Radical de Bring

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En mathématiques et en algèbre, un radical de Bring ou ultraradical est un zéro réel du polynôme

x^5+x+a\,

dans lequel a est un nombre complexe.

George Jerrard (1804-1863) a montré que certaines équations quintiques peuvent être résolue par radicaux et par radicaux de Bring, qui ont été introduits par Erland Samuel Bring (1736-1798).

La forme normale de Bring-Jerrard[modifier | modifier le code]

Si

x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0\,

puis si

y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4\,

nous pouvons obtenir un polynôme de degré 5 en y, une transformation de Tschirnhaus, par exemple en utilisant le résultant pour éliminer x. Nous pouvons alors chercher les valeurs particulières des coefficients b_i\, qui forment les coefficients du polynôme en y de la forme

y^5 + py + q\,

Cette réduction, découverte par Bring et redécouverte par Jerrard, est appelée une forme normale de Bring-Jerrard. Une attaque directe pour une réduction en forme normale de Bring-Jerrard ne fonctionnera pas ; l'astuce est de le faire par paliers, en utilisant plusieurs transformations de Tschirnhaus, ce qui est réalisé relativement facilement avec un système informatique algébrique.

D'abord, en substituant x-\frac{a_{1}}{5}\, à la place de x, on enlève le terme de trace (degré quatre). Nous pouvons alors employer une idée due à Tschirnhaus pour éliminer aussi le terme en x^3\,, en fixant y = x^2 + px + q\, et en résolvant en p et q pour éliminer les termes en x^4\, et en x^3\,, nous trouvons que q = \frac{2c}{5}\, et

 p = {\sqrt{5c(3c^2-10d)} \over 5c}\,

élimine les deux termes du troisième et quatrième degré de

x^5 + cx^3 + dx^2 + ex + f\,

Nous pouvons maintenant écrire

y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4\,

dans

x^5 + dx^2+ex+f\,

et éliminer aussi le terme en degré deux, d'une manière qui ne nécessite pas de solution d'équation supérieure au degré trois. Ceci demande de prendre les racines carrées pour les valeurs de b_1\,, b_2\, et b_4\,, et de trouver la racine d'une équation cubique pour b_3\,.

La forme générale est assez facile à calculer en utilisant un programme de calcul formel tel que Maple ou Mathematica, mais elle est assez désordonnée, il semble envisageable d'exploiter simplement la méthode, qui peut être appliquée dans n'importe quel cas particulier. On peut établir un système de trois équations, puis les résoudre pour les coefficients b_i\,. Une des solutions ainsi obtenue sera décrite, impliquant les racines d'un polynôme de degré pas plus haut que trois ; en prenant le résultant avec les coefficients ainsi calculés réduit l'équation en forme normale de Bring-Jerrard. Les racines de l'équation originale sont maintenant exprimables en termes de racines de l'équation transformée.

Regardée comme une fonction algébrique, les solutions de

x^5+ux+v = 0\,

impliquent deux variables, u et v, néanmoins la réduction est actuellement en une fonction algébrique d'une variable, très analogue à une solution par radicaux, puisque nous pouvons de plus réduire la forme de Bring-Jerrard. Par exemple, si nous formons

z = {x \over (-u/5)^{1/5}}\,

alors nous réduisons l'équation sous la forme

x^5 - 5x - 4t = 0\,

qui entraîne x comme une fonction algébrique de variable unique t.

Radicaux de Bring[modifier | modifier le code]

Soit une fonction de variable complexe t, les racines x de

x^5 - 5x - 4t = 0\,

se ramifient en points où le discriminant 800000(t^4 - 1)\, est zéro, qui est significatif à 1, -1, i et -i. La monodromie autour de n'importe quel point ramifié échange deux des racines, laissant le reste fixé. Pour les valeurs réelles de t plus grandes ou égales à -1, la plus grande racine réelle est une fonction de t augmentant de façon monotone à partir de 1; nous pouvons appeler cette fonction le radical de Bring, notée \operatorname{BR}(t). En prenant une coupure le long de l'axe réel de - \infty\, jusqu'à -1, nous pouvons étendre le radical de Bring au plan complexe entier, en fixant la valeur le long de la coupure pour qu'elle soit obtenue par prolongement analytique autour du demi-plan supérieur.

Plus explicitement, soit

a_0 = 3, a_1 = {1\over100}, a_2 = -{27\over400000}, a_3 = {549/800000000}, avec a_i\, défini par la relation de récurrence
a_{n+4} = -{\frac {185193}{5278000}}\,{\frac {2\,n+5}{n+4}}a_{n+3}
-{\frac {9747}{
52780000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{ \left( n+4 \right)  \left( 
n+3 \right) }}a_{n+2}
-{\frac {57}{52780000}}\,{\frac { \left( 2\,n+3
 \right)  \left( 10\,{n}^{2}+30\,n+17 \right) }{ \left( n+4 \right) 
 \left( n+3 \right)  \left( n+2 \right) }}a_{n+1}
-{\frac {1}{6597500000}}\,{\frac { \left( 5\,n+11 \right)  \left( 5\,n+7 \right)  \left( 5\,n+3
 \right)  \left( 5\,n-1 \right) }{ \left( n+4 \right)  \left( n+3
 \right)  \left( n+2 \right)  \left( n+1 \right) }}a_n\,.

Pour les valeurs complexes de t tel que |t - 57| < 58\,, nous avons alors

\operatorname{BR}(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n (t-57)^n,\,

qui peut alors être prolongé analytiquement de la manière décrite.

Les racines de x^5 - 5x - 4t = 0\, peuvent être maintenant exprimés en termes de radical de Bring radical sous la forme

r_n = i^{-n} \operatorname{BR}(i^n t)

pour n allant de 0 à 3, et

r_4 = -r_0-r_1-r_2-r_3

pour la cinquième racine.

Solution pour l'équation quintique générale[modifier | modifier le code]

Nous pouvons maintenant exprimer les racines de n'importe quel polynôme

x^5 + px +q\,

en termes de radical de Bring radical sous la forme

\left(-\frac{p}{4}\right)^\frac{1}{4}\operatorname{BR}\left(\frac{(-5/p)^\frac{5}{4} q}{4}\right)\,

et ses quatre conjugués. Nous avons réduit en forme de Bring-Jerrard en termes d'équations polynômiales résolubles, et nous avons utilisé les transformations impliquant des expressions polynômiales en racines jusqu'au quatrième degré, ce qui signifie que l'inversion de la transformation peut être faite en trouvant les racines d'un polynôme résoluble par radicaux. Cette méthode produit des solutions superflues, mais lorsque nous avons trouvé les solutions correctes numériquement, nous pouvons aussi écrire les racines de la quintique en termes de racines carrées, racines cubiques, et le radical de Bring, qui est par conséquent une solution algébrique en termes de fonctions algébriques d'une seule variable - une solution algébrique d'une quintique générale.

Voir aussi[modifier | modifier le code]