Polynômes de Zernike

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Tracés des polynômes de Zernike sur le disque unité.

Les polynômes de Zernike sont une série de polynômes qui sont orthogonaux sur le disque unité. Ils portent le nom de Frits Zernike ; ils jouent un rôle important en optique géométrique.

Historique[modifier | modifier le code]

Définition des polynômes[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Zernike peuvent se décomposer en fonctions paire et impaire. Les fonctions paires sont :

Z^{m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\varphi) \!

et les fonctions impaires sont :

Z^{-m}_n(\rho,\varphi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\varphi), \!

m et n sont des nombres entiers naturels non nuls, avec nm, φ est l'angle d'azimuth exprimé en radians, et ρ est la distance radiale normalisée. Les polynômes radiaux Rmn sont définis tels que :

R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k}

ou

R^m_n(\rho) = \frac{\Gamma(n+1){}_2F_{1}(-\frac{1}{2}(|m|+n),\frac{1}{2}(|m|-n);-n;\rho^{-2})}{\Gamma(\frac{1}{2}(2+n+m))\Gamma(\frac{1}{2}(2+n-m))}\rho^n

pour nm pair, et sont égaux à 0 pour nm impair.

Pour m = 0, le polynôme se réduit à Rn0(ρ).

Interprétation en optique géométrique[modifier | modifier le code]

Si l’on considère une onde lumineuse ayant traversé un système imparfait, le front d’onde en sortie du système n’est pas totalement plat : on définit la fonction de déphasage \Phi qui a tout point d’un plan de front associe le déphasage entre l’onde lumineuse théorique dans le modèle de l’optique géométrique et l’onde lumineuse réelle en tenant compte des défauts, et qui serait égale à la fonction nulle si le système était parfait.

Il est alors possible d’approximer cette phase dite aberrante en tant que combinaison linéaire de polynômes de Zernike, chacun des polynômes de la base considérée correspondant à un catégorie d’aberration différente.

Ainsi, en optique adaptative, il est possible d’utiliser un analyseur de front d’onde couplé à un système informatique capables de calculer \Phi et sa décomposition en polynômes de Zernike en temps réel afin de connaître à tout instant la nature des aberrations du système étudié et éventuellement de les corriger à l’aide d’un miroir déformant (système en boucle fermée).

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes de Zernike sont (avec l’aberration géométrique associée) :

 R^0_0(r) = 1 : piston, correspondant à une image parfaite ;
 R^1_1(r) = r : inclinaison sur l’axe des abscisses (tilt X) ou des ordonnées (tilt Y) ;
 R^0_2(r) = 2r^2 - 1 : erreur de mise au point ou de focalisation ;
 R^2_2(r) = r^2 : astigmatisme à 0 (sur X) ou π/2 (sur Y) radians ;
 R^1_3(r) = 3r^3 - 2r : aberration de coma ;
 R^3_3(r) = r^3 ;
 R^0_4(r) = 6r^4 - 6r^2 + 1 : aberration de sphéricité ;
 R^2_4(r) = 4r^4 - 3r^2 ;
 R^4_4(r) = r^4 ;
 R^1_5(r) = 10r^5 - 12r^3 + 3r ;
 R^3_5(r) = 5r^5 - 4r^3 ;
 R^5_5(r) = r^5 ;
 R^0_6(r) = 20r^6 - 30r^4 + 12r^2 - 1 ;
 R^2_6(r) = 15r^6 - 20r^4 + 6r^2 ;
 R^4_6(r) = 6r^6 - 5r^4 ;
 R^6_6(r) = r^6.

Application à la conception optique[modifier | modifier le code]

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]