Utilisateur:Claudeh5/complexes

Nombre de Zuckerman

Un nombre divisible par le produit de ses chiffres, parfois appelé nombre de Zuckerman (probablement en hommage à Herbert S. Zuckerman^{[réf. souhaitée]}) est un entier strictement positif divisible par le produit de ses chiffres en base dix.

Par exemple :

• Le nombre cent vingt-huit s'écrit avec les trois chiffres juxtaposés 1, 2, et 8 ;
• le produit 1 × 2 × 8 des trois nombres correspondants est le nombre seize ;
• cent vingt-huit est divisible par seize.

Donc cent vingt-huit est un nombre de Zuckerman.

Exemples

• Les nombres de 1 à 9 sont des nombres de Zuckerman puisqu'ils n'ont qu'un chiffre.

• Les répunits, les nombres R_n = (10ⁿ – 1)/9, n > 0, qui ne s'écrivent qu'avec le chiffre 1, sont des nombres de Zuckerman ; R_n + 1 et R_n + 4, n > 0, sont aussi des nombres de Zuckerman.

• Un nombre de Zuckerman ne contient jamais de 0.

• Les nombres R_n-1 ( n > 0) ne sont jamais des nombres de Zuckerman: ce sont des multiples de 10.

Propriétés

• La suite des nombres de Zuckerman est infinie puisque la suite R_n l'est.

• La densité asymptotique de la suite des nombres de Zuckerman est égale à 0 car la densité des nombres entiers s'écrivant sans zéro la contient et est de densité asymptotique 0.

• La série des inverses des nombres de Zuckerman est convergente. Cela résulte de la convergence de la suite des inverses des nombres entiers s'écrivant sans zéro

Suite

Hormis le cas trivial des nombres à un chiffre, la suite des nombres de Zuckerman commence par 11, 12, 15, 24, 36, 111, 112, 115, 124, 128, 132, 135, 144, 175, 212, 216, 224, 312, 315, 384, 432, 612, 624, 672, 735, 816, 1111, 1112, 1113, 1115, 1116, 1131, 1176, 1184, 1197, 1212, 1296, 1311, 1332, 1344, 1416, 1575, 1715, 2112, 2144, ...

Cette suite est infinie puisque la sous-suite des répunits l'est.

La racine carrée complexe

Rappelons avant de commencer la situation dans R. L'équation x²= a admet, si a est strictement positif, deux solutions, une positive et une négative, qui sont notées ${\sqrt {a}}$ et $-{\sqrt {a}}$ respectivement. Pour a=0, il n'y a que la solution 0 tandis que pour a <0 il n'y a pas de solution dans R. On a également cette formule ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ qui sert tantôt de définition de la valeur absolue d'un réel a, tantôt de propriété.

Dans l'ensemble des complexes, l'équation z²=a (a complexe) admet également deux solutions que l'on note également ${\sqrt {a}}$ et $-{\sqrt {a}}$. Le nombre unique ${\sqrt {a}}$ désignant le complexe dont la partie réelle est positive, afin de rester compatible avec la notation de R. Pour le cas particulier des nombres négatifs a, on pose ${\sqrt {a}}=i{\sqrt {|a|}}$.

Ce faisant, on voit que la fonction qui associe à un complexe z le nombre ${\sqrt {z}}$ n'est pas continue sur l'ensemble des réels négatifs: tous les complexes z qui se trouvent juste en dessous de l'axe réel négatif ont une image avec une partie imaginaire négative, ce qui est incompatible avec la continuité de la fonction racine carrée complexe.

Telle que nous avons défini la fonction racine carrée complexe, celle-ci est uniforme mais non continue. Elle est cependant analytique partout sauf sur l'axe des réels négatifs.

Cette fonction est appelée détermination principale de la racine complexe complexe.

Si l'on désire préserver la continuité de la fonction, cela se fera au détriment de l'uniformité, on obtient une fonction multiforme ayant deux feuillets dans sa surface de Riemann.

réponses aux questions posées le 14 juillet

on considère dans la suite les fonctions logarithme, racine carrée, ... dans leur détermination principale.

On considère ${\sqrt {(s-a)(s-b)}}$.

