Discussion:Analyse complexe

Bonjour, je ne suis pas sûr de la phrase :

Une autre application importante de l'analyse complexe aujourd'hui est la théorie des cordes qui un invariant conforme de la théorie quantique des champs.

Colette 25 mai 2003 ・14:11 (CEST)

Question bête, un "invariant conforme" c'est quoi? Un invariant je connais mais ça ... Med 25 mai 2003 ・15:36 (CEST)

la théorie des cordes qui est un invariant conforme me gène, ce doit être quelquechose dans la théorie des cordes qui est un invariant conforme ?

Colette 25 mai 2003 ・16:49 (CEST)

Un peu comme la conservation de l'énergie provient de l'invariance par translation dans le temps? Ce genre de chose? Sinon la théorie des cordes je n'y connais rien à part qu'elle se sent comme un poisson dans l'eau dans un espace à quelques milliers de dimensions, dixit mon prof de groupes. Med 25 mai 2003 ・16:54 (CEST)

je pense qu'il faut supprimer ce bout "qui est un invariant conforme de la théorie quantique des champs" qui ne sert strictement à rien, qui ne veut rien dire, dont le seul but est d'impressionner les nouveaux avec des mots impressionnants. ke20 27 mai 2003 ・10:30 (CEST)

Prolongement analytique et connexité

Le principe du prolongement analytique fait intervenir la connexité, et non pas la simple connexité. Vivarés 4 décembre 2005 à 23:54 (CET)

Corrigé Peps 29 juin 2006 à 15:21 (CEST)

prolongement analytisque

qu"est qu un domaine de prolongement qu'est ce un ouvert de stein exemple dans C2

Mise à jour

Ne serait-il pas pensable de mettre à jour les paragraphes selon l'évolution des articles sous-jacents ? Par exemple, l'article fonction entière est maintenant bien plus riche que le simple énoncé du théoème de Liouville... Claudeh5 (d) 10 mai 2008 à 08:39 (CEST)

Représentations graphiques

Je viens d'ajouter un paragraphe sur les représentation graphiques des fonctions complexes. Ce n'est pour l'instant qu'un début. Je pense que quelques belles illustrations permettraient de rendre cet article plus attractif.--Djiboun (d) 11 avril 2009 à 12:31 (CEST)

Analyse complexe=fonctions holomorphes

C'est ce que dit l'intro : n'est-ce pas trop réducteur ? Alexandre alexandre (d) 20 avril 2010 à 15:52 (CEST)

C'est un gros morceau, mais si tu as des idées pour t'y attaquer, n'hésite pas. Il faut bien sûr commencer par parler de la dérivation complexe, citer les théorèmes fondamentaux (pioche dans la catégorie:Analyse complexe) pour les fonctions holomorphes, puis parler du corps des méromorphes, évoquer la sphère de Riemann en discutant un peu des homographiques, voir les elliptiques, puis s'attaquer au fonctions multivaluées. Bien évidemment, il faudra caser dans tout ça l'hypothèse de Riemann et faire le lien avec la théorie analytique des nombres. Ensuite, il y a aussi les fonctions à plusieurs variables complexes. Il faudrait lancer enfin le lecteur vers la géométrie complexe.

Tout ceci est à organiser dans un ordre un peu réfléchi et à compléter avec tout ce que j'ai oublié de mentionner, sans oublier une bonne bibliographie pour étayer. Bon courage, Ambigraphe, le 2 juillet 2010 à 23:52 (CEST)

j'avais tenté un résumé des propriétés classiques dans fonction entière.Claudeh5 (d) 3 juillet 2010 à 07:33 (CEST)

Oui, il y a une partie du contenu de « Fonction entière » qui serait à déplacer ici à mon avis. Mais je préfère vous laisser la main pour l'instant. Ambigraphe, le 3 juillet 2010 à 11:38 (CEST)

Il n'y a rien à déplacer depuis fonction entière (car j'ai besoin de nombres choses dans cet article) mais on peut recopier une partie de fonction entière pour en faire une base de l'article fonction analytique ou analyse complexe.Claudeh5 (d) 3 juillet 2010 à 21:04 (CEST)

j'ai vite fait commencé un brouillon. Je vois cet article comme un truc assez général qui renvoie vers les autres pages (fonctions holo, fonctions entières, surface de riemann, théorie analytique des nombres...) en se contentant de dessiner une trame... mais c'est pas si simple de trouver un juste milieu : bref, si vous pouviez y jeter un coup d'oeil et/ou l'ameliorer, n'hésitez pas. Alexandre alexandre (d) 4 juillet 2010 à 12:09 (CEST)

• On ne met pas de titre de niveau 1 à l'intérieur d'un article.

ok je ne savais pas...

• Es-tu sûr qu'on dit d'une fonction qu'elle est « holomorphe en un point » ? J'ai parlé de C-dérivabilité en un point et défini ensuite une fonction holomorphe sur un ouvert.

ok je veux bien changer ça même si ca a tellement peu d'importance...

• Évitons les « bien sûr ». Quant au pronom « on », son usage doit être limité aux tournures syntaxiques qui l'exigent. Au contraire, dans « on y reviendra », le pronom désigne le rédacteur de l'article, ce qui est incohérent avec le fait que les articles ne sont pas signés.

donc il faut mieux utiliser un truc super lourd du genre "ce point sera abordé plus loin" ?

