Carré gréco-latin

Carré gréco-latin d'ordre 5

Un carré gréco-latin est un tableau carré de n lignes et n colonnes remplies avec n² paires distinctes, et où chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul exemplaire. Il s'agit de la superposition de deux carrés latins orthogonaux. Si les deux carrés latins n'étaient pas orthogonaux, alors une paire pourrait apparaître plus d'une fois. On dit aussi carré bilatin.

Le nom « gréco-latin » vient du fait que l'on utilisait souvent une paire composée de lettres provenant de l'alphabet grec et latin. Mais aujourd'hui on privilégie le nom « carrés latins orthogonaux » mais ce nom fait penser à deux carrés (deux tableaux) séparés au lieu d'un seul, ce qui engendrait des confusions. D'ailleurs, il est très confus de parler de par exemple « deux » carrés latins orthogonaux : s'agit-il d'un seul tableau qui contient deux carrés latins qui sont orthogonaux ? Ou s'agit-il de deux tableaux qui chacun contient deux carrés latins qui sont orthogonaux ?

Exemples

Carrés latins orthogonaux

Soient deux carrés latins

$A_1 = \begin{bmatrix} A & C & B & D \\ D & B & C & A \\ C & A & D & B \\ B & D & A & C \\ \end{bmatrix} \quad \quad A_2 = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}$

Si $A$ est le carré $A_1$ ou $A_2$, $A[i,j]$ correspond à l'élément en ligne $i$, colonne $j$ de $A$. La combinaison des carrés, $A_1 + A_2$ est définie par : l'élément en ligne $i$ et colonne $j$ de $A_1 + A_2$ est la paire $(A_1[i,j],A_2[i,j])$.

Les deux carrés latins $A_1$ et $A_2$ sont orthogonaux si chaque paire du carré $A_1 + A_2$ n'apparaît qu'une seule fois.

La combinaison de deux carrés latins orthogonaux donne un carré gréco-latin (ici d'ordre 4 pour $A_1 + A_2$) :

$A_1 + A_2 = \begin{bmatrix} A,1 & C,4 & B,3 & D,2 \\ D,3 & B,2 & C,1 & A,4 \\ C,2 & A,3 & D,4 & B,1 \\ B,4 & D,1 & A,2 & C,3 \\ \end{bmatrix}$

Deux carrés latins non-orthogonaux

Maintenant, nous utilisons un autre carré latin pour le second élément de la paire :

$A_2' = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}$

La combinaison avec le carré précédent ne donne pas un carré gréco-latin :

$A_1 + A'_2 = \begin{bmatrix} A,1 & C,2 & B,3 & D,4 \\ D,4 & B,1 & C,2 & A,3 \\ C,3 & {\color{Red}A,4} & D,1 & B,2 \\ B,2 & D,3 & {\color{Red}A,4} & C,1 \\ \end{bmatrix}$

On remarque en effet que la paire A,4 apparaît deux fois (et que la paire D,2 est absente). Les carrés latins $A_1$ et $A'_2$ ne sont pas orthogonaux et ne peuvent pas former un carré gréco-latin.

Analyses et démonstrations

Le problème des officiers

Problème des 36 officiers : un carré gréco-latin d'ordre 6 est impossible à résoudre

En 1782, le mathématicien suisse Leonhard Euler imagine le problème mathématique suivant : on considère six régiments différents, chaque régiment possédant six officiers de grades distincts. On se demande maintenant comment placer les 36 officiers dans une grille de 6x6, à raison d'un officier par case, de telle manière que chaque ligne et chaque colonne contienne tous les grades et tous les régiments.

Il s'agit d'un carré gréco-latin d'ordre 6 (un carré latin pour les régiments, un carré grec pour les grades), problème dont la résolution est impossible. Euler l'avait déjà pressenti à l'époque, sans toutefois donner une démonstration formelle à sa conjecture. Il dira :

Or, après toutes les peines qu’on s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnaître qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoiqu’on ne puisse pas en donner de démonstration rigoureuse.

En 1901, le français Gaston Tarry démontre formellement l'impossibilité du résultat grâce à une recherche exhaustive des cas et par croisement des résultats.

Extension à d'autres ordres

En 1958, Bose (en), Parker (en) et Shrikhande (en) ont démontré l'existence de carrés gréco-latins pour tous les ordres, sauf pour l'ordre 2 et l'ordre 6 (la démonstration de ce dernier ayant déjà été faite par Tarry).

Lien avec les carrés magiques

Le carré gréco-latin formé par la combinaison de deux carrés latins orthogonaux, tous deux représentés par des nombres de 0 à n-1, peut être vu comme la représentation en base n d'un carré magique. Autrement dit, la paire de nombres $(a_{i,j}, b_{i,j})$ à l'indice $(i,j)$ peut être vue en base 10 comme le nombre $c_{i,j} = a_{i,j}.n^1 + b_{i,j}.n^0$. La matrice formée en faisant ce changement de base sur un carré gréco-latin est un carré magique. Cette méthode est très pratique pour créer des carrés magiques, difficiles à générer automatiquement pour un ordre n quelconque.

Articles connexes

• Carré magique
• Sudoku