Constante oméga

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie par l'égalité

$\Omega \,e^{\Omega }=1$.

Ω est une valeur particulière de la fonction W de Lambert. Il ne faut pas la confondre avec la constante Oméga de Chaitin, constante mathématique définie en théorie algorithmique de l'information.

Définition

Par définition, $\Omega$ est la valeur de la fonction W de Lambert en 1 : $\Omega =W_{0}(1)\,$.

Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction oméga.

Du fait de la définition de la fonction W :

$\Omega \,e^{\Omega }=1$

où $e$ est la base des logarithmes naturels.

Propriétés

Valeur approchée

La valeur approchée de $\Omega$ est :

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Autres définitions

$\Omega$ peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

$\Omega ={\frac {1}{e^{\Omega }}}$

ou encore

$\Omega =\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)$.

On peut calculer $\Omega$ de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale $\Omega _{0}$ et en calculant les termes de la suite $\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}$.

Cette suite converge vers $\Omega$.

Certaines intégrales ont une valeur faisant intevenir la constante oméga :

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{1+\Omega }}.$

Par comparaison $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{x}-x+1)^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}$.

Irrationalité et transcendance

Ω est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si $\Omega$ était rationnel, alors il existerait des entiers $p$ et $q$ tels que : $\Omega ={\frac {p}{q}}\;$, et donc : $1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}$, soit :

$e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, $\Omega$ est irrationnel.

Le fait que $\Omega$ soit un nombre transcendant est une conséquence directe du théorème de Lindemann-Weierstrass.

Si $\Omega$ était algébrique, $e^{\Omega }$ serait transcendant et ${\frac {1}{e^{\Omega }}}$ également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

Voir aussi

Liens internes

• Fonction W de Lambert

Liens externes

• (en) Omega Constant (Eric W. Weisstein, MathWorld)
• (en) The Omega constant (Gérard P. Michon, Numerical Constants)
• Valeur des premières décimales de Ω (Plouffe's Inverter)