Limitons-nous à l'informatif. De telles remarques peuvent être rassurantes lors d'un exposé oral, mais sur une page Wikipédia c'est inefficace. À la rigueur, mets un lien interne dans la phrase vers la section correspondante. Ambigraphe, le 5 juillet 2010 à 11:08 (CEST)

• La définition et les propriétés élémentaires de l'intégrale curviligne ne relèvent pas de l'analyse complexe.

oui, mais en même temps c'est l'outil crucial, je prefere lire deux lignes de rappelle que d' aller voir sur une autre page ou on me parlera surement de tas de choses inutiles ici...

• J'aurais parlé du prolongement analytique avant d'évoquer les singularités, mais ça se défend sans doute. [Utilisateur:Ambigraphe|Ambi]]graphe, le 4 juillet 2010 à 14:34 (CEST)

Ca c'est tout a fiat envisageable si ca permet de mieux articuler le truc...Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 10:09 (CEST)

sûrement pas ! Le prolongement analytique ne se conçoit quque pour passer outre les singularités. Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 13:12 (CEST)

Non. Ambigraphe, le 5 juillet 2010 à 13:50 (CEST)

S'il n'y avait pas de singularité, la question du prolongement analytique ne se poserait pas (je ne parle pas de l'unicité !)Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 13:53 (CEST)

Elle se pose quand on apprend la théorie. Le fait est que le prolongement analytique est acquis en l'absence de singularité, mais la présence d'une singularité en dehors du domaine sur lequel on définit la fonction (par exemple comme une fonction réelle) repose bien sur le prolongement analytique. Ambigraphe, le 5 juillet 2010 à 14:43 (CEST)

"f est bornée au voisinage de a, auquel cas elle admet un prolongement continu qui définit une fonction analytique sur tout le disque," non ! les fonctions restent bornées en général au voisinage d'un point de branchement et pourtant elles n'admettent pas de prolongement analytique dans tout le disque.Claudeh5 (d) 4 juillet 2010 à 18:20 (CEST)

si f est bornée au voisinage de 0 (pour simplifier) on considère z^2f prolongée par 0 en 0 : cette-dernière est dérivable partout ailleurs qu'en 0 (multiplication) et en 0 (car f est bornée) et sa dérivée y est nulle. Elle est donc holomorphe et admet un développement qui commence par a_2z^2+... et donc en divisant par z^2 on récupère un prolongement analytique pour f. Où serait la faille ? Et je ne vois pas ce que tu veux faire dire à ton exemple... Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 10:09 (CEST)

Prends f(z) = racine(z). Elle est bornée en 0 et elle n'est pas prolongeable en 0 car elle n'est pas analytique.Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 10:16 (CEST)

mais justement "racine(z)" ne peut aps être définie sur un disque épointé de 0 (il faut une coupure ou la surface à deux feuillets).

Bon, reprenons. Tu dis qu'une fonction analytique sur D(0,r)-{0} (r>0) et bornée sur D(0,r) est prolongeable analytiquement en 0 et définie une fonction analytique en 0. Je te réponds que non.

je maintiens que si et je t'en ai fourni une preuve dix lignes plus haut, mais visiblement tu ne l'as pas lue. Si c'est parceque tu préfères un argument d'autorité, je viens de trouver ce résultat dans "real and complex analysis", de Rudin dans le chapitre "elementary proprerties of holomorphic function"...

Un point a est régulier s'il existe une r>0 et un développement de Taylor de la fonction f convergent vers f en tous points de D(0,r).La fonction est alors analytique en a. Autrement, on dit que f admet en a un point singulier. Prenons par exemple la racine carrée.

Ca, ca ne veut rien dire, c'est quoi ta fonction racine carrée ?

http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Claudeh5/complexes

ok : je viens précisément d'y lire que ta determination de racine "n'est pas continue", comment pourrait-elle être holomorphe ?Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 20:49 (CEST)

Elle est analytique en tout point différent de 0: elle y admet un développement de Taylor convergent en chaque point et le rayon de convergence est non nul (et limité par 0). Elle est bornée dans D(0,1) par exemple. Mais pourtant elle n'est pas prolongeable en 0. Quant à dire que racine (z) ne peut pas être définie sur un disque épointé en 0, cela n'a strictement parlant aucun sens précis

ca a le sens précis suivant : il n'existe pas de fonction holomorphe f définie sur un disque épointé de 0 vérifiant f(z)^2=z pour tout z de ce disque épointée

et c'est de plus localement faux.Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 13:08 (CEST)

et c'est on ne peut plus vrai ! Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 14:26 (CEST)

Laisse tomber, il appelle « fonction analytique » les fonctions multivaluées. Ambigraphe, le 5 juillet 2010 à 14:43 (CEST)

Ah non je ne laisse pas tombé quand j'ai raison ! et ce n'est pas "moi", c'est les maths : j'y peux rien si ce résultat est vrai. Il y a une semaine on (ré)expliquait ce qu'était une fonction analytique, donc Claudeh5 sait de quoi il s'agit. Quant aux "fonctions multivaluées", je n'ai jamais rencontré qui que ce soit qui en est une théorie propre et nette à présenter, et visiblement elle est source de pas mal de confusion puisqu'elle fait produire à quelqu'un des "contre-exemples" à des énoncés parfaitement vrais et particulièrement simples qui plus est, or chacun sait : les mathématiques ne sont pas contradictoires !