1. quelles sont, selon les valeurs de a et de b, les singularités éventuelles de cette fonction ? Supposons tout d'abord que a et b sont distincts. Alors chacun des points a et b est un point de branchement d'ordre 2. Cela dit, il reste à examiner le cas du point à l'infini. On calcule pour cela ${\sqrt {({\frac {1}{s}}-a)({\frac {1}{s}}-b)}}$. Le développement en 0 donne un terme en 1/r donc 0 n'est pas un point de branchement mais un pôle. Pour rendre la fonction uniforme il faut pratiquer une coupure qui reliera a à b.
2. En particulier si a=b ? Ayant pratiqué la coupure [a,b], la fonction est maintenant uniforme en dehors de ce segment. En faisant tendre b vers a, le segment tend vers le point a et la fonction est alors uniforme sauf au point a, à priori. Mais en a, la fonction vaut 0 et ce ne peut être un point de branchement (car la fonction est uniforme en dehors de a donc reviens à sa valeur quand on tourne autour de a)ni un pôle (elle tendrait vers l'infini à mesure qu'on se rapproche de a) ni un point singulier essentiel (toute valeur complexe (sauf une au plus) serait valeur d'adhérence d'une suite tendant vers a). le point a est ainsi un point singulier d'un type particulier: Il s'agit d'un point où la fonction n'est pas analytique.
3. a-t-on l'égalité ${\sqrt {(s-a)(s-b)}}={\sqrt {s-a}}{\sqrt {s-b}}$? Non. En fait, ce genre d'égalité est à la base de nombre de paradoxes dans les complexes. Prenons un exemple que ${\sqrt {ab}}\neq {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}$. si l'on prend a=-1 et b=-1, on trouve dans un membre 1 et dans l'autre i^2 ! On aurait ainsi i^2=1 !
4. Et si a=b ? Pas plus !
5. On considère $1/{\sqrt {(s-a)^{2}}}$. Cette fonction a-t-elle un pôle en a ou un point de branchement ? si c'est un pôle, quel est son résidu ? Ce ne peut être un point de branchement (voir point 2) mais pour autant est-ce un pôle ? pas plus ! On se trouve en fait exactement dans la situation (étendue) du cas réel. Dans R, ${\sqrt {(s-a)^{2}}}=|s-a|.$ Ici on a la même chose:
6. a-t-on $1/{\sqrt {(s-a)^{2}}}=1/(s-a)?$ Non encore. La racine carrée d'un complexe est définie par extension de la racine carrée réelle. Cela entraine que ${\sqrt {s}}$ est le complexe w tel que w²=s et dont la partie réelle est positive. Si elle est nulle, (s est alors un nombre négatif), on prend ${\sqrt {s}}=i{\sqrt {|s|}}$. On voit ainsi que l'on a l'analogue de la règle classique dans les réels qui faisait écrire ${\sqrt {r^{2}}}=|r|$.
7. peut-on appliquer le théorème des résidus ? autrement dit, $\int _{C(a,r)}{\frac {du}{\sqrt {(u-a)^{2}}}}=?=2i\pi$ ? Non. Si l'on applique la définition, on voit que l'intégrale vaut 0. Donc on ne peut pas appliquer le théorème des résidus. Une autre raison est la discontinuité de la fonction sur l'axe réel négatif. Faisons le calcul. On pose $u=a+re^{i\theta }$. Donc l'intégrale est égale à $\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {ire^{i\theta }}{\sqrt {r^{2}e^{i2\theta }}}}d\theta =i\left(\int _{-\pi }^{-\pi /2}+\int _{-\pi /2}^{\pi /2}+\int _{\pi /2}^{\pi }\right).$ Mais pour $\theta \in ]-\pi ,-\pi /2[$,on a ${\sqrt {r^{2}e^{i2\theta }}}=-re^{i\theta }$. Pour $\theta \in ]-\pi /2,\pi /2[$,on a ${\sqrt {r^{2}e^{i2\theta }}}=re^{i\theta }.$ Pour $\theta \in ]\pi /2,\pi [$,on a ${\sqrt {r^{2}e^{i2\theta }}}=-re^{i\theta }$.
8. On considère une fonction admettant un point de branchement d'ordre n en a. Si l'on tourne n fois autour de a, les différentes déterminations de la fonction s'échangent et on revient à la valeur de départ. Supposons que dans le circuit fermé ainsi constitué se trouvent toujours les mêmes pôles dont la somme S des résidus soit non nulle. Si l'on calcule l'intégrale de la fonction sur ce circuit, a-t-on $2i\pi nS$ ?
9. On considère la fonction Log(exp(s)). Est-elle égale à s ?
10. Soit a un complexe. On considère la série entière $f_{a}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {exp(ina)}{n^{2}}}s^{n}$. Quel est le rayon de convergence de cette série ? quel est le type de singularité sur le rayon de convergence et où se trouve(nt)-t-elle(s) ?