Fonction de transfert

Une fonction de transfert $G$ est une représentation mathématique de la relation entre l'entrée $u$ et la sortie $y$ d'un système linéaire, le plus souvent invariant. Elle est utilisée, notamment, en traitement du signal, en théorie des communications, en automatique, et dans toutes les sciences de l'ingénieur qui font appel à cette discipline. Les fonctions $u$ et $y$ ci-dessus peuvent avoir plusieurs composantes, auquel cas on précise souvent (sans que ce soit une obligation) que $G$ est une matrice de transfert. D'autre part, $u$ et $y$ peuvent ne dépendre que du temps $t$ (c'est le cas le plus classique), ou des variables d'espace $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, ou encore de $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ avec $x_{0}=t$: c'est le cas des systèmes systèmes multidimensionnelssystèmes multidimensionnels); certains auteurs modélisent de cette façon les systèmes définis par des équations aux dérivées partielles. Dans le domaine du Traitement d'images, $u$ et $y$ sont des fonctions de $x_{1}$ et $x_{2}$ qui sont le plus souvent considérées comme des variables discrètes (et identifiées à des entiers $i$ et $j$); $u$ et $y$ sont alors des familles (ou suites) indicées par $i$ et $j$. La fonction de transfert d'un système permet d'en réaliser l'analyse fréquentielle, de manière par exemple à concevoir par la suite un régulateur dans ce qu'il est convenu d'appeler le domaine fréquentiel (voir l'article Automatique).

La notion de fonction de transfert

La relation évoquée plus haut entre l'entrée $u$ et la sortie $y$ d'un système est un opérateur de convolution dont le noyau est la réponse impulsionnelle du système. Sauf dans le cas d'un système stable ou marginalement stable, celle-ci n'est pas une distribution tempérée (dans le cas de variables continues) ou une suite à croissance lente (dans le cas de variables discrètes), et n'admet donc pas de transformée de Fourier. Il est donc nécessaire d'en considérer la transformée de Laplace ou la transformée en Z, selon que les variables sont continues ou discrètes. C'est cette transformée qui est appelée la fonction de transfert du système. Celle-ci ne représente le système que partiellement, puisqu'elle ne prend pas en compte les conditions initiales (ou aux limites). Plus exactement, elle est obtenue en supposant que ces conditions initiales (ou aux limites) sont nulles. Il en résulte une perte d'information, qui fait que la fonction de transfert ne représente que la partie commandable et observable du système. Néanmoins, elle est très importante pour l'analyse des propriétés de ce système et, historiquement, c'est cette représentation qui est apparue la première (voir Histoire de l'automatique). Il importe de bien connaître les possibilités qu'offre le formalisme des fonctions de transfert, ainsi que ses limites.

La notion de fonction ne transfert n'a longtemps été définie que pour les systèmes linéaires invariants. La question s'est naturellement posée de savoir si cette notion pouvait s'étendre au cas des systèmes linéaires à coefficients variables. Ce n'est que récemment, par une méthode algébrique, que cette extension a été réalisée avec des conséquences pratiques tangibles.

Fonction de transfert d'un système monovariable

Cas des systèmes à temps continu

Définition

Considérons un système d'équation

$D\left(\partial \right)y=N\left(\partial \right)u$

où $u$ et $y$ sont respectivement l'entrée et la sortie, et où $D\left(\partial \right)$ et $N\left(\partial \right)$ sont des polynômes à coefficients réels en $\partial ={\frac {d}{dt}}$ de degré $n$ et $m$ respectivement. L'ensemble de ces polynômes est un anneau euclidien, donc principal, noté $\mathbb {R} \left[\partial \right]$. Le polynôme $D\left(\partial \right)$ est supposé non nul. Supposons que $u$ et $y$ soient des "fonctions généralisées à support positif" admettant des transformées de Laplace notées respectivement ${\hat {u}}\left(p\right)$ et ${\hat {y}}\left(p\right)$.