Je sens le truc gros comme ca : racine(z) associe a z le couple de ses racines dans C, mais alors je demande ce que signifie "holomorphe" et on me répondra que c'est quand chacune des composantes l'est auquel cas je maintiens qu'on ne peut faire un truc holomorphe sur un disque autour de zéro, même "multivaluée". Une façon de définir proprement une racine carré holomorphe c'est de considérer la surface de riemann associée, et s'il y avait un moyen plus simple je crois que ça se saurait...Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 15:22 (CEST)

Je dis qu'une fonction est analytique en un point a si elle y admet un développement de Taylor d'ordre infini et de rayon de convergence non nul (et égal à f dans son disque de convergence). La fonction racine(z) est une fonction analytique partout sauf en z=0. Elle y admet des dérivées de tous les ordres... Les rayon de convergence vont tous être limités par 0. Tous les disques pourront tourner autour de 0 mais aucun ne contiendra 0. Et quand tu auras fait le tour de 0, la fonction que tu auras ne sera plus égale à celle que tu avais au départ: les valeurs auront changé de signe. Mais seulement si tu suis un chemin (sans boucle) qui tourne autour de 0. Autrement ta fonction satisfera partout au théorème de Morera sauf dans un domaine contenant 0. Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 16:52 (CEST)

tout ceci me semble bien contradictoire : vu comme tu définies une fonction analytique, et je suis d'accord avec toi, tu dois avoir une valeur BIEN DEFINIE de f(z) si tu veux pouvoir dire f(z)=somme d'une série, et donc ca n'a pas de sens de dire que la "valeur de f aura changé". Dans ton exemple, tu ne pourrais pas me donner une valeur de "racine(z)" pour tout z de la forme e^{i\theta} par exemple qui en fasse une fonction analytique. (j'ai bien compris qu'on voudrait prendre PLUS OU MOINS e^{i\theta/2} et que c'est bien là le problème, et je vois la tête de la surface associée...).

PS: Tu devrais regarder les séries de Puiseux, tu comprendrais pourquoi ta multiplication par z^n ne saurais convenir. Quant à avoir des éclaircissements sur les fonctions multivaluées, je peux te donner une ample bibliographie.Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 16:56 (CEST)

merci, mais je sais ce qu'est une série de Puiseux : un objet formel ! z^{1/n} c'est formel ! quant aux éclaircissements des "fonctions multivaluées" je pense m'en passer : visiblement ca t'amène à réfuter une proposition vraie, ou alors à me dire que c'est la multiplication par z^2 qui pose problème, tu comprendras que ca ne donne pas envie ! Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 17:15 (CEST)

Quand tu auras compris qu'en un point de branchement algébrique on a un développement en série de Puiseux, tu comprendras alors que les séries de Puiseux ne sont pas que des objets formels mais se rencontrent. D'autre part, quand tu multiplie une série de puissances non entières par z^n, n étant entier, tu auras forcément une série de puissances non entières qui ne saurait donc en aucun cas être une série de Taylor de quoi que ce soit. Ton énoncé n'est vrai que pour des fonctions uniformes.Claudeh5 (d) 5 juillet 2010 à 18:17 (CEST)

oui mais une fonction analytique, puisqu'elle est localement somme d'une série entière est tout-à-fait uniforme, non ?Alexandre alexandre (d) 5 juillet 2010 à 18:30 (CEST)

c(rst évidemment localement uniforme mais cela n'entraine pas l'uniformité globale.Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 07:04 (CEST)

Sur un connexe, bien sûr que si. Une fois de plus, tu refuses de te plier à la définition : une fonction analytique est d'abord une application d'un ouvert de C vers C, et non la généralisation (que tu refuses d'ailleurs de définir proprement) aux fonctions multiformes. De plus, chaque argument qu'on te propose est évité (et non réfuté) : la démonstration d'Alexandre est parfaitement correcte (et figure dans tous les bouquins de référence, comme il te l'a dit) ; qu'as-tu à répondre à cela ? Et là, on est en maths, tu va avoir du mal à revenir sur tes déclarations initiales... Ta "bonne foi" risque d'en prendre un coup. --Dfeldmann (d) 7 juillet 2010 à 09:16 (CEST)

Non !Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 10:29 (CEST)

"Fonctions multivaluées"

Suite à la discussion précédente où Claudeh5, que tu l'admettes ou non, tu n'as fait qu'éviter tes non-sens par d'autres non-sens, j'ai aqcquis la conviction que les "fonctions multvaluées" sont un concept scabreux. Soit on n'en donne pas de définition, soit on dit que ce srait une partie de CxC permettant aisin d'avoir plusieurs "images", auquel cas les qualifier d'analytiques n'a aucun sens, pas plus que de parler de f(z). D'où la question suivante :

y'a-t-il une raison pour ne pas bannir completement cette chose ?

A priori, il s'agirait des aspects calculatoirs : on écrit un peu n'importe quoi avec des puissances fractionnaires (qui a certes un sens formel, dans l'anneau des séries de Puiseux) et on integre joyeusement tout ca (là j'imagine qu'il suffirait de revenir à la surface de Riemann)...

