Point col

Le point en rouge est le point du graphe de la fonction $(x,y)\mapsto x^2-y^2$ associé à son unique point-selle $(0,0)$.

En mathématiques, un point-selle (en anglais saddle point) d'une fonction $f$ définie sur un produit cartésien $X\times Y$ de deux ensembles $X$ et $Y$ est un point $(\bar{x},\bar{y})\in X\times Y$ tel que

• $y\mapsto f(\bar{x},y)$ atteint un maximum en $\bar{y}$ sur $Y$ et
• $x\mapsto f(x,\bar{y})$ atteint un minimum en $\bar{x}$ sur $X$.

Le terme point-selle fait référence à la forme de selle de cheval que prend le graphe de la fonction lorsque $X$ et $Y$ sont des intervalles de $\R$. On utilise aussi parfois l'appellation point-col, en renvoyant alors à l'image du col de montagne.

La notion de point-selle intervient

• en optimisation, comme concept permettant d'énoncer des conditions assurant l'existence de solution primale-duale,
• en théorie des jeux,
• pour déterminer des solutions particulières de certaines équations qui ne sont pas des minima ou des maxima de fonctionnelle d'énergie.

Définition

Voici une définition assez générale de la notion de point-selle d'une fonction définie sur un produit cartésien d'ensembles. Aucune structure n'est requise sur ces ensembles. La fonction doit par contre prendre ses valeurs dans l'ensemble des réels $\R$ (ou plus généralement dans la droite réelle achevée $\bar{\R}$).

Point-selle — Soient $X$ et $Y$ deux ensembles et $f : X\times Y\to\bar{\R}$ une fonction pouvant prendre les valeurs $\pm\infty$. On dit que $(\bar{x},\bar{y})\in X\times Y$ est un point-selle de $f$ sur $X\times Y$ si

$\forall\,(x,y)\in X\times Y:\qquad f(\bar{x},y)\leq f(\bar{x},\bar{y})\leq f(x,\bar{y}).$

Dans les conditions ci-dessus, $f(\bar{x},\bar{y})$ est appelée la valeur-selle de $f$.

Autrement dit, $y\mapsto f(\bar{x},y)$ atteint un maximum en $\bar{y}$ sur $Y$ et $x\mapsto f(x,\bar{y})$ atteint un minimum en $\bar{x}$ sur $X$. Rien n'est requis en dehors de la croix $(\{\bar{x}\}\times Y)\cup(X\times\{\bar{y}\})$.

Résultat d'existence

Le résultat d'existence de point-selle ci-dessous rappelle celui de Weierstrass sur l'existence d'un minimiseur de fonction, mais requiert une hypothèse de convexité-concavité de $f$. Sans cette dernière hypothèse, pas de point-selle garanti comme le montre l'exemple de la fonction

$f(x,y)=x^2+y^2,~~\mbox{sur}~[-1,1]\times[-1,1].$

Existence de point-selle — Supposons que $X$ et $Y$ soient des convexes compacts non vides d'espaces vectoriels de dimension finie et que

• pour tout $y\in Y$, $f(\cdot,y)$ est convexe semi-continue inférieurement,
• pour tout $x\in X$, $f(x,\cdot)$ est concave semi-continue supérieurement.

Alors $f$ a un point-selle dans $X\times Y$.

Ce résultat généralise l'identité de von Neumann qui traite du cas où $f$ est bilinéaire et les ensembles $X$ et $Y$ sont des simplexes de dimension finie.

Aspects calculatoires

Utilisation de la hessienne

Une méthode permettant de déterminer si un point critique d'une fonction différentiable de deux variables à valeurs réelles $f(x,y)$ est un point-selle consiste à calculer la matrice hessienne en ce point. Si la hessienne a une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, alors le point est un point-selle.

Par exemple, la hessienne de la fonction $f(x,y)=x^2-y^2$ au point critique $(0, 0)$ est la matrice

$\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & -2 \\ \end{bmatrix},$

qui a une valeur propre strictement positive (2) et une valeur propre strictement négative (-2). Par conséquent, $(0, 0)$ est un point-selle.

Ce critère ne donne pas de condition nécessaire : pour la fonction $(x,y)\mapsto f(x,y)=x^4-y^4$, le point $(0, 0)$ est un point-selle mais la hessienne en ce point est la matrice nulle. Donc la hessienne n'a pas de valeur propre strictement positive et négative.

Annexes

Article connexe

• Fonction convexe-concave
• Méthode du point-col

Bibliographie

• H. Brézis (1973). Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. ISBN 978-0-7204-2705-9.
• (en) M. Sion (1958). On general minimax theorems. Pacific Journal of Mathematics 8, 171-176.