Discussion:Trace (algèbre)

Matrice d'adjacence d'un graphe

En quoi la trace de la matrice d'adjacence d'un graphe devrait-elle être nulle? Il peut très bien y avoir des arêtes qui bouclent sur un sommet! — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 86.220.68.17 (discuter), le 15/4/2006‎.

Cet ajout de décembre 2004 a été rectifié en juillet 2007. Mais je serais plutôt d'avis de supprimer cette phrase comme non pertinente car signifiant seulement que si tous les termes diagonaux sont nuls alors leur somme est nulle. Anne, 22/7/2017

dans la partie trace de la matrice d'une permutation,

il manque une égalité.. $m_{i\,j}=0\,\!$ sinon. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 82.239.13.214 (discuter), le 13 octobre 2006 à 19:43‎. Il avait, juste avant, ajouté puis enlevé le =0 manquant, mais l'a remis 5 jours plus tard.

Discussions générales sur l'article

Salut ! Plutôt que de se lancer dans une guerre d'édition, je vais discuter. Pourquoi l'article "Trace" serait d'importance maximum ? C'est à mon avis un sujet qui est très loin d'être primoridial dans les mathématiques, en tout cas moins que d'autres. Et puis, tous les détails que j'ai transférés en bas de page n'ont rien à faire dans l'intro, mais peut-être dans les définitions de base. Kelam (me parler) 28 octobre 2009 à 16:01 (CET)

Dans l'article trace (algèbre) (d · h · j · ↵), ta dernière modification porte le commentaire "Annulation etc des modifications de Nefbor Udofix", et a été réalisée moins de dix minutes après mes ajouts. Ce genre d'attitude est quelque peu révoltante. Pourquoi avoir annulé mes modifications ?

De nombreux articles, comme fraction continue (d · h · j · ↵ · BA · Ls), proposent des introductions longues dans lesquelles sont cités des résultats avancés pour servir à la fois de motivation et de mise en bouche. L'article doit évidemment reprendre et développer ces résultats rapidement évoqués dans l'introduction. Ainsi, dans l'article trace (algèbre) (d · h · j · ↵), Jean-Luc W (d · c · b) avait déjà ajouté un court paragraphe introductif dans lequel il faisait référence à la théorie des représentations des groupes (finis). J'ai ajouté les formes de Killing (toujours liées aux représentations), la divergence des champs de vecteurs, etc, afin de rétablir un équilibre entre algèbre et géométrie. Il faudrait évidemment développer le corps de l'article en conséquence.

Sur l'importance, la trace n'est pas une notion négligeable. L'importance peut éventuellement être rétrogradée au niveau élevée, mais il s'agit d'un concept fondamental, enseigné dès le premier cours d'algèbre linéaire, et utile partout ou presque. Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 octobre 2009 à 16:34 (CET)

Bon, certes, ma décision de modifier a été rapide, et si ça t'a froissé, désolé.

Toutefois, WP ne recommande pas les longues intros, et je considère que ce que tu as mis dans l'intro (la notion d'opérateur, …) a plus sa place dans une partie "Définitions". Si on en parle, et ce n'est pas du tout inintéressant d'en parler (c'est bien pour ça que je les ai laissés sur la page ), un développement dans le corps de texte s'impose.

Là où je ne te suis plus du tout, c'est dans l'importance. La notion de trace en algèbre linéaire est fondamentale ... dans la théorie de l'algèbre linéaire, qui domine les mathématiques appliquées, mais point barre ! Des pages comme Surface, Droite, ou des notions de base dans les mathématiques élémentaires méritent largement une importance élevée. En algèbre linéaire, à part Espace vectoriel, Matrice, et peut-être Déterminant, bref, ce qu'on apprend durant la première année post-bac, là d'accord. Mais la trace a une importance bien moindre par rapport à ces notions. Pour moi, c'est de l'importance moyenne, pas plus.

