Constante oméga

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est une constante définie par l'égalité

.

Ω est une valeur particulière de la fonction W de Lambert. Il ne faut pas la confondre avec la constante Oméga de Chaitin, constante mathématique définie en théorie algorithmique de l'information.

Définition[modifier | modifier le code]

La relation permet de définir Ω au moyen de la fonction W de Lambert en 1 :

En effet, W est la réciproque de la fonction , où e est la base des logarithmes naturels. Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction oméga.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

La valeur approchée de Ω est :

Ω = 0,5671432904… (suite A030178 de l'OEIS).

Autres définitions[modifier | modifier le code]

La constante Ω peut être perçue comme une sorte de nombre d'or appliqué à l'exponentielle, puisque :

ou encore

.

On peut calculer Ω de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale Ω0 et en calculant les termes de la suite .

Cette suite converge vers Ω.

Certaines intégrales ont une valeur faisant intervenir la constante oméga :

Par comparaison .

Irrationalité et transcendance[modifier | modifier le code]

La constante Ω est un nombre irrationnel. Ceci découle du fait que e est transcendant. En effet, si Ω était rationnel, alors il existerait des entiers p et q tels que : , et donc : , soit :

et e serait donc algébrique de degré p. Cependant e étant transcendant, Ω est irrationnel.

De plus, Ω est un nombre transcendant. C'est une conséquence directe du théorème d'Hermite-Lindemann. Si Ω était algébrique, serait transcendant et également. Mais cela contredit l’hypothèse selon laquelle il serait algébrique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]