Inégalité de Hardy

L'inégalité de Hardy est une inégalité en mathématiques, portant le nom de G. H. Hardy. Ce résultat énonce que si $a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ est une suite de nombres réels positifs ou nuls, alors pour tout nombre réel p > 1 on a

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.$$

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vérifiée si et seulement si $a_{n}=0$ pour tout $n$.

Une version intégrale de l'inégalité de Hardy énonce ce qui suit : si $f$ est une fonction mesurable à valeurs positives définie sur $[0,+\infty [$, alors

$$\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\,\mathrm {d} x\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x.$$

Si le membre de droite est fini, l'égalité est vraie si et seulement si $f(x)=0$ presque partout.

L'inégalité de Hardy a été publiée et prouvée pour la première fois (du moins la version discrète avec une constante moins précise) en 1920 dans une note de Hardy. La formulation originale était sous une forme intégrale légèrement différente de la précédente.

Version générale avec poids

On a une version générale de l'inégalité de Hardy avec poids :

• Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}<1$, alors

$\int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(1-\alpha -{\frac {1}{p}}\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x$

• Si $\alpha +{\tfrac {1}{p}}>1$, alors

$\int _{0}^{\infty }\left(y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,\mathrm {d} x\right)^{p}\,\mathrm {d} y\leqslant {\frac {1}{\left(\alpha +{\frac {1}{p}}-1\right)^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x.$

Version multidimensionnelle

Dans le cas multidimensionnel, l'inégalité de Hardy peut être étendue aux espaces $L^{p}$, prenant la forme

$$\left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(R^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(R^{n})},2\leqslant n,1\leq p<n,$$

où $f\in C_{0}^{\infty }(R^{n})$, et où la constante ${\frac {p}{n-p}}$ est optimale.

Démonstration de l'inégalité

Version intégrale

Un changement de variables donne

$$\left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\ \mathrm {d} x\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,\mathrm {d} s\right)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p},$$

qui est inférieur ou égal à $\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\,\mathrm {d} s$ par l'inégalité intégrale de Minkowski. Enfin, par un autre changement de variables, la dernière expression est égale à

$$\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}s^{-1/p}\,\mathrm {d} s={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}.$$

Version discrète

En supposant que le côté droit soit fini, on doit avoir $a_{n}\to 0$ quand $n\to \infty$ . Par conséquent, pour tout entier positif j, il n'y a qu'un nombre fini de termes supérieurs à $2^{-j}$. Cela permet de construire une suite décroissante $b_{1}\geq b_{2}\geqslant \cdots$ contenant les mêmes termes positifs que la suite d'origine (mais éventuellement aucun termes nuls). Puisque $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}$ pour tout n, il suffit de montrer l'inégalité pour la nouvelle suite. Cela découle directement de la forme intégrale, en définissant $f(x)=b_{n}$ si $n-1<x<n$ et $f(x)=0$ autrement. En effet, on a

$$\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}$$

et pour $n-1<x<n$, on a

$${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geqslant {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}$$

(la dernière inégalité équivaut à $(n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}$, ce qui est vrai car la nouvelle suite est décroissante) et donc

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leqslant \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t\right)^{p}\,\mathrm {d} x.$$

Voir également

• Inégalité de Carleman

Bibliographie

• (en) G. H. Hardy, Littlewood J.E. et Pólya, G., Inequalities, 2nd ed, Cambridge etc., Cambridge University Press, 1952, 324 p. (ISBN 0-521-35880-9)
• Michiel Hazewinkel, ed. Hardy inequality, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001
• (en) Alois Kufner et Persson, Lars-Erik, Weighted inequalities of Hardy type, Singapore/River Edge (N.J.)/London etc., World Scientific Publishing, 2003, 357 p. (ISBN 981-238-195-3)
• Nader Masmoudi, About the Hardy Inequality, in Dierk Schleicher, Malte Lackmann (eds.), An Invitation to Mathematics, Springer Berlin Heidelberg, 2011
• Michael Ruzhansky et Suragan, Durvudkhan, Hardy Inequalities on Homogeneous Groups : 100 Years of Hardy Inequalities, Birkhäuser Basel, 2019, 571 p. (ISBN 978-3-030-02895-4, lire en ligne)