Kelam (me parler) 28 octobre 2009 à 16:50 (CET)

Ce qui était réellement gênant est le commentaire donné à la modification que tu as apportée. Mais ce n'est pas utile de s'attarder sur cette histoire.

Par ailleurs, ce qui fait sens est la trace d'un opérateur en dimension finie, et non la trace d'une matrice - mais ce point est discutable. Au sujet de l'importance accordée, le mieux est de demander l'avis de d'autres contributeurs. Pour moi, la trace est aussi importante que le déterminant, sinon plus. La longueur de l'introduction est proportionnelle à l'omniprésence des traces, qui dépassent les seules limites de l'algèbre linéaire ! Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 octobre 2009 à 19:41 (CET)

Je passe donner mon avis suite à un appel de Nefbor Udofix sur Projet:Mathématiques/Le_Thé.

• Sur l'importance dans le cadre de WP 1.0 je n'en ai strictement rien à foutre. Je n'ai donc rien à dire.
• Sur le déplacement de paragraphes à contenu constant, ça me semble aussi d'une importance totalement secondaire. J'ai à titre personnel une préférence pour les introductions courtes, mais ça ne veut pas dire que ça soit la seule façon d'écrire un article. Si quelqu'un compte y être très actif, qu'il bouge les pièces du puzzle à sa guise, sinon ça ne sert pas à grand chose mais ça ne peut pas non plus faire du mal.

Bref je conclus que tout ça est bien dérisoire, et que la seule partie du litige qui est encore active, celle en page de discussions, je n'en dirai rien. Touriste (d) 28 octobre 2009 à 19:55 (CET)

Sur l'importance "maximum", la page d'évaluation dit "Concepts fondateurs (produit scalaire, différentielle, suite (mathématiques))". On en est très loin. Même "déterminant" pourrait être d'importance "élevée" : "Objets très connus mais moins fondamentaux (produit vectoriel) ou plus avancés (série de Fourier)". La trace, franchement, c'est encore un niveau en-dessous et ça intéresse ceux qui font de l'algèbre linéaire, mais après ? Cet article dans Catégorie:Article_de_mathématiques_d'importance_maximum (avec algèbre, triangle ou vecteur) , ça ferait un peu "cherchez l'intrus", non ? Voir par exemple la longueur de l'article sur eom

Maintenant, comme dit Touriste, ces histoires d'importance sont... peu importantes.

Pour la longueur de l'intro, ça dépend, mais elle devrait être fonction de la longueur de l'article. Dans l'idéal, on ne devrait pas faire la liste des applications dans l'intro (sauf si l'article est une ébauche). L'idéal serait que l'intro soit plus succincte et que les applications soient davantage développées, mais dans l'article. Là, on est un peu au milieu du gué.

Mais je ne comprends pas ce début de guerre d'édition, notamment le refnec un peu bizarre sur la notation, alors qu'il suffit d'ouvrir le Lang sur google books pour la voir. ---- El Caro ^bla 28 octobre 2009 à 20:21 (CET)

D'accord, je rétrograde en importance moyenne, ce qui est secondaire (mais je maintiens mon opinion : la notion est d'importance maximale). Mais l'importance accordée est toute relative. La notion de limite (mathématiques) (d · h · j · ↵) me semble plus importante que celle de suite (mathématiques) (d · h · j · ↵ · AdQ). Personnellement, je ne connais aucune personne faisant de la recherche en algèbre linéaire, je ne suis donc pas en mesure de me renseigner sur les questions intéressantes dans ce domaine, à suppsoer qu'il y ait encore des chercheurs dessus comme le laisse entendre El Caro. Cependant, les notions de traces ne concernent pas uniquement l'algèbre linéaire (voir opérateur à trace et aussi le livre Les C*-algèbres et leurs représentations de Dixmier).

