Suite de Sheffer

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En mathématiques, et plus précisément en analyse combinatoire, une suite de Sheffer, nommée d'après Isadore M. Sheffer (en), est une suite de polynômes satisfaisant à des conditions permettant le calcul ombral.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit pn une suite de polynômes (de variable x) telle que deg(pn)=n. On définit un opérateur linéaire Q par :Qp_n(x) = np_{n-1}(x)\, ; la famille des pn étant une base, ceci définit Q pour tous les polynômes.

La suite pn est une suite de Sheffer si Q est « invariant par translation », c'est-à-dire si f(x) = g(x + a) (pour tout x) entraîne (Qf)(x) = (Qg)(x + a), autrement dit si Q commute avec tous les opérateurs de translation (on dit qu'un tel Q est un delta opérateur (en)).

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'ensemble des suites de Sheffer est un groupe pour l'opération de composition ombrale, définie de la manière suivante : soit { pn(x) : n= 0, 1, 2, 3, ... } et { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } deux suites polynomiales, avec

p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k\ \mbox{et}\ q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k.

Alors leur composé ombral p \circ q est la suite polynomiale dont le n-ème terme est

(p\circ q)_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x)=\sum_{0\le k \le \ell \le n} a_{n,k}b_{k,\ell}x^\ell.

L'élément neutre de ce groupe est la base canonique des monômes e_n(x) = x^n = \sum_{k=0}^n \delta_{n,k} x^k. (où \delta est le symbole de Kronecker)

Deux sous-groupes importants sont celui des suites d'Appell (en) (contenant par exemple les polynômes d'Appell), pour lesquelles l'opérateur Q est la différentiation usuelle, et celui des suites de type binomial (en), qui sont celles vérifiant l'identité

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)p_{n-k}(y).

Une suite de Sheffer { pn(x): n = 0, 1, 2, ... } est de type binomial si et seulement si p_0(x) = 1\, et p_n(0) = 0\mbox{ pour } n \ge 1. \,

Le groupe des suites d'Appell est abélien, et c'est un sous-groupe distingué ; le groupe des suites de type binomial n'est ni abélien, ni distingué. Le groupe des suites de Sheffer est le produit semi-direct de ces deux sous-groupes ; il en résulte que chaque classe de suites de Sheffer suivant le groupe des suites d'Appell contient exactement une suite de type binomial. Si sn(x) est une suite de Sheffer et pn(x) est la suite de type binomial dans la même classe, alors

s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)s_{n-k}(y).

En particulier, si { sn(x) } est une suite d'Appell,

s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ks_{n-k}(y).

Les suites des polynômes d'Hermite et des polynômes de Bernoulli sont des exemples de suites d'Appell.

Une suite de Sheffer pn est caractérisée par sa fonction génératrice exponentielle

 \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)) \,

A et B sont des séries formelles de puissances de t. Les suites de Sheffer sont ainsi des exemples de polynômes d'Appell généralisés et satisfont par conséquent à une relation de récurrence associée.

Exemples[modifier | modifier le code]

Parmi les suites de polynômes qui sont des suites de Sheffer, on trouve la suite des monômes (x^n), mais aussi :

ainsi que les polynômes de Mahler, les polynômes de Mott, etc.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) G.-C. Rota, P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley, Finite operator calculus, Academic Press,‎ 1975 (ISBN 0125966504)
  • (en) I.M. Sheffer, « Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero », Duke Mathematical Journal, vol. 5,‎ 1939, p. 590–622 (lien DOI?)
  • (en) Steven Roman, The umbral calculus, Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers],‎ 1984 (ISBN 978-0-12-594380-2, lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]