PS : en fouinant sur wikipedia j'ai vu qu'il y avait déjà eu une querelle avec quelqu'un d'autre qui a balancé une citation qui serait de Cartan et qui dit en gros : "fonctions multivaluées c'est du n'importe quoi, c'est bien pour ca qu'on a introduit les surfaces de riemann, qui en plus, sont fort jolies". dans cette querelle tu disais que la série \sum\frac{z^n}{n^2} était un contre exemple au fait qu'il doit y avoir une singularité sur le "cercle de convergence" : aucun problème, 1 est singulier puisque cette série ne saurait admettre un prolongement analytique sur un ouvert contenant 1. Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 09:49 (CEST)

Les fonctions multivaluées n'ont pas à être bannies, puisqu'elles peuvent être proprement définies sur une surface de Riemann qui se projette sur C. Mais il est évident que l'article « Analyse complexe » doit d'abord traiter les fonctions holomorphes sur des ouverts de C avant de s'attaquer aux multivaluées. Ambigraphe, le 7 juillet 2010 à 10:00 (CEST)

bah si on appelle fonction multivaluée le truc qui consiste a dire qu'on associe a x les images des éléments de la fibre de x, pourquoi pas... Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 10:26 (CEST)

Que veux tu dire par là ? Note au passage que l'usage du mot « fibre » est un peu gênant ici car la projection de la surface de Riemann sur C n'est pas une fibration en général : le prolongement de $x\mapsto {\sqrt {{\sqrt {x}}-1}}$ induit un revêtement à quatre feuillets en dehors de 0 et de 1, avec deux points de branchements en 0, et un point de branchement et un point régulier en 1. Ambigraphe, le 7 juillet 2010 à 11:00 (CEST)

je voulais dire qu'une fonction définie sur une surface de riemann est une VRAIE fonction, y'a rien de multivalué la dedans, donc j'essayais de deviner ce que ca pourrait etre et je me suis dit : on part de la surface du bas, on remonte à celle du dessus (les fibres restent discretes dès lors que le germe n'est pas constant) et on "associe" x\to f(y) pour les y\in p^{-1}(x)... Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 11:28 (CEST)

Quand on en est là, il n'y a plus grand chose à faire. pétition de principe: bibliograpie à consulter: Chabat, Introduction à l'analyse complexe, T1, chapitre 3 "le prolongement analytique", p 145 et suivantes.

Pour qui parles-tu ? tu viens donner des leçons après avoir montré que tu ne comprenais pas grand chose, même à ce que tu disais... Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 11:28 (CEST)

abh tiens, c'est sûr que je n'y comprends rien ! regardes donc point de branchement, fonction entière, fonction zêta de Riemann, série lacunaire, formule sommatoire d'Abel, formule de Perron, lemme de Jordan, histoire des mathématiques, histoire des équations,... c'est parce que je n'y connais rien et surtout parce que je n'y comprends rien

On se calme et on évite les attaques ad hominem, merci.

Alexandre, oui, une fonction multivaluée sur C est une « vraie fonction » sur une surface de Riemann. Mais on appelle ça quand même une fonction multivaluée et il est possible de donner un sens propre à des phrases du type : « la valeur de f(z) change après un tour autour de 0 ». Ambigraphe, le 7 juillet 2010 à 11:44 (CEST)

j'ajoute: Wilbur Lepage, complex variables and the Laplace transforms for enginneers, 1961 (réimpression Dover 1980), chapitre 6 "multivalued functions", p169-200.lui non plus n'y connait rien. Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 11:46 (CEST)

Bon, je reste calme et je reprends : petit rappel des faits (facilement vérifiables sur cette même page de discussion) :

• 1/ Je solicite un avis sur un brouillon dans une de mes pages utilisateur
• 2/ Claudeh5 me dit qu'un des énnoncés est faux.
• 3/ Je m'explique en le prouvant (preuve sur laquelle il n'est d'aillleurs jamais revenu).
• 4... n/ Claudeh5 évite de s'expliquer en invoquant (dans un registre identique à la magie) des choses jamais clairement définies ; "fonctions multivaluées", "racine(z)" (ah, si i ly avait un lien auquel j'ai répondu...), "multiplication par z^2 foireuse" et "mutliformité locale" ; en réponse a des questions pourtants précises : "qu'est ce que f(z) pour une fonction multivaluée ?", "comment definir l'analitycité dans ce cas ?" ...
• n+1/ Finalement acculé par Dfeldman, on obtient une superbe réponse pleine de justifications : "Non!"
• n+2/ Sans signé (mais je veux bien croire qu'il s'agit d'un oublie), Claudeh5 vient d'un ton très professoral (mais je veux bien croire que c'est la déformation professionnelle) me "conseiller d'aller lire quelques références".
• n+3/ Je le renvoie à tout ceci (et il n'a pas d'attaque ad hominem, je ne dit pas "qu'il ne comprend rien" mais seulement que c'est "ce qu'il a montré" : s'il est au clair avec tout ça, qu'il s'explique aussi clairement) et je pourrais même rajouter qu'il y a encore deux semaines Claudeh5 ne savait pas (plus ? ca ne change aps grand chose) ce qu'était une fonction analytique (il suffit d'aller voir le thé) et qu'il avait balancé un paquet trucs completements faux sur ce même thé...

