Inégalité de Carleman

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

L'inégalité de Carleman est une inégalité démontrée par Torsten Carleman (en) en 1922[1] et portant sur les séries à termes positifs :

\sum_{n=1}^{+\infty} \Big(\prod_{k=1}^n a_k \Big)^{1/n} \le{\rm e}\sum_{n=1}^{+\infty} a_n.

La constante e est la meilleure possible. L'inégalité est stricte sauf pour la suite nulle.

Démonstration de l'inégalité[modifier | modifier le code]

Soit pour tout n\in\N^*, c_n=\frac{(n+1)^n}{n^{n-1}}. Observons que c_1c_2\cdots c_n=(n+1)^n, et donc (c_1c_2\cdots c_n)^{1/n}=n+1. Soit N\in\N. Alors, d'après l'inégalité arithmético-géométrique,

\begin{align}
  \sum_{n=1}^N\Big(\prod_{k=1}^na_k\Big)^{1/n}
  &=\sum_{n=1}^N\frac1{n+1}\Big(\prod_{k=1}^na_kc_k\Big)^{1/n}\\
  &\leqslant\sum_{n=1}^N\frac1{n(n+1)}\sum_{k=1}^na_kc_k.
\end{align}

Une inversion de somme conduit alors à

\begin{align}
\sum_{n=1}^N\Big(\prod_{k=1}^na_k\Big)^{1/n}
  &\leqslant\sum_{k=1}^N\Big(\sum_{n=k}^N\frac1{n(n+1)}\Big)a_kc_k\\
  &=\sum_{k=1}^N\Big(\frac1k-\frac1{N+1}\Big)a_kc_k\\
  &\leqslant\sum_{k=1}^Na_k\frac{c_k}k.
\end{align}

Or la suite de nombre rationnels \textstyle\frac{c_k}k=(1+\frac1k)^k croît vers le nombre irrationnel e, donc \frac{c_k}k<e pour tout k\geqslant1. D'où


  \sum_{n=1}^N\Big(\prod_{k=1}^Na_k\Big)^{1/n}\leqslant e\sum_{k=1}^Na_k,

et cette inégalité est stricte lorsque N est assez grand, à moins que la suite (a_k)_{k\in\N} ne soit identiquement nulle. L'inégalité de Carleman s'en déduit en faisant tendre N vers l'infini.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. T. Carleman, « Sur les fonctions quasi-analytiques », Conférences faites au cinquième congrès des mathématiciens scandinaves tenu à Helsingfors du 4 au 7 juillet 1922, p. 181-196.

Articles connexes[modifier | modifier le code]