du \Sigma |= \phi). Fschwarzentruber (discuter) 8 avril 2024 à 08:49 (CEST)