En conséquence de quoi j'estime être dans mon bon droit et me refuserai à répondre tant que je n'aurais pas de réponses aux points précédents. Je n'ose pas demander d'excuses, de peur de froisser un ego qui me semble bien démesuré. Alexandre alexandre (d) 7 juillet 2010 à 12:12 (CEST)

Ce serait pas plus simple de le créer, cet article fonction multivaluée ? Comme ça, y aurait des références, et plus de risque de confusions (qiutte à y dire, références à l'appui, que le concept, mal défini, a été abandonné...) Ah ben c'est ballot, hein : il existe déjà, et cette remarque y est faite...--Dfeldmann (d) 7 juillet 2010 à 12:58 (CEST)

tu n'as (pas plus que moi d'ailleurs) écrit de démonstration. Donc, maintenant, tu énonces ta proposition et tu fais la démonstration claire et entière. Après on en discutera. Mais tu verras que l'énoncé est faux.Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 13:18 (CEST)

Alexandre a écrit ceci (qu'il t'as d'ailleurs accusé de n'avoir pas lu) : " si f est bornée au voisinage de 0 (pour simplifier) on considère z^2f prolongée par 0 en 0 : cette dernière est dérivable partout ailleurs qu'en 0 (multiplication) et en 0 (car f est bornée) et sa dérivée y est nulle. Elle est donc holomorphe et admet un développement qui commence par a_2z^2+... et donc en divisant par z^2 on récupère un prolongement analytique pour f. " Ce n'est ps une démonstration ? Où est l'erreur ? Il t'a d'autre part renvoyé à "real and complex analysis", de Rudin, où elle figure dans le chapitre "elementary proprerties of holomorphic function"... Mais bon, comme tu es de bonne foi, je suppose que tu vas à présent nous expliquer que quand Rudin dit une sottise, ça reste une sottise... Il te sera un peu plus dur de réfuter la démonstration précédente, mais tu insisteras peut-être pour dire que la marge de ton ordinateur était trop étroite pour que tu aies pu la lire... --Dfeldmann (d) 7 juillet 2010 à 13:35 (CEST)

Oh, et puis tiens, voici une rédaction rigoureuse : Soit f définie sur un disque épointé (0<|z|<r), analytique (c'est-à-dire, d'après Cauchy, univaluée et dérivable en tout point de son domaine) et bornée (en module), elle admet alors un prolongement analytique en 0.

Démonstration : on considère g(z)=z*z*f(z), pour z non nul, et g(0)=0. g est facilement montrée dérivable sur tout le disque, car hors de 0, c'est un produit de fonctions analytiques, et lim(z->0)g(z)/z=lim(z->0)z*f(z)=O (puisque f est bornée, et d'après le théorème des gendarmes). g est donc analytique, et g(z)=g(0)+z*g'(0)+z^2*h(z), où h est analytique ; on en déduit que h est un prolongement analytique de f, cqfd.--Dfeldmann (d) 7 juillet 2010 à 16:40 (CEST)

application: f(z)= racine(z. Rappelons avant de commencer la situation dans R. L'équation x²= a admet, si a est strictement positif, deux solutions, une positive et une négative, qui sont notées ${\sqrt {a}}$ et $-{\sqrt {a}}$ respectivement. Pour a=0, il n'y a que la solution 0 tandis que pour a <0 il n'y a pas de solution dans R. On a également cette formule ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ qui sert tantôt de définition de la valeur absolue d'un réel a, tantôt de propriété.

Dans l'ensemble des complexes, l'équation z²=a (a complexe) admet également deux solutions que l'on note également ${\sqrt {a}}$ et $-{\sqrt {a}}$. Le nombre unique ${\sqrt {a}}$ désignant le complexe dont la partie réelle est positive, afin de rester compatible avec la notation de R. Pour le cas particulier des nombres négatifs a, on pose ${\sqrt {a}}=i{\sqrt {|a|}}$.

Ce faisant, on voit que la fonction qui associe à un complexe z le nombre ${\sqrt {z}}$ n'est pas continue sur l'ensemble des réels négatifs: tous les complexes z qui se trouvent juste en dessous de l'axe réel négatif ont une image avec une partie imaginaire négative, ce qui est incompatible avec la continuité de la fonction racine carrée complexe.

Telle que nous avons défini la fonction racine carrée complexe, celle-ci est uniforme mais non continue. Elle est cependant analytique partout sauf sur l'axe des réels négatifs (parce que non continue).

Cette fonction est appelée détermination principale de la racine complexe complexe.

Si l'on désire préserver la continuité de la fonction, cela se fera au détriment de l'uniformité, on obtient une fonction multiforme ayant deux feuillets dans sa surface de Riemann. On se place dans ce cas. la racine carrée $f(z)={\sqrt {z}}$ est jusqu'à maintenant une fonction dérivable partout sauf en 0. Sa dérivée étant donnée par f(z)/2z, f(z) représentant la valeur choisie dans le feuillet adéquat.

