Discussion:Holonomie

Introduction et paragraphe introductif

Suite à la demande de Dfeldmann, je propose une autre version de l'intro, mais qui est à modifier afin de trouver une formulation satisfaisante pour toutes les personnes intéressées :

En mathématiques, l'holonomie décrit les transformations géométriques obtenues par transport parallèle le long d'une courbe fermée sur une variété riemannienne, ou plus généralement sur une variété différentielle munie d'une connexion associée à un fibré vectoriel ou principal.

Le groupe d'holonomie en un point de la variété est l'ensemble des transformations de l'espace tangent ou de la fibre, obtenues le long de boucles issues de ce point. Les transformations obtenues seulement le long des boucles contractiles constituent le sous-groupe d'holonomie restreint.

Les groupes d'holonomie sont liés à la courbure de la variété ou de sa connexion, d'après le théorème d'Ambrose-Singer.

La topologie de la variété peut donner lieu à de l'holonomie, notamment via le groupe fondamental.

Des améliorations ? Ambigraphe, le 3 novembre 2010 à 23:55 (CET)

Les commentaires sur la première section suivront bientôt. Ambigraphe, le 4 novembre 2010 à 22:08 (CET)

Allons-y pour une proposition de paragraphe introductif.

Un objet se déplaçant dans le plan sans tourner sur lui-même garde une même orientation du début à la fin de son parcours. Cette propriété n'est pas valable sur une sphère, où un objet peut se déplacer sans tourner sur lui-même et revenir à son point de départ avec une orientation différente à l'arrivée.

Par exemple, un objet descendant du pôle Nord à l'équateur le long d'un méridien, puis se déplaçant latéralement le long d'un quart de l'équateur, puis remontant au pôle Nord, retrouvera sa position initiale mais ayant pivoté d'un quart de tour.

Plus généralement, en faisant varier la longueur du trajet le long de l'équateur, il est possible de revenir au pôle dans n'importe quelle direction, c'est-à-dire d'obtenir n'importe quelle rotation plane.

Comme la sphère est orientable, il n'est en revanche pas possible d'obtenir de symétrie axiale, qui renverserait l'orientation. Puisqu'il n'existe pas d'autre isométrie vectorielle, le groupe d'holonomie de la sphère, qui rassemble toutes les transformations observables le long d'une courbe fermée, est égal à l'ensemble des rotations planes.

Un autre exemple est donné par le ruban de Moebius, le long duquel une figure voit son orientation renversée par une symétrie axiale. En revanche, le ruban peut être plat, par exemple par recollement des deux extrémités d'une bande de papier rectangulaire et dans ce cas, il est impossible d'obtenir une rotation d'angle non nul le long d'une courbe fermée.

Là encore, il y a certainement des aspects qui sont passés à la trappe et qu'il faut remettre, sans parler des liens rouges.

En tout cas, c'est l'occasion pour moi de faire l'étalage de mon ignorance sur le sujet : pourquoi le groupe d'holonomie est-il un groupe ? Ambigraphe, le 5 novembre 2010 à 22:09 (CET)

Bon, ça, c'est pas trop dur  : si on note (comme dans l'article) $P_{\gamma }$ : $E_{x}\to E_{x}$ la transformation correspondant au lacet γ, on a $P_{\gamma _{1}}\circ P_{\gamma _{2}}=P_{\gamma _{1}.\gamma _{2}}$, où la composition des lacets ($\gamma _{1}.\gamma _{2}$) est celle du groupe fondamental. Sinon, j'aime assez ton intro, mais je ne voudrais pas sacrifier les remarques plus précises concernant, par exemple, le rapport entre l'angle de rotation et l'aire découpée sur la sphère.--Dfeldmann (d) 6 novembre 2010 à 02:55 (CET)

Effectivement, sur la stabilité par composition et inverse, j'ai compris ce matin (je n'étais vraiment pas bien hier soir).

