Ultralimite

En mathématiques, une ultralimite est une construction géométrique qui associe à une suite d'espaces métriques X_n un espace métrique qui est leur « limite ». Cette construction est une généralisation de la convergence au sens de Hausdorff, et utilise un ultrafiltre pour éviter d'avoir à considérer des sous-suites convergentes.

Pour la limite inductive d'une suite d'ultraproduits, voir Ultraproduit.

Ultrafiltres[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Ultrafiltre.

Rappelons qu'un ultrafiltre ω sur l'ensemble ℕ des entiers naturels est une mesure finiment additive^[1] ω : 2^ℕ → {0, 1}, allant de l'ensemble des parties 2^ℕ (c'est-à-dire de l'ensemble de tous les sous-ensembles de ℕ) vers l'ensemble {0, 1}, telle que ω(ℕ) = 1. Un ultrafiltre ω sur ℕ est non trivial si, pour tout sous-ensemble fini F ⊂ ℕ, on a ω(F) = 0.

Limite d'une suite relativement à un ultrafiltre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Filtre (mathématiques).

Soit ω un ultrafiltre non-trivial sur $\mathbb {N}$ . Si $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une suite de points d'un espace métrique (X,d) et si x ∈ X, on dit que la suite est ω-convergente vers le point x, appelé la ω -limite de x_n, et noté $x=\lim _{\omega }x_{n}$ , si pour tout $\epsilon >0$ on a :

\omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.

Les propriétés suivantes sont faciles à démontrer :

si une suite est ω-convergente, sa ω-limite est unique.
si $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$ au sens usuel, $x=\lim _{\omega }x_{n}$ . (pour que cette propriété soit vraie, il est crucial que l'ultrafiltre soit non-trivial.)

Une caractérisation importante des espaces compacts est que toute suite est ω-convergente (ce résultat est vrai en fait même pour des espaces topologiques quelconques, en généralisant la définition^[2]) ; comme on l'a dit, la ω-limite est d'ailleurs nécessairement unique. En particulier, toute suite bornée de nombres réels admet une ω-limite, puisque tout intervalle fermé de $\mathbb {R}$ est compact.

Ultralimite d'espaces métriques pointés[modifier | modifier le code]

Soit ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb {N}$ . Soit (X_n,d_n) une suite d'espaces métriques pointés par des points de base p_n∈X_n.

On dira qu'une suite $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , où x_n∈X_n, est admissible si la suite des nombres réels (d_n(x_n,p_n))_n est bornée, c'est-à-dire s'il existe un réel positif C tel que $d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C$ . Notons ${\mathcal {A}}$ l'ensemble de toutes les suites admissibles. On voit facilement (à l'aide de l'inégalité triangulaire) que pour deux suites admissibles $\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , la suite (d_n(x_n,y_n))_n est bornée et donc qu'elle est ω-convergente vers ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})$ . Définissons alors sur l'ensemble ${\mathcal {A}}$ une relation $\sim$ de la manière suivante : pour $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}$ , on a $\mathbf {x} \sim \mathbf {y}$ si ${\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.$ Il est facile de voir que $\sim$ est une relation d'équivalence sur ${\mathcal {A}}.$

L'ultralimite de la suite (X_n,d_n, p_n) relativement à ω est un espace métrique $(X_{\infty },d_{\infty })$ défini de la manière suivante^[3] :

X_{\infty }={\mathcal {A}}/\sim

(en tant qu'ensemble).

Pour deux classes d'équivalence (relativement à

\sim

)

[\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]

contenant les suites admissibles

\mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }

et

\mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }

, on pose

d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).

Il n'est pas difficile de voir que $d_{\infty }$ est bien définie (c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas des représentants $\mathbf {x}$ et $\mathbf {y}$ choisis), et que c'est une distance sur $X_{\infty }$ ; on note $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ l'ultralimite de la suite.

Le cas des espaces uniformément bornés[modifier | modifier le code]

Supposons que (X_n,d_n) soit une suite d'espaces métriques de diamètre uniformément bornés, c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel C>0 tel que diam(X_n)≤C pour tout $n\in \mathbb {N}$ (autrement dit, pour tout n et tout couple $(x_{n},y_{n})\in X_{n}^{2}$ , on a $d_{n}(x_{n},y_{n})<C$ ). Alors, pour tout choix de points de base p_n dans X_n, toutes les suites $(x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}$ sont admissibles. Dans ce cas, le choix des points de base n'a pas à être spécifié pour définir une ultralimite, et l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })$ dépend seulement de (X_n,d_n) et de ω ; on écrit alors $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ .

Propriétés de base des ultralimites[modifier | modifier le code]

Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques géodésiques^[4], alors $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est aussi géodésique.
Si les (X_n,d_n) sont des espaces métriques complets, $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est également complet^[5].
Si (X_n,d_n) est une suite d'espaces compacts qui converge (au sens de Hausdorff) vers un espace (X,d), ce qui implique que les (X_n,d_n) sont de diamètre uniformément borné, alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d).
Si les (X_n,d_n)sont des espaces métriques propres^[6], et si $p_{n}\in X_{n}$ sont des points de base tels que la suite (X_n,d_n,p_n) converge (au sens de Hausdorff) vers un espace métrique propre (X,d), alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est isométrique à (X,d)^[7].
Soient κ ≤ 0 et (X_n, d_n) une suite de CAT(κ)-espaces. Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est aussi un CAT(κ)-espace^[7].
Soit (X_n,d_n) une suite de CAT(κ_n)-espaces, où $\lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .$ Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})$ est un arbre réel^[7].

Cônes asymptotiques[modifier | modifier le code]

Les cônes asymptotiques d'espaces métriques forment une importante classe d'ultralimites. Soit (X,d) un espace métrique, ω un ultrafiltre (non trivial) sur $\mathbb {N}$ , et p_n ∈ X une suite de points de base. Alors l'ultralimite (relativement à ω) de la suite $(X,{\frac {d}{n}},p_{n})$ s'appelle le cône asymptotique de X et se note $Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,$ . On choisit souvent la suite des points de base constante : p_n=p pour un p fixé de X ; dans ce cas le cône asymptotique ne dépend pas de p et est noté $Cone_{\omega }(X,d)\,$ ou simplement $Cone_{\omega }(X)\,$ .

Cette construction joue un rôle important dans la théorie géométrique des groupes, car les cônes asymptotiques (ou plus précisément leurs types topologiques et leurs types lipschitziens) fournissent des invariants quasi-isométriques^[8] des espaces métriques en général et des groupes à nombre fini de générateurs en particulier^[9]. Les cônes asymptotiques se sont également révélés utiles dans l'étude des groupes relativement hyperboliques (en) et de leurs généralisations^[10].

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit (X,d) un espace métrique compact ; posons (X_n,d_n)=(X,d) pour chaque $n\in \mathbb {N}$ . Alors l'ultralimite $(X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d).
Soient (X,d_X) et (Y,d_Y) deux espaces métriques compacts distincts et soit (X_n,d_n)une suite telle que pour tout n on ait (X_n,d_n)=(X,d_X) ou (X_n,d_n)=(Y,d_Y). Soit $A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,$ et $A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,$ . Alors A₁, A₂ sont disjoints et $A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .$ Par conséquent, l'un des A₁, A₂ est de ω-mesure 1 et l'autre a pour ω-mesure 0. Donc $\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})$ est isométrique à (X,d_X) si ω(A₁)=1 et est isométrique à (Y,d_Y) si ω(A₂)=1. Cela montre que l'ultralimite peut dépendre du choix de l'ultrafiltre ω.
Soit (M,g) une variété riemannienne compacte connexe de dimension m, où g est une métrique riemannienne sur M. Soit d la métrique sur M correspondant à g ; (M,d) est alors un espace métrique géodésique^[4]. Choisissons un point de base p∈M. Alors l'ultralimite (et même la limite ordinaire au sens de Hausdorff) $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace tangent T_pM de M à p, la distance sur T_pM étant donnée par le produit scalaire g(p). Ainsi, l'ultralimite $\lim _{\omega }(M,nd,p)$ est isométrique à l'espace euclidien $\mathbb {R} ^{m}$ muni de la distance usuelle^[11].
Soit $(\mathbb {R} ^{m},d)$ l'espace euclidien usuel à m dimensions. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)$ est isométrique à $(\mathbb {R} ^{m},d)$ .
Soit $(\mathbb {Z} ^{2},d)$ le réseau entier de dimension 2 avec la distance entre deux points du réseau donnée par la longueur du plus court chemin les reliant. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)$ est isométrique à $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$ , où $d_{1}\,$ est la distance de Manhattan sur $\mathbb {R} ^{2}$ , connue aussi sous le nom de norme 1 : $d(x,y)=\|x-y\|_{1}$ .
Soit (X,d) un espace métrique géodésique δ-hyperbolique (en), avec δ ≥ 0. Alors le cône asymptotique $Cone_{\omega }(X)\,$ est un arbre réel^[7]^,^[12].
Soit (X,d) un espace métrique de diamètre fini. Alors $Cone_{\omega }(X)\,$ est réduit à un point.
Soit (X,d) un espace CAT(0) métrique. Alors $Cone_{\omega }(X)\,$ est aussi un espace CAT(0)^[7].

