« Inégalité de Popoviciu » : différence entre les versions
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:: <math>\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} + f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \ge \frac{2}{3}\left[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\left(\frac{z+x}{2}\right) \right].</math> |
:: <math>\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3} + f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) \ge \frac{2}{3}\left[ f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{y+z}{2}\right) + f\left(\frac{z+x}{2}\right) \right].</math> |
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{{Démonstration<ref>{{citation | year=2006 | title = Convex functions and their applications: a contemporary approach | author1=Constantin Niculescu | author2-link = Lars-Erik Persson | author2= Lars-Erik Persson | publisher=Springer Science & Business | isbn=978-0-387-24300-9 | page=12 | url=https://books.google.com/books?id=M5tYCzB8FQcC&pg=PA12&dq=Popoviciu%27s+inequality}}</ref>|Supposons f convexe. Sans perte de generalite, supposons : |
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{{Démonstration|Supposons f convexe. Sans perte de generalite, supposons : |
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<math>x\leq y\leq z</math> et <math>y\leq\frac{x+y+z}{3}</math>, |
<math>x\leq y\leq z</math> et <math>y\leq\frac{x+y+z}{3}</math>, |
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Version du 12 mars 2022 à 21:41
En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu[1].
Énoncé
- Soit f une fonction d'un intervalle dans . Si f est convexe, alors, pour trois points quelconques x, y et z dans I,
{{Démonstration[2]|Supposons f convexe. Sans perte de generalite, supposons : et ,
Alors :
On peut donc trouver tels que :
En additionant et multipliant les deux egalites ensembles, on obtient :
Si , ce qui conclut. Sinon, on a et:
En sommant les 3 inégalités et en multipliant par , on a bien l'inégalité de Popoviciu. Le cas est analogue. }}
- Si une fonction f est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout x, y et z de I. Lorsque f est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour x = y = z.
Généralisation
Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois[3] :
- Soit f une fonction continue d'un intervalle dans . Alors f est convexe si et seulement si, pour tout entier n et k où n ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ n–1 et n points quelconques x1, ..., xn de I,
L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée à une inégalité pondérée (en)[4],[5],[6]. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue lien Zentralblatt MATH[7].
Notes et références
- Tiberiu Popoviciu, « Sur certaines inégalités qui caractérisent les fonctions convexes », Analele ştiinţifice Univ. "Al.I. Cuza" Iasi, Secţia I a Mat., vol. 11, , p. 155–164
- « {{{1}}} »
- (en) J. E. Pečarić, Frank Proschan et Yung Liang Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Boston, Academic Press, (ISBN 978-0-12-549250-8, lire en ligne), p. 171
- P. M. Vasić et Lj. R. Stanković, « Some inequalities for convex functions », Math. Balkanica, no 6 (1976), , p. 281–288
- (en) Darij Grinberg, « Generalizations of Popoviciu's inequality », .
- M.Mihai et F.-C. Mitroi-Symeonidis, « New extensions of Popoviciu's inequality », Mediterr. J. Math., Volume 13, no 5, , p. 3121-3133 (ISSN 1660-5446, DOI 10.1007/s00009-015-0675-3)
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