Pour la "guerre d'édition" qui n'a jamais existé sur cet article, je vous invite seulement à suivre modification par modification : ajouts - annulation des modifications - annulation. La deuxième annulation avait pour seul objectif de lever tout malentendu que pouvati laisser entendre le commentaire de la modification précédente. Et je ne souhaite pas qu'on s'attarde sur cette affaire. Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 octobre 2009 à 20:45 (CET)

Pour El Caro, c'est la même personne qui a introduit l'adjectif noté et le bandeau {{refnec}}. Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 octobre 2009 à 20:54 (CET)

@ tous ceux qui veulent participer à ce débat : soyons bien d'accord, il n'y a pas eu de guerre d'édition sur cette page. Si j'en ai parlé, c'est que j'en ai vu commencer pour moins que ça dans d'autres projets (comme dans le projet ABDA) et que je voulais à tout prix l'éviter. Question réglée.

Pour l'importance, le niveau "moyen" semble être un juste milieu : ça soulève que cette notion n'est pas de la gnognotte, mais que les applications ne sont pas légion, même si les domaines sont variés.

Maintenant, la question de l'intro. Mettre les définitions dans l'intro ne me plait pas tellement, c'est pourquoi je m'étais permis de les déplacer. C'était aussi pour éviter un risque de confusion dans lequel j'étais tombé auparavant : confondre la trace d'un opérateur (celui qui nous concerne a priori) et l'opérateur trace (qui à une fonction définie sur un ouvert borné associe sa restriction sur la frontière du domaine), qui n'a rien à voir !

Kelam (me parler) 29 octobre 2009 à 14:43 (CET)

Doute sur une définition

Dans sa version du 27 octobre, l'article précise

$\mathrm {Tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{i\,i}$ (on peut d'ailleurs généraliser cette définition à la trace d'une matrice n x m : $\mathrm {Tr} (A)=\sum _{i=j}^{n,m}a_{i\,j}$ )

J'ai un doute. Parle-t-on vraiment de trace pour une matrice qui n'est pas carrée ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 28 octobre 2009 à 22:51 (CET)

Re !

La réponse est oui : il suffit d'appliquer la propriété (P4 bis) donnée juste en-dessous, en prenant pour matrice B la matrice m x n telle que $b_{i\,i}=1$ et $b_{i\,j}=0\ {\textrm {si}}\ i\neq j$ pour i entre 1 et m, j entre 1 et n. Tu retrouves ainsi une matrice carrée, de trace $\mathrm {Tr} (AB)=\sum _{i=j}^{n,m}a_{i\,j}$.

Si tu n'es toujours pas convaincu, pense aux propriétés des matrices et de la trace : une matrice rectangulaire est au mieux de rang min(n,m), et donc la matrice est équivalente à une matrice carrée, à laquelle on a ajouté des lignes ou des colonnes de 0, qui n'ont donc aucune incidence sur le rang. La trace devient alors la trace de ce bloc carré.

Je sais, c'est assez abstrait comme ça sans exemple, mais j'ai pas mieux pour le moment.

Kelam (me parler) 29 octobre 2009 à 09:47 (CET)

Bonsoir, il n'y a pas unicité de matrice carré équivalente à ta matrice de départ. De plus, la trace n'est pas invariante par équivalence de matrices, donc la trace de la matrice carrée que tu construis n'est pas intrinsèque. Est-ce que tu as un exemple où la trace d'une matrice non-carrée est utilisée ? Tu as un endroit où cette définition est posée ? Liu (d) 30 octobre 2009 à 00:04 (CET)

Tu as un endroit où cette définition est posée ? - C'était précisément le sens de ma question. Je ne te demande pas d'argumenter sur l'utilité d'étendre la définition de la trace aux matrices rectangle.