Notes[modifier | modifier le code]

↑ En fait, un ultrafiltre U est un sous-ensemble de l'ensemble des parties 2^ℕ (qui est un filtre maximal) ; la mesure ω considérée ici est la fonction caractéristique d'un tel U.
↑ On dit qu'un filtre est convergent vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x ; avec cette définition, un espace est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur cet espace est convergent, et si l'espace est séparé, la limite est unique.
↑ Roe 2003, Definition 7.19, p. 107.
↑ ^{a et b} C'est-à-dire que par deux points passe toujours une géodésique minimisant la distance.
↑ van den Dries et Wilkie 1984.
↑ Un espace métrique est propre si toute boule fermée est compacte
↑ ^{a b c d et e} Kapovich et Leeb 1995.
↑ On dit que f est une quasi-isométrie de M₁ vers M₂ s'il existe des constantes A≥1 et B≥0 telles que ${\frac {1}{A}}\;d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq A\;d_{2}(f(x),f(y))+B$ pour tous les $x,y\in M_{1}$ et une constante C ≥ 0 telle que pour chaque u de M₂ il existe x dans M₁ avec $d_{2}(u,f(x))\leq C.$
↑ Roe 2003.
↑ Cornelia Druţu et Mark Sapir (avec un appendice dû à Denis Osin et Mark Sapir), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.
↑ (ru) Yu. Burago, M. Gromov et G. Perel'man, « A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below », Uspekhi Matematicheskih Nauk, vol. 47, 1992, p. 3-51 ; traduit dans (en) Russian Math. Surveys, vol. 47, n^o 2, 1992, p. 1-58.
↑ Roe 2003, Example 7.30, p. 118.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ultralimit » (voir la liste des auteurs).
(en) John Roe, Lectures on Coarse Geometry, AMS, 2003, 175 p. (ISBN 978-0-8218-3332-2, lire en ligne), chap. 7
(en) L. van den Dries et A. J. Wilkie, « On Gromov's theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic », Journal of Algebra, vol. 89,‎ 1984, p. 349-374
(en) M. Kapovich et B. Leeb, « On asymptotic cones and quasi-isometry classes of fundamental groups of nonpositively curved manifolds », GAFA, vol. 5, n^o 3,‎ 1995, p. 582-603
(en) M. Kapovich, Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Birkhäuser, 2000 (ISBN 978-0-8176-3904-4), ch. 9
(en) Cornelia Druțu et Mark Sapir (Appendix : Denis Osin et Mark Sapir), « Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups », dans Topology, vol. 44, n° 5, 2005, p. 959-1058
(en) M. Gromov, Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces, Progress in Mathematics, vol. 152, Birkhäuser, 1999 (ISBN 0817638989), ch. 3
(en) B. Kleiner et B. Leeb, « Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and Euclidean buildings », dans Publ. Math. IHES, vol. 86, n° 1, décembre 1997, p. 115-197

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[1] En fait, un ultrafiltre U est un sous-ensemble de l'ensemble des parties 2^ℕ (qui est un filtre maximal) ; la mesure ω considérée ici est la fonction caractéristique d'un tel U.

[2] On dit qu'un filtre est convergent vers x s'il est plus fin que le filtre des voisinages de x ; avec cette définition, un espace est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur cet espace est convergent, et si l'espace est séparé, la limite est unique.

[3] Roe 2003, Definition 7.19, p. 107.

[emg-4] {a et b} C'est-à-dire que par deux points passe toujours une géodésique minimisant la distance.

[DW-5] van den Dries et Wilkie 1984.

[6] Un espace métrique est propre si toute boule fermée est compacte

[KL-7] {a b c d et e} Kapovich et Leeb 1995.

[8] On dit que f est une quasi-isométrie de M₁ vers M₂ s'il existe des constantes A≥1 et B≥0 telles que ${\frac {1}{A}}\;d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq A\;d_{2}(f(x),f(y))+B$ pour tous les $x,y\in M_{1}$ et une constante C ≥ 0 telle que pour chaque u de M₂ il existe x dans M₁ avec $d_{2}(u,f(x))\leq C.$

[Roe-9] Roe 2003.

[10] Cornelia Druţu et Mark Sapir (avec un appendice dû à Denis Osin et Mark Sapir), Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups. Topology, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.

[11] (ru) Yu. Burago, M. Gromov et G. Perel'man, « A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below », Uspekhi Matematicheskih Nauk, vol. 47, 1992, p. 3-51 ; traduit dans (en) Russian Math. Surveys, vol. 47, n^o 2, 1992, p. 1-58.

[12] Roe 2003, Example 7.30, p. 118.

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