Constante oméga

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En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie par l'égalité

.

Ω est une valeur particulière de la fonction W de Lambert. Il ne faut pas la confondre avec la constante Oméga de Chaitin, constante mathématique définie en théorie algorithmique de l'information.

Définition[modifier | modifier le code]

Par définition, est la valeur de la fonction W de Lambert en 1 : .

Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction oméga.

Du fait de la définition de la fonction W :

est la base des logarithmes naturels.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La valeur approchée de est :

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Autres définitions[modifier | modifier le code]

peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

ou encore

.

On peut calculer de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale et en calculant les termes de la suite .

Cette suite converge vers .

Certaines intégrales ont une valeur faisant intevenir la constante oméga :

Par comparaison .

Irrationalité et transcendance[modifier | modifier le code]

Ω est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si était rationnel, alors il existerait des entiers et tels que : , et donc : , soit :

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, est irrationnel.

Le fait que soit un nombre transcendant est une conséquence directe du théorème de Lindemann-Weierstrass.

Si était algébrique, serait transcendant et également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]