Par ailleurs, j'ai supprimé le passage suivant

Le problème est que cette définition dépend a priori du choix initial de la base ${\mathcal {B}}$. La question est donc : la valeur ainsi définie dépend-t-elle vraiment du choix de la base ? Autrement dit, arrive-t-on à une valeur différente de la trace de $u$ si on la calcule dans une autre base ${\mathcal {B}}$ ? La réponse est heureusement non et ce grâce à la propriété 5 ci-dessus.

Ce passage n'apportait aucune information et prenait à partie le lecteur. Nefbor Udofix  -  Poukram! 30 octobre 2009 à 21:00 (CET)

Une demande de ref supprimée sans ref fournie

(Pour la notation Tr) apposée par l'auteur de la phrase d'intro, puis aujourd'hui supprimée, rétablie, resupprimée Anne 30 mars 2010 à 01:24

Bonjour, j'ai supprimé cette demande de référence sur la notation Tr(A) pour la trace d'une matrice, car il me semble qu'aucune référence ne doive être fournie dans l'article à ce sujet. D'une part, cela serait très lourd de fournir une référence bibliographique pour chaque notation communément utilisée en mathématiques ; d'autre part, il s'agit d'un article de maths, donc de façon interne on peut comprendre le "notée Tr(A)" comme "que nous noterons "Tr(A)". Enfin, Godement l'utilise dans son cours d'algèbre. J'ai attentivement lu le lien "refnec" de Wikipedia. Il sert quand même essentiellement à indiquer qu'il faut ajouter une référence. Or il n'était pas utilisé dans cette optique, mais pour exprimer de façon non compréhensible (car sans explication et sans réel besoin d'une référence) qu'un contributeur doute d'un choix de notation comme étant le meilleur possible. Il me paraît plus constructif de modifier l'article, éventuellement après discussion ici. Ce "refnec" concourt à diminuer fortement la lisibilité de la première phrase de l'article. Enfin, en ce qui concerne la notation, j'utilise personnellement tr() pour plus de simplicité mais le Tr() ne me choque pas. Faut-il cependant ajouter un paragraphe pour expliquer qu'on trouve parfois dans la littérature une autre notation que celle de l'article, avec la majuscule remplacée par une minuscule ou vice-versa ? Je ne le pense pas. — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 91.168.146.227 (discuter), le 30 mars 2010 à 09:52‎.

J'avais laissé tomber, bien que pas du tout d'accord avec « exprimer de façon non compréhensible » ni avec « Ce "refnec" concourt à diminuer fortement la lisibilité » : faut pas exagérer, et puis les refnec, provisoires par essence, concourent à l'amélioration des articles, soit par la modération des phrases douteuses, soit par l'ajout de sources. J'ai d'ailleurs, malgré cette suppression indue du refnec, ajouté moi-même 2 ans plus tard les refs demandées depuis 2009 pour la notation Tr. Mais je trouve qu'il ne faudrait pas donner un tel avantage à l'une des notations sur l'autre dès la première phrase de l'article, même si par la suite on n'utilise que l'une des deux. Je propose donc de :

• remplacer le « et souvent notée Tr(A) » par « et notée tr(A) ou Tr(A) », et
• soit remplacer les refs pour Tr que j'avais ajoutées par ce programme MPSI, plus neutre (p. 27 du pdf : « Notations tr(A), Tr(A) » et « Notations tr(u), Tr(u) »), soit d'y ajouter des refs pour tr (c'est pas ça qui manque…).

Anne, 22/7/2017

Trace et commutativité

J'ai ajouté une hypothèse de commutativité, après avoir perdu une demi-heure à chercher des livres où elle pourrait ne pas être posée... en vain bien sûr. Vu que dans un anneau non-commutatif, la formule tr(ab)=tr(ba) peut échouer pour des matrices (1,1) j'ai l'impression qu'on n'irait pas loin. (Note à moi-même : je perds trop de temps à fouiller des sources pour rien, un truc douteux non sourcé, faut que je sois plus énergique pour virer).