Supposons que les conditions initiales $y\left(0^{-}\right)$, ..., $y^{\left(n-1\right)}\left(0^{-}\right)$, $u\left(0^{-}\right)$, ..., $u^{\left(m-1\right)}\left(0^{-}\right)$ soient nulles. Alors l'équation différentielle ci-dessus implique $D\left(p\right){\hat {y}}\left(p\right)=N\left(p\right){\hat {u}}\left(p\right)$. Par conséquent,

${\hat {y}}\left(p\right)=G\left(p\right){\hat {u}}\left(p\right)$

où $G\left(p\right)$ est la fraction rationnelle ${\frac {N\left(p\right)}{D\left(p\right)}}$. Cette fraction rationnelle est appelée la fonction de transfert du système.

Pôles non commandables

Les raisonnements mettant en jeu cette fraction rationnelle doivent se faire sur sa représentation irréductible ${\frac {N'\left(p\right)}{D'\left(p\right)}}$ où $N^{\prime }\left(p\right)={\frac {N\left(p\right)}{P\left(p\right)}}$, $D^{\prime }\left(p\right)={\frac {D\left(p\right)}{P\left(p\right)}}$, $P\left(p\right)$ désignant un pgcd de $N\left(p\right)$ et $D\left(p\right)$, par exemple celui pour lequel $D^{\prime }\left(p\right)$ est un polynôme unitaire (à savoir, dont le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1).

Le système considéré est toujours observable, et il est commandable (resp. stabilisable) si, et seulement si $P\left(p\right)$ est une unité de l'anneau $\mathbb {R} \left[p\right]$, c'est-à-dire un réel non nul (resp. un Polynôme de Hurwitz). Les racines dans le plan complexe du polynôme $P\left(p\right)$ sont les pôles non commandables du système .

Degré d'une fonction de transfert

Rappelons que le degré de la fraction rationnelle $G={\frac {N}{D}}$ est défini par: $d{{}^{\circ }}\left(G\right)=d{{}^{\circ }}\left(N\right)-d{{}^{\circ }}\left(D\right)$. Faisons la division euclidienne de $N\left(\partial \right)$ par $D\left(\partial \right)$. Il vient $N\left(\partial \right)=D\left(\partial \right)Q\left(\partial \right)+R\left(\partial \right)$ où $Q\left(\partial \right)$ est le quotient et $R\left(\partial \right)$ est le reste, tel que $d{{}^{\circ }}\left(R\right)<d{{}^{\circ }}\left(D\right)$. En posant $z=y-Q\left(\partial \right)u$, soit encore

$y=z+Q\left(\partial \right)u$

on obtient

$D\left(\partial \right)z=R\left(\partial \right)u$

Supposons que $u$ soit une fonction continue par morceaux, présentant une discontinuité à l'origine. Alors $z$ est une fonction continue. Pour $y$, trois cas sont possibles:

(1) $Q\left(\partial \right)=0$, ce qui équivaut à $d{{}^{\circ }}\left(G\right)<0$. La fraction rationnelle $G$ est dite strictement propre. Dans ce cas, $R\left(\partial \right)=N\left(\partial \right)$. Alors $y=z$.

(2) $d{{}^{\circ }}\left(Q\right)=0$, ce qui équivaut à $d{{}^{\circ }}\left(G\right)=0$. La fraction rationnelle $G$ est dite bipropre. Alors $y$ est une fonction présentant les mêmes discontinuités que $u$.

(3) $d{{}^{\circ }}\left(Q\right)>0$, ce qui équivaut à $d{{}^{\circ }}\left(G\right)>0$. La fraction rationnelle $G$ est dite impropre. Dans ce cas, $y$ est, au plan mathématique, une distribution singulière (c'est-à-dire une distribution qui n'est pas une fonction, car elle s'exprime en fonction de la distribution de Dirac et éventuellement de ses dérivées).

Le cas (3) ne se rencontre jamais en pratique, car une entrée discontinue provoquerait la destruction du système. Le cas (2) est exceptionnel: il correspond à un système "sans inertie". Un régulateur peut néanmoins avoir une fonction de transfert bipropre (le cas le plus simple étant celui d'un régulateur proportionnel).

On suppose dans ce qui suit que l'on se trouve dans le cas (1) ou (2).

Pôles et zéros de transmission - Stabilité

On appelle pôles (resp. zéros) de transmission du système les pôles (resp. les zéros) de la fonction de transfert $G\left(p\right)$, à savoir les racines de $D'\left(p\right)$ (resp. $N'\left(p\right)$).