Il est clair qu'elle reste bornée dans le disque D(0,1) et que dans ce disque elle y est dérivable partout sauf en 0. Donc si l'on suit la définition de Rudin "real and complex analysis", chapitre 10, définition 10.2, elle est analytique puisque dérivable en chaque point de D(0,1)-{0}, donc analytique. Elle est donc dans H(D(0,1)-{0}). Si le théorème 10.20 s'appliquait à ce cas, on aurait que l'on peut prolonger f au disque tout entier. Elle y serait continue (ce qui est le cas) et dérivable et on pourrait la développer en série de Taylor convergente en 0. Malheureusement elle n'est pas dérivable en 0, elle n'est pas développable en série de Taylor en 0, ... Donc dans ce cas, il y a bien quelque chose qui cloche ! Voyons. La dérivabilité ? ce n'est pas un problème en soit, on sait définir correctement la dérivée de f dans un feuillet en un point a. Donc il ne reste qu'un seul petit détail: le fait que f n'est pas uniforme dans le disque D(0,1)-{0}. Le théorème ne s'applique donc qu'à des fonctions uniformes.Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 17:40 (CEST)

Maintenant, vous écrivez ce que vous voulez, je m'en fous.Claudeh5 (d) 7 juillet 2010 à 20:04 (CEST)

Tu ne dois pas t'en foutre tant que ça, sinon, tu ne répondrais pas. A part ça, on avait déjà compris ton truc, et tu vérifiera aisément que je précise, dès la première ligne, qu'en vertu de la définition' des fonctions analytiques, celles-ci sont uniformes (et, en effet, c'est bien aussi ce que dit Rudin, sans se sentir obligé de le répéter pour chaque théorème). Donc, triomphe, tu as démontré que le théorème en question ne s'applique pas aux fonctions multiformes. Il ne s'applique pas non plus aux fonctions harmoniques, aux matrices, aux éléphants... Ton désir de troller est louable, mais ne ferais-tu pas mieux d'utiliser ton énergie et tes vastes connaissances à des cjoses plus constructives pour WP (et pour toi)?

"En mathématiques, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout $x_{0}$ de ce domaine, il existe une suite $(a_{n})$ donnant une expression de la fonction, valable pour tout x assez proche de $x_{0}$, sous la forme d'une série convergente :

$f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}.$"

En quoi la fonction racine(z) multiforme avec ses deux feuillets ne répond pas à cette définition dans C* ? Elle n'est pas développable en série de Taylor convergente en chaque z non nul ? Si ! Donc d'après la défintion ci-dessus elle est analytique. Dernier message.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 06:38 (CEST)

C'est un peu pénible. La définition de "fonction" chez Rudin, Bourbaki, et beaucoup d'autres implique "uniforme". Tu fais l'âne pour avoir du son. Le problème est que, comme assez souvent en math, on a l'apparente contradiction logique qu'une fonction multiforme de C vers C n'est pas une fonction de C vers C (ce qui serait évité en écrivant "fonction-multiforme", mais personne ne le fait). Bon, et alors ? Tu compte en déduire que les maths sont contradictoires, ou que Rudin est un crétin (qui en plus a totu piqué à Bourbaki)? --Dfeldmann (d) 8 juillet 2010 à 07:25 (CEST)

J'ai cité la définition donnée par wikipedia de fonction analytique. Quant à Bourbaki, veux-tu bien me dire où il a traité des fonctions analytiques complexes. Visiblement, cette définition est courante: http://pagesperso-orange.fr/jean-pierre.barani/FNS_ANA.PDF et un autre âne: http://www.espci.fr/enseignement/maths/PourAllerPlusLoin/C_Barreteau/method_math.htm qui place la fonction Ln(z) dans les fonctions analytiques...et il y a aussi Burkhardt (1913) theory of a complexe variable qui a un chapitre V intitulé "many-valued analytic functions of a complex variable" p284 à 381.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 09:17 (CEST)

J'avais dit que je ne répondrais plus mais je te pose une dernière question. La phrase suivante, que je t'avais déjà dite : "il n'existe pas de fonction holomorphe f définie sur un disque épointé de 0 vérifiant f(z)^2=z pour tout z de ce disque épointée" est-elle pour toi, vraie ou fausse ? J'entends par disque épointé un ceratin $\{0<|z|<r\}\subset \mathbb {C}$ et par "holomorphe" l'existence d'un "nombre dérivé" en tout point de cet ouvert. Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 09:39 (CEST)

toute la question est de savoir ce que tu entends par fonction. Pour moi, et pour beaucoup, il existe une fonction analytique f(z) telle que f(z)^2=z pour tout z non nul. C'est une fonction multiforme. On peut la rendre uniforme par une coupure ou la considérer avec sa surface de Riemann à deux feuillets. Maintenant je comprends aussi ton point de vue. C'est celui de Dieudonné dans Calcul infinitésimal p254-255 qui précise cependant que

« Il y a en fait une solution aux paradoxes (?) des "fonctions mutiformes", la profonde et puissante théorie des "surfaces de Riemann", qui dépasse le niveau de ce livre.  »

Visiblement nous n'avons pas tout a fait la même notion de fonction analytique. Pour moi, est une fonction analytique toute relation qui associe un complexe à un autre complexe et qui est développable en série de Taylor convergente représentant même localement la relation. De mon point de vue, l'énoncé que tu as mis est inexact mais le devient facilement en rajoutant que la fonction est uniforme sur Ω-{a}. Vous êtes plusieurs à me soutenir (mais j'attends vos preuves) que la définition (laquelle) des fonctions analytiques implique que la fonction est uniforme. Je ne comprends donc pas pour quoi on peut se fâcher et s'insulter ("troll", "âne" et autres vocables) alors que nous sommes d'accord sur les conditions d'application du théorème en discussion. Cela me semble nécessaire de préciser uniforme. Cela vous semble superflu. Soit. En quoi cela change-t-il les choses de le mettre ?Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 10:00 (CEST)

ok très bien, nous revoilà sur de bon rails, avec une définition commune de analytique... Alors je te demande maintenant ce que tu penses des raisonnements suivants :