Je viens quand même en page de discussions signaler que Passman, A course in ring theory p. 21 définit une trace sur les matrices (n,n) sur un anneau quelconque à partir d'un morphisme f de l'anneau vers un groupe commutatif vérifiant f(ab)=f(ba), comme somme des f(a_ii). Je n'ai pas l'intention d'intégrer ça dans l'article, mais j'en laisse trace (ouarf jeu de mots !) ici pour que ma demi-heure d'ouverture de livres ne soit pas complètement perdue. Touriste (d) 26 janvier 2011 à 15:05 (CET)

Envie de papillonner sur cet article

Voilà un article dont le recyclage m'intéresse. Il est loin d'être de mauvaise qualité d'ailleurs, mais me semble surtout mal organisé.

Je fais part de quelques pistes :

• il me semble que le point de vue de l'article anglais, centrant le propos sur l'algèbre linéaire (en dimension finie), est plus clair que celui de notre article, dont le résumé évoque les algèbres de von Neumann dès le deuxième paragraphe ;

• en conséquence, si je suis seul maître à bord, je reverrais le plan pour en dire davantage (en sourçant) sur l'aspect algèbre linéaire en dimension finie, et moins sur les applications (le paragraphe "Laplacien" notamment me semble tourner au hors sujet) : les énumérer bien sûr, mais avec renvoi à l'article détaillé pour les détails ;

• sans que ça soit prioritaire, le renommage en Trace (algèbre linéaire) me semble s'imposer, vu la collision de nom (liée à l'imbrication des concepts) avec la trace d'un élément en théorie des corps.

Je ne fais ces premiers jours que des modifications cosmétiques. Si quelqu'un proteste contre mes projets de modifications plus significatives, je vais papillonner ailleurs ; sinon je les exécuterai peut-être un de ces jours (ou pas). Touriste (d) 27 janvier 2011 à 09:45 (CET)

Non,pas de protestation ; ça semble bien. Bon courage--Dfeldmann (d) 27 janvier 2011 à 10:04 (CET)

Pas de protestation non plus, bien au contraire. Juste une question, la trace d'un élément dans une extension finie de corps est la trace d'une certaine application linéaire, en quoi c'est une collision ? Mais je suis d'accord que c'est mieux de parler de trace (algèbre linéaire). Je ne sais pas ce que c'est la trace en algèbre. Liu (d) 27 janvier 2011 à 18:57 (CET)

J'en étais conscient et écrivais donc "imbrication des concepts" en allant vite. Je veux dire que bien que l'un soit un cas très particulier de l'autre, ce sont des idées bien différentes qu'il y a à aligner à leur sujet et qu'il me semblerait artificiel de ne pas isoler la Trace (théorie des corps) dans un article séparé, tout juste mentionné via wikilien depuis ici. Touriste (d) 27 janvier 2011 à 19:01 (CET)

Je ne sais pas s'il y aurait assez de matières à faire un article sur la trace dans la théorie des extensions de corps. Il y a bien un critère de séparabilité à l'aide de la forme trace, mais cela pourrait être inclus dans l'article sur les extensions séparables. La trace intervient également dans la théorie de dualité, mais ça me semble plus être un outil qu'un objet d'étude. En tout cas, un bon article sur la trace dans le cas purement linéaire c'est déjà du boulot. Liu (d) 28 janvier 2011 à 00:26 (CET)

Opérateurs à trace

Dans cette section ajoutée le 28/10/9, la définition était fausse parce qu'elle n'était pas invariante par changement de base. Par exemple si $(e_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}$ est une base hilbertienne de H, si $u=\sum e_{n}/n$ et si T est la projection orthogonale sur la droite engendrée par u, alors T est à trace avec la définition usuelle

$\sum \langle P(e_{n}),e_{n}\rangle <\infty \quad {\text{pour}}\quad P={\sqrt {T^{*}T}}$

alors que $\sum \|T(e_{n})\|=\infty$. Anne 18/5/2012