Oui, il faut parler du rapport avec l'aire, mais je progresse doucement pour être sûr de bien maitriser ce que j'écris. Plus précisément, j'aimerais qu'il soit clair pour le lecteur que ce résultat n'est valable que sur la sphère et n'a pas d'équivalent (à ma connaissance) sur d'autres surfaces. A contrario, la procédure de détermination s'étend sur d'autres exemples. Je pense notamment aux cônes, sur lesquels il me semble qu'on peut obtenir un groupe d'holonomie discret ou dense dans les rotations.

Enfin, pour accorder le visuel et l'écrit, j'aimerais que l'on puisse modifier l'image pour que l'origine du lacet se trouve au pôle. Idéalement, je souhaiterais qu'on remplace les flèches par une figure simple (par exemple la lettre 'F') et qu'on laisse au pôle deux flèches indiquant les orientations au départ et à l'arrivée pour mieux visualiser l'angle. Qu'en penses-tu ? Ambigraphe, le 6 novembre 2010 à 10:53 (CET)

Pourquoi pas, mais ce n'est vraiment utile que sur une surface non orientable (et je sais toujours pas comment modifier un dessin sous Commons).--Dfeldmann (d) 6 novembre 2010 à 13:34 (CET)

En fait, j'ai dit que le lien entre aire et holonomie n'était valable que sur la sphère, mais je me demande si cela s'étend en intégrant la courbure scalaire, ou quelque chose qui y ressemble. Ambigraphe, le 10 novembre 2010 à 13:06 (CET)

Ca veut dire quoi "Kahler" ?

Bonjour.

Dans le tableau, la colonne commentaire porte parfois le terme "Kahler". Qu'est-ce que cela signifie ici ?Cordialement dit. Le tigre à dents de sabre.Claudeh5 (discuter) 3 avril 2015 à 02:00 (CEST)

Ben, que c'est une variété kählérienne... Mais c'est un peu inutile ici, je veux bien l'admettre.--Dfeldmann (discuter) 3 avril 2015 à 03:53 (CEST)

pas tout à fait : le groupe d'holonomie (restreint) d'une variété kählérienne est inclus

dans U(n). Cela étant dit j'ai fortement diminué la fréquence de mes contributions parce que je trouve qu'on passe trop de temps à couper les cheveux en quatre sur des sujets pointus et que nous ferions mieux de nous occuper de choses plus basiques.Jaclaf (discuter) 3 avril 2015 à 16:44 (CEST)

Erreur ou non ?

Dans la rubrique intitulée "Exemple et définitions informelles" je lis : "le plan tangent lui-même subit également une translation". Ne faudrait-il pas lire plutôt "le plan tangent lui-même subit également une rotation au cours de la translation" ? Je corrigerai si ma remarque est validée.--Bécassin (discuter) 3 juin 2016 à 14:58 (CEST) ce n'est pas tout à fait ça qui est écrit c'est "l'ensemble des vecteurs tangents subit une rotation" (ce n'est d'ailleurs pas tout à fait ça, il subit une isométrie qui peut ne pas conserver l'orientation, mais dans un paragraphe informel passons : pour la sphère prise en exemple c'est exact Jaclaf (discuter) 4 juin 2016 à 10:56 (CEST)

Effectivement je vois dans l'historique qu'Anne Bauval a supprimé peu avant ma remarque la parenthèse à laquelle je faisais référence (curieusement la parenthèse incriminée m'était toujours visible). --Bécassin (discuter) 4 juin 2016 à 12:54 (CEST)

Liens externes modifiés

Bonjour aux contributeurs,

Je viens de modifier 1 lien(s) externe(s) sur Holonomie. Prenez le temps de vérifier ma modification. Si vous avez des questions, ou que vous voulez que le bot ignore le lien ou la page complète, lisez cette FaQ pour de plus amples informations. J'ai fait les changements suivants :

• L'archive https://web.archive.org/web/20071004214921/http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1955__83__279_0 a été ajoutée à http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=BSMF_1955__83__279_0
• Ajout de la balise {{dead link}} à http://page.mi.fu-berlin.de/~fwitt/LiteratureMSH.pdf

SVP, lisez la FaQ pour connaître les erreurs corrigées par le bot.

Cordialement.—InternetArchiveBot (Rapportez une erreur) 10 mars 2018 à 04:57 (CET)