• une fonction analytique s'écrit localement comme une somme infinie, laquelle prend une valeur bien déterminée ce qui montre que "analytique" implique "uniforme",
• la preuve de la proposition initiale (tu noteras qu'elle fait seulement intervenir la notion d'analyticité au sens où nous l'entendons tous). Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 10:42 (CEST)

Non, l'analyticité n'implique pas l'uniformité globale. C'est là l'erreur. Elle n'implique l'uniformité que dans le cercle de convergence de la série. Si tu appliques cela à racine(z) (qu'on peut définir sans problème par exemple dans la partie Re(z)>0 comme étant le nombre complexe dont la partie réelle est positive), tu prolongeras ta fonction en créant un autre disque qui recoupe partiellement le premier... tu le fais des deux côtés du disque. Dans chaque disque tu auras une série uniforme qui définira ta fonction. Tu auras fait un prolongement analytique. Mais... quand tu vas tourner autour de 0 (qui limite les cercles de convergence des séries obstinément), tu ne retomberas pas sur tes pieds: deux cercles se coupant vont donner deux valeurs différentes à la fonction pour la même valeur de l'argument. Donc tu vois ainsi que le prolongement analytique local ainsi réalisé ne donnera pas l'uniformité. Je te renvoie à Chabat, introduction à l'analyse complexe, T1,1990, page 172:, qui dit

« définition 2: soit a un point singulier isolé d'une fonction analytique, V' un voisinage épointé de a et γ un chemin de Jordan fermé entourant le point a. On distinguera deux cas (I) a s'appelle point singulier à caractère univoque si le parcours de γ ne modifie pas l'élément initial de la fonction (II) a s'appelle un point singulier à caractère multivoque ou point de branchement si le parcours de γ conduit à un élément distinct de l'élément initial. »

. il appelle élément canonique ou élément un couple (U, f), où U est un disque ouvert de centre a et de rayon r maximal de sorte que f soit holomorphe dans U mais pas dans U' contenant strictement U. Cela lui permet alors de définir le prolongement analytique de f d'éléments en éléments ayant une intersection non vide.

Cela dit, j'ai déjà eu la même discussion avec d'autres :http://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Singularit%C3%A9_%28math%C3%A9matiques%29 et http://fr.wikipedia.org/wiki/Discussion:Point_de_branchement. S'il est évidemment raisonnable de commencer par les fonctions uniformes pour parler de leurs singularité et notamment pour introduire la notion, il m'apparaît déraisonnable d'adopter le point de vue de Dieudonné qui considère que la racine carrée de z n'est pas une fonction. On en arrive rapidement à dire n'importe quelle sottise et notamment à intégrer des "trucs" que l'on ne considère pas comme des fonctions analytiques, à leur appliquer des raisonnements et des résultats qui n'ont pas été démontrés... Quant à la théorie des surfaces de Riemann, on a une belle théorie mais quand il s'agit de parler pratique, de mettre les mains dans le cambouis, là on voit que les surfaces de Riemann n'apportent rien.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 11:25 (CEST)

Mais ce que tu décris comme prolongement de racine(z) (parfaitement défini dans le demi plan supérieur j'en conviens) c'est la surface de riemann : "deux tour autours de zéro et on est revenu au point de depart". Pource qui est des calculs, j'ai jamais pratiqué mais j'imagine qu' ont peut relever les formes différentielles et avoir une jolie théorie de l'intégration : pour la mettre en pratique on découpera les chemins en haut de sorte à ce qu'il se retrouve en bas sans se recouper (cç c'est très hypothetique)... J'essaierai de regarder ça, je choperai un bouquin cette après midi (ca doit bien être expliqué quelque part). Par contre si on suppose l'existence de f^2=id autour de zéro on devrait avoir 0=\int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})^2ire^{i\theta}d\theta. Est-ce que ca marche avec ta façon de faire ?

PS: pour analytique n'iplique pas uniforme tu obtiens donc des truc du genre : une somme de serie=f(z)=une somme d'une autre série ; non, vraiement je ne comprends rien !Plus simplement qu'appelles-tu f(z) pour une "fonction multivaluée" non uniforme ? Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 11:54 (CEST)

