Espace tangent

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Tangent.
Representation du plan tangent à la sphère en un point.

L'espace tangent en un point p d'une variété différentielle M est un espace vectoriel qui intuitivement est l'ensemble de tous les vecteurs-vitesse possibles d'un « mobile » se déplaçant (sans pouvoir la quitter) dans la variété M quand il est en p.

Une façon commune en physique de décrire l'espace tangent est de dire que les vecteurs qu'il contient représentent les différences entre ce point et des points de la variété infiniment proches du premier. Cette façon d'interpréter l'espace tangent revient à considérer que la variété a localement une structure proche de celle d'un espace affine.

Définition lorsque la variété est plongée[modifier | modifier le code]

Lorsque la variété est plongée dans ℝn, l'espace tangent en un point p est simplement l'ensemble des vecteurs tangents en p aux courbes (de classe C1) tracées sur la variété et contenant p.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Définition en termes de chemins[modifier | modifier le code]

L'espace tangent TxM en un point xM et un vecteur tangent vTxM, le long d'une courbe passant par x.

Supposons que M est une variété différentielle de dimension n et de classe C1 et que p est un point de M. Soit (U, φ) une carte locale de M en p. Deux courbes γ1, γ2 : ]–1, 1[ → M, telles que φ∘γ1 et φ∘γ2 soient différentiables en 0, sont dites tangentes en p si γ1(0) = γ2(0) = p et (φ∘γ1)'(0) = (φ∘γ2)'(0). Cette relation est une relation d'équivalence. L'ensemble des classes est l'espace tangent en p à M, noté TpM. La fonction γ ↦ (φ∘γ)'(0) induit par passage au quotient une bijection de TpM dans ℝn qui fait de l'espace tangent un espace vectoriel. La formule du changement de cartes montre que la structure vectorielle ne dépend pas de la carte locale choisie.

Voir aussi[modifier | modifier le code]