Le système est stable EBSB si, et seulement si ses pôles de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche (dont, par convention, l'axe imaginaire est exclus). Il est exponentiellement stable si, et seulement si le polynôme $D\left(\partial \right)$ est de Hurwitz. D'après ce qui précède, le système est exponentiellement stable si, et seulement si il est stable EBSB et stabilisable. (On ne saurait trop insister sur le fait que ceci n'est vrai que parce que le système considéré est observable, et que ses seuls modes cachés possibles sont donc ses pôles non commandables.)

Le système est dit à minimum de phase ses pôles et ses zéros de transmission appartiennent tous au demi-plan gauche.

Réponse fréquentielle

La réponse fréquentielle du système considéré ci-dessus est la fonction $\omega \mapsto G\left(i\omega \right)$. Elle est définie sur le complémentaire de ${\mathcal {P}}$ dans $\mathbb {R}$ où ${\mathcal {P}}$ est l'ensemble (éventuellement vide) des pôles de transmission situés sur l'axe imaginaire. Le principe du prolongement analytique montre que la réponse fréquentielle détermine complètement la fonction de transfert.

L'interprétation de la réponse fréquentielle est la suivante: supposons que l'entrée du système soit sinusoïdale, de pulsation $\omega$ (cette pulsation n'appartenant pas à l'ensemble ${\mathcal {P}}$ ci-dessus). Il est commode, au plan mathématique, d'écrire ce signal d'entrée $u$ sous la forme complexe $t\mapsto Ae^{i\omega t}$, $t\in \mathbb {R}$. Alors on montre immédiatement que la sortie est (sous forme complexe) $y(t)=G(i\omega )u(t)$. Concrètement, l'entrée et la sortie réelles (dans tous les sens du terme) sont bien entendu la partie réelle de l'entrée et de la sortie complexes ci-dessus.

Cas des systèmes à temps discret

Définition

Dans le cas des systèmes à temps discret, le formalisme est très semblable à celui développé ci-dessus. Voyons quelles sont les modifications.

(1) Dans l'équation du système, l'opérateur de dérivation $\partial$ est remplacé par l'opérateur d'avance $q:x\left(k\right)\mapsto x\left(k+1\right)$. Les signaux sont maintenant des suites.

(2) En écrivant que $D\left(q\right)=q^{n}+a_{1}q^{n-1}+...+a_{n}$ et $N\left(q\right)=b_{0}q^{m}+b_{1}q^{m-1}+...+b_{m}$, l'équation du système peut donc s'expliciter comme suit:

$y\left(k+n\right)+a_{1}y\left(k+n-1\right)+...+a_{n}y\left(k\right)=b_{0}u\left(k+m\right)+b_{1}u\left(k+m-1\right)+...+b_{m}u\left(k\right)$

(3) Les conditions initiales sont maintenant $y\left(0\right),...,y(n-1),u(0),...,u(m-1)$. En les supposant nulles, et en symbolisant par $U\left(z\right)$ et $Y\left(z\right)$ les transformées en Z monolatérales des suites $u$ et $y$ respectivement, on obtient (voir Propriétés de la transformée en Z)

$Y\left(z\right)=G\left(z\right)U\left(z\right)$

où $G\left(z\right)$ est la fonction de transfert ${\frac {N\left(z\right)}{D\left(z\right)}}$.

Causalité

Le système est strictement causal si, et seulement si sa fonction de transfert est une fraction rationnelle strictement propre (i.e. $d{{}^{\circ }}\left(G\right)<0$). Cela signifie que la sortie à un instant donné $k$ (considéré comme l'instant présent) n'est influencée ni par le futur de l'entrée, ni même par la valeur de celle-ci à l'instant $k$.

Le système est causal si, et seulement si sa fonction de transfert est propre. Cela signifie que la sortie à un instant donné n'est pas influencée par le futur de l'entrée.

Enfin, le système est non causal si, et seulement si sa fonction de transfert est impropre. La sortie à un instant donné est alors influencée par le futur de l'entrée. Cela est bien entendu impossible lorsque passé, présent, futur, ont les significations habituelles. Néanmoins, on peut réaliser, par exemple, du traitement du signal en temps différé en utilisant des filtres numériques non causaux.