Je n'ai pas dit que ce n'était pas la surface de Riemann de notre fonction. c'est la surface de Riemann ! Comme quoi finalementla surface de Riemann est très naturelle. Supposons que pour notre fonction ayant un point de branchement en 0 on ne considère que les points du cercle unité comme centre des séries de Taylor. Elles sont alors toutes de rayon 1. Il ne faut qu'un nombre fini de disques pour recouvrir la totalité d'un disque centré en 0 de rayon r donné ou un lacet sans boucle entourant 0 et de sorte que les disques se recoupent partiellement. On numérote nos disques 1, 2,... jusqu'à 8 disons. tout se passe bien pour les 7 premiers disques et la fonction est uniforme dans l'union de ces 7 disques. C'est au moment de considérer le 8e disque que les choses se gatent: la première série (celle du disque 1) donne un résultat qui n'est pas égal à celui de la série du dernier disque pour un des points communs: c'est ainsi que l'on dit que 0 est point de branchement, car ceci n'arrive JAMAIS pour un point régulier. En présence d'un point de branchement tu n'as jamais d'uniformité globale, elle est localisée au disque de convergence de ta série de Taylor. Regardes un exemple dans point de branchement. Les calculs ne sont pas compliqués.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 13:57 (CEST)

au sujet de l'intro

"surface de riemann comme support des fonctions multivaluées" me semble maladroit : les fonctions definies sur une surface de riemann sont de "vraies fonctions" (bon, on pourrait y envisager des "fonctions multivaluées" mais quitte à prendre une surface encore au dessus on résout ça...). Il semble plutôt que les surfaces de riemann apparaissent naturellement pour pallier les lacunes du concept de "fonctions multivaluées". Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 10:47 (CEST)

mouais, je te fais aimablement remarquer qu'il existe indépendamment de l'analyse complexe des multi-applications (notamment en analyse numérique, optimisation).Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 11:25 (CEST)

Alexandre, encore une fois, ce que l'on appelle « fonction multivaluée » est bien une vraie fonction définie sur une surface de Riemann. Ça n'a rien à voir avec une relation ou correspondance dont le graphe se plongerait dans C×C ! La projection du graphe d'une fonction multivaluée dans C×C n'est en général pas injective : au dessus d'un même complexe, la fonction peut prendre la même valeur sur deux feuillets différents. Ambigraphe, le 8 juillet 2010 à 13:20 (CEST)

ok, mais c'est clairement pas dans ce sens que l'entendait Claudeh5... Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 13:44 (CEST)

Dans deux feuillets différents, elle peut prendre deux fois la même valeur au même endroit (par exemple un zéro) oui mais ces points sont isolés. Je ne vois pas ce qu'Ambigraphe a écrit qui n'est clairement pas ce que j'entendais.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 14:07 (CEST)

"fonction multivaluée=fonction définie sur une surface de riemann". Alexandre alexandre (d) 8 juillet 2010 à 20:06 (CEST)

Ces points sont isolés dans la surface de Riemann mais je ne vois pas pourquoi il ne pourrait pas y avoir une accumulation de tels points par projection sur C.

Quant à ce que tu n'entendais « clairement pas dans ce sens », je ne sais pas ce que sous-entend Alexandre et je dois avouer que la perspective de remonter les discussions pour établir qui a tort et qui a raison ne m'intéresse pas. Si on pouvait épargner cette page de discussion de telles arguties, ce serait bénéfique pour tout le monde. Ambigraphe, le 8 juillet 2010 à 14:38 (CEST)

ca ne m'intéresse non plus de savoir qui a tort ou raison. juste de comprendre le propos.Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 15:15 (CEST)

Cela dit, si on pouvait (ce que j'ai fait dans mes modifs récentes) rappeler que les fonctions initiales osnt des vraies fonctions, et que, d'un point de vue historique, tout le monde était d'accord pour dire que ln (-1) avait une valeur (mais laquelle)? avant, justement, qu'on soit amené à cette histoire bâtarde de fonctions multivaluées (dontj'aimerais bien, dans le cas analytique ici mentionné, qu'on me donne enfin une définition rigoureuse), puis d'en venir aux surfaces de Riemann pour avoir de vraies fonctions. Parce que, désolé, Claude, mais je ne sais toujours pas, avec ton système, ce que vaut la série de Taylor de sqrt(z) au voisinage de -1, et si tu donnes deux séries, tu va avoir du mal à expliquer ce que tu veux dire au juste.--Dfeldmann (d) 8 juillet 2010 à 19:57 (CEST)

1. tu me fournis une adresse mail et je t'envoie la partie de Chabat correspondante (p145 à 188) et tu verras que la définition est rigoureuse.
2. la question du logarithme des nombres négatifs date du temps d'Euler qui l'a définitivement résolue en 1749. Ses adversaires (Leibniz et Jean Bernoulli) prétendaient l'un (Bernoulli) que que log(-n)= log(n) et donc réels l'autre qu'ils étaient imaginaires... Cependant en 1761, D'Alembert prit le parti de Bernoulli contre Leibniz et Euler (ce qui montre qu'il n'avait rien compris)
3. il y a deux séries de Taylor en -1 puisqu'il y a deux feuillets correspondants aux deux valeurs possible de racine(-1) savoir i ou -i (en tant que prolongement de la racine carrée réelle).

A partir de là on écrit la série de Taylor avec pour coefficient d'ordre n la valeur classique f^(n)(-1)/n! où f(-1) est la valeur choisie pour racine(-1). On a donc

au voisinage de -1 la série f1(z)= i +(z+1)/2i+1/8i(z+1)²+... l'autre série étant f2(z)= - f1(z).Claudeh5 (d) 8 juillet 2010 à 20:24 (CEST)

ya pas une curiosité là ?

Je lis «Parfois, comme dans le cas du logarithme complexe, il est impossible de prolonger analytiquement en une fonction holomorphe sur un domaine non simplement connexe dans le plan complexe» ou c'est moi qui comprends pas ?Cordialement. Claudeh5 (d) 6 novembre 2012 à 23:37 (CET)