Groupe simple d'ordre 360
En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, un groupe simple est un groupe non trivial qui n'admet aucun sous-groupe distingué autre que lui-même et son sous-groupe trivial.
Frank Nelson Cole[1] a démontré en 1893 que tous les groupes simples d'ordre 360 sont isomorphes entre eux. Ils sont donc isomorphes au groupe alterné A6 et au groupe linéaire spécial projectif (groupe linéaire spécial projectif d'un espace vectoriel de dimension 2 sur un corps à 9 éléments), puisque ces deux groupes sont simples et d'ordre 360.
Principe de la démonstration[modifier | modifier le code]
La démonstration de Cole repose essentiellement sur le fait que les 3-sous-groupes de Sylow d'un groupe simple G d'ordre 360 sont au nombre de 10, se coupent trivialement deux à deux et sont non cycliques (donc chaque 3-sous-groupe de Sylow de G, étant d'ordre 9, est produit direct de deux groupes d'ordre 3).
On en déduit que G est isomorphe à un sous-groupe H du groupe alterné A10 possédant les propriétés suivantes :
- H est simple et d'ordre 360 ;
- pour tout 3-sous-groupe de Sylow P de H, il existe un et un seul point de qui est fixé par tout élément de P ;
- pour tout point x de , il existe un et un seul 3-sous-groupe de Sylow P de H tel que tout élément de P fixe x ;
- si P est un 3-sous-groupe de Sylow de H, si x désigne l'unique point de fixé par tout élément de P (voir propriété 2.), le stabilisateur de x dans le groupe H est NH(P) ;
- H n'a pas d'élément d'ordre 9 ;
- tout élément d'ordre 3 de H a la structure cyclique 3-3-3.
On démontre ensuite que les sous-groupes H de A10 possédant ces propriétés sont tous isomorphes entre eux.
Il existe une autre démonstration, reposant sur la théorie des caractères des représentations des groupes finis[2].
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) F. N. Cole, « Simple Groups as far as Order 660 », Amer. J. Math., vol. 15, no 4, , p. 303-315 (JSTOR 2369516).
- I. Martin Isaacs, Character Theory of Finite Groups, réimpression corrigée, Dover, 1994, théorème 5.20, p. 70-72.
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Bibliographie[modifier | modifier le code]
- J. Dieudonné, « Les isomorphismes exceptionnels entre les groupes classiques finis », Canadian Journal of Mathematics, vol. 6, , p. 305-315. (Cité par Daniel Perrin, Cours d'algèbre [détail des éditions], Paris, 2004, p. 107.)
