Ondelette de Haar

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L'ondelette de Haar

L'ondelette de Haar, ou fonction de Rademacher, est une ondelette créée par Alfréd Haar en 1909[1]. On considère que c'est la première ondelette connue. Elle est la plus simple à comprendre et à implémenter. C'est une fonction dilatée et/ou translatée de la fonction mère ψ qui vaut :

\psi(t)= \left\{ 
\begin{array}{l l}
  1 & \quad \textrm{pour} \;\; 0\le t < \frac12\\
  -1 & \quad \textrm{pour} \;\;\frac12\le t <1 \\
	0 & \quad \textrm{sinon}\\ 
\end{array} \right.

Une généralisation est ce qu'on appelle le Système de Haar.

Le système de Haar[modifier | modifier le code]

Le Système de Haar est une suite de fonctions continues par morceaux, appartenant à  L^p( [0,1]) pour  1 \leq p < + \infty . Il est défini de la manière suivante :

  •  h_1(t) = 1 \, \forall t \in [0,1]
  • Pour k \geq 0 et  1 \leq l \leq 2^k  :
 h_{2^k+l}(t) = 1 si  \frac{2l-2}{2^{k+1}} < t < \frac{2l-1}{2^{k+1}}


 h_{2^k+l}(t) = -1 si  \frac{2l-1}{2^{k+1}} < t < \frac{2l}{2^{k+1}}

et 0 ailleurs.

Voici les représentations graphiques de h_2 et de  h_3  :

H2wiki.png
H3wiki.png

Une des propriétés intéressantes du système de Haar est qu'il est une Base de Schauder de  L^p( [0,1]) pour  1 \leq p < + \infty .

Références[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

  1. (en) « Wavelets: seeing the Forest - and the Trees », sur www.beyonddiscovery.org (consulté le 22 mai 2010)

Articles connexes[modifier | modifier le code]