Stabilité

Un système à temps discret de fonction de transfert $G\left(z\right)$ est stable EBSB si, et seulement si ses pôles de transmission, c'est-à-dire les pôles de $G\left(z\right)$, sont tous situés à l'intérieur du cercle unité.

On sait que la relation entre la variable de Laplace $p$ et la variable $z$ de la transformée en Z est (voir Transformée de Laplace) $z=e^{pT}$ où $T$ est la période d'échantillonnage. On a donc $\left\vert z\right\vert <1$ (resp. $\left\vert z\right\vert =1$) si, et seulement si $\Re \left(p\right)<0$ (resp. $\Re \left(p\right)=0$). La condition de stabilité, énoncée ici pour les systèmes à temps discret, ne doit donc pas surprendre quand on connaît celle énoncée plus haut pour les systèmes à temps continu.

Réponse fréquentielle

En posant $p=i\omega$ dans le relation liant la variable de Laplace $p$ et la variable $z$, on obtient $z=e^{i\omega T}=e^{i\theta }$ avec $\theta =\omega T$. Ceci explique que la réponse fréquentielle d'un système à temps discret, de fonction de transfert $G\left(z\right)$, soit la fonction $\theta \mapsto G\left(e^{i\theta }\right)$. Cette fonction, définie pour tous les $\theta$ tels que $e^{i\theta }$ n'est pas un pôle de $G\left(z\right)$, est périodique de période $2\pi$, et comme $e^{-i\theta }={\overline {e^{i\theta }}}$, les variations de $\theta$ peuvent être restreintes à l'intervalle $\left[0,\pi \right[$. La variable $\theta$ s'appelle la pulsation normalisée. Si l'entrée du système est sinusoïdale, de pulsation normalisée $\theta$ (où $e^{i\theta }$ n'est pas un pôle de $G\left(z\right)$), à savoir (sous forme complexe) $u(k)=Ae^{ik\theta }$, alors la sortie est (sous forme complexe) $y(k)=e^{ik\theta }u(k)$.

Fonction de transfert d'un système discrétisé

En Automatique, dans la grande majorité des cas, un système à temps discret $S_{d}$ résulte de la discrétisation, à une période d'échantillonnage $T$, d'un système à temps continu $S_{c}$ de fonction de transfert $G\left(p\right)$. La sortie $y$ du système $S_{c}$ est échantillonnée à la période $T$, et il en résulte le signal échantillonné $y^{\ast }=y.\varpi _{T}$ où $\varpi _{T}$ est le "peigne de Dirac" (voir Transformée de Laplace)

$\varpi _{T}\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-kT\right)$

Ce signal $y^{\ast }$, qui n'est qu'une représentation mathématique, contient en effet pour seule information les valeurs de $y$ aux instants d'échantillonnage, puisque

$y^{\ast }\left(t\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }y\left(kT\right)\delta \left(t-kT\right)$

En posant $y_{d}\left(k\right)=y\left(kT\right)$, le signal discret $y_{d}$ (qui est une suite) est la sortie du système $S_{d}$ que nous cherchons à caractériser. Cette information discrète est traitée par un calculateur, par exemple pour générer un signal de commande discret $u_{d}$. Ce signal $u_{d}$ doit subir une interpolation pour être transformé en un signal à temps continu qui puisse agir sur le système $S_{c}$. Pour obtenir un système bouclé fonctionnant en temps réel, cette interpolation doit être causale, à la différence de l'interpolation de Shannon (voir Théorème de Shannon-Nyquist). On procède donc par blocage du signal discret $u_{d}$ sur chaque période d'échantillonnage. Le bloqueur le plus simple est celui d'ordre zéro. Le signal échantillonné-bloqué (avec bloqueur d'ordre zéro) est défini par

$u_{b0}\left(t\right)=u_{d}\left(k\right),k\in \left[kT,\left(k+1\right)T\right[$

C'est donc ce signal $u_{b0}$ (qui est bien à temps continu, mais qui en revanche est une fonction discontinue du temps puisqu'elle est en escalier) qui entre dans le système $S_{c}$.

