Ensemble parfait
Dans un espace topologique, un ensemble parfait est une partie fermée sans point isolé, ou de façon équivalente, une partie égale à son ensemble dérivé, c'est-à-dire à l'ensemble de ses « points limites », ou « points d'accumulation ».
Exemples
L'ensemble vide est parfait dans tout espace.
Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple trivial d'ensemble parfait.
Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor . Plus généralement, l'espace produit est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est donné par l'ensemble où est une série absolument convergente de complexes telle que, pour tout N, .
On peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si est une partie fermée de ou de , on définit le dérivé de comme l'ensemble des points d'accumulation de . Pour tout ordinal , on pose , et, si est un ordinal limite, . Si désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que[3] :
- Ou bien . On dit que est réductible ;
- Ou bien et c'est un ensemble parfait. est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.
Propriétés
Un ensemble parfait non vide de ℝ n'est pas dénombrable[4].
Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson .
Notes et références
- René Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, Jacques Gabay, (1re éd. 1905, Gauthier-Villars), p. 54-57
- Jean-Marie Arnaudiès, L'intégrale de Lebesgue sur la droite, Vuibert, 1997, p. 18-20
- Baire 1995, p. 64-68
- Baire 1995, p. 61