Négation logique

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En logique et en mathématiques, la négation est un opérateur logique unaire, on dit aussi connecteur logique unaire. Il sert à créer une proposition à partir d'une autre en en inversant la signification, de « vrai » en « faux » ou de « démontrable » en « non démontrable ».

On note la négation d'une proposition P de diverses manières dont :

  • ¬P (utilisée dans cet article);
  • Non P ;
  • ~P ;

Ces formulations se lisent « négation de P » ou plus simplement « non P ».

Dans l'interprétation par des tables de vérité, la proposition ¬P est vraie quand P est fausse et elle est fausse quand P est vraie. La table de vérité s'écrit simplement :

P ¬P
V F
F V

En logique classique, la double négation correspond à une affirmation; autrement dit, les propositions P et ¬ (¬P) sont logiquement équivalentes. En logique intuitionniste, la proposition ¬¬P est plus faible que P, dans le sens où P implique ¬¬P, mais ¬¬P n'implique pas P. Néanmoins, les propositions ¬¬¬P et ¬P sont logiquement équivalentes.

Voici quelques règles d'utilisation des négations en logique classique :

¬(P ou Q) équivaut à (¬P) et (¬Q)
¬(P et Q) équivaut à (¬P) ou (¬Q)
¬(P ⇒ Q) équivaut à P et (¬Q)
¬(∃x, P(x)) équivaut à ∀x, ¬P(x)
¬(∀x, P(x)) équivaut à ∃x, ¬P(x)

Articles connexes[modifier | modifier le code]