La relation entre $u_{d}$ et $y_{d}$ est linéaire et stationnaire. Elle admet donc une fonction de transfert en $z$, notée $G_{d}\left(z\right)$, qui prend en compte le bloqueur d'ordre zéro. On montre facilement qu'elle est donnée par

$G_{d}\left(z\right)=\left(1-z^{-1}\right){\mathcal {Z}}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {G\left(p\right)}{p}}\right\}\right]$

où ${\mathcal {L}}$ et ${\mathcal {Z}}$ désignent respectivement la transformée de Laplace et la transformée en Z.

Matrices de transfert

Définition

Les développements qui suivent sont réalisés pour les systèmes à temps continu. Ils se transposent de manière évidente aux système à temps discret. Considérons un système multivariable à temps continu, ayant $m$ entrées $u_{1},...,u_{m}$ et $q$ sorties $y_{1},...,y_{q}$. Soit $u$ (resp. $y$) la colonne formée des $u_{j}$ (resp. des $y_{i}$) et ${\hat {u}}\left(p\right)$ (resp. ${\hat {y}}\left(p\right)$) la transformée de Laplace] monolatérale de $u$ (resp. $y$). A conditions initiales nulles, il existe une relation

${\hat {y}}\left(p\right)=G\left(p\right){\hat {u}}\left(p\right)$

où $G\left(p\right)$ est une matrice de fractions rationnelles, et plus précisément un élément de $\mathbb {R} \left(p\right)^{q\times m}$ où $\mathbb {R} \left(p\right)$ désigne le corps des fractions rationnelles en $p$ à coefficients réels, à savoir le corps des fractions de l'anneau $\mathbb {R} \left[p\right]$ des polynômes en $p$. Cette matrice $G\left(p\right)$ est la matrice de transfert du système.

Utilisation de la fonction de transfert en électronique

On utilise également cette fonction dans le domaine physique de l'électronique pour l'étude des amplificateurs opérationnels, sa définition cependant utilise des notations légèrement différentes : ${\underline {T}}(\omega )={\frac {{\underline {Vs}}(\omega )}{{\underline {Ve}}(\omega )}}$ avec ω la pulsation de système.

À partir de cette définition on peut trouver certaines propriétés du système étudié.

• Le module de la fonction de transfert donne le gain entre le signal de sortie et le signal d'entrée en fonction de la pulsation.

$G(\omega )=|{\underline {H}}(\omega )|$

On peut étudier le gain dans les cas limites pour déterminer le comportement du système à basses ou hautes fréquences. On peut également déterminer la pulsation de coupure, qui par définition est la pulsation pour laquelle le gain a diminué de 3 dB par rapport à sa valeur maximale :

$G(\omega _{c})={\frac {G_{\max }}{\sqrt {2}}}$

• L'argument de la fonction de transfert donne le déphasage entre le signal de sortie et le signal d'entrée en fonction de la pulsation.

$\varphi (\omega )={\textrm {arg}}({\underline {H}}(\omega ))$

Notes et références

Références

• N.K. Bose, Multidimensional Systems Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers, 2003 (ISBN 1402016239)
• H. Bourlès, Linear Systems, ISTE-Wiley, 2010 (ISBN 1848211627)
• Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. (ISBN 3642197264)
• Jean Dieudonné, Eléments d'analyse, vol. 6, Gauthier-Villars, 1975 (ISBN 2876472163)
• Michel Fliess, Une interprétation algébrique de la transformation de Laplace et des matrices de transfert, Linear Algebra Appl., 202-203, 429-442, 1994
• S. Le Ballois, Pascal Codron : Automatique : systèmes linéaires et continus, Dunod, 2006 (ISBN 2100497324)
• S.K. Mitra, M. P. Ekstrom (edts), Two-Dimensional Digital Signal Processing, Dowden, Hutchingon & Ross, Inc., 1978 (ISBN 0879333200)
• J.F. Pommaret, Partial Differential Control Theory (vol. 1 et 2), Kluwer Academic Publishers, 2001 (ISBN 0792370376)
• E. Zerz, Topics in Multidimensional Linear Systems Theory, Springer, 2003 (ISBN 1852333367)

Voir aussi

• Réponse impulsionnelle
• Système mécanique linéaire