Suite équidistribuée

En mathématiques, une séquence {s1, s2, s3, ...}  de nombres réels est dit être équidistribué ou uniformément répartie si la proportion de termes qui se retrouvent dans un sous-intervalle est proportionnelle à la longueur de cet intervalle. De telles séquences sont étudiées dans la théorie approximation diophantienne et dans divers applications de l'intégration de Monte-Carlo.

Définition

Une séquence {s₁, s₂, s₃, ...} de nombres réels est dit équidistribué sur une intervalle [a, b] si, en tant que sous-intervalle nous avons [c, d] de [a, b] :

$\lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.\,$

(Ici, la notation |{s₁,...,s_n }∩[c,d]| désigne le nombre d'éléments, parmi les premiers éléments n de la séquence, qui sont compris entre c et d.)

Par exemple, si une séquence est équirépartie dans [0, 2], étant donné que l'intervalle [0.5, 0.9] occupe 1/5 de la longueur de l'intervalle [0, 2], n devient plus large, la proportion du premier n des membres de la séquence qui se situent entre 0,5 et 0,9 doit approcher 5/1. Grosso modo, on peut dire que chaque membre de la séquence est également susceptible de tomber partout dans cette intervalle. Toutefois, cela ne veut pas dire que {s n} est une séquence de variables aléatoires; il est déterminé une séquence de nombres réels.  

Écart

On définit l'écart DN pour une séquence {s₁, s₂, s₃, ...} par rapport à l'intervalle [a, b], sous la forme :

$D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .\,$

Une séquence est donc équidistribuée si l'écart D_N tend vers zéro lorsque N tend vers l'infini.

L'équirépartition est un critère assez faible pour exprimer le fait qu'une séquence remplit le segment laissant aucun espace. Par exemple, les dessins d'une variable aléatoire uniforme sur un segment seront équiréparties sur le segment, mais il y aura de grands écarts par rapport à une séquence qui énumère d'abord les multiples de ε dans le segment, pour une petite ε, de manière appropriée, puis continue de le faire pour des valeurs plus petites et plus petites de ε. 

Critère de l'intégral de Riemann pour l'équidistribution

Rappelons que si f est une fonction ayant une intégrale de Riemann dans l'intervalle [a, b], son intégrale sera donc la limite des sommes de Riemann prises par l'échantillonnage de la fonction f dans un ensemble de points choisis parmi une fine partition de l'intervalle. Par conséquent, si une séquence est équirépartie dans [a, b], il est prévu que cette séquence peut être utilisée pour calculer l'intégrale d'une fonction de l'intégral de Reimann. Cela conduit au critère suivant : pour une séquence équidistribué:

Supposons que {s₁, s₂, s₃, ...} est une séquence contenue dans l'intervalle [a, b]. Les conditions suivantes sont donc équivalentes :

1. La séquence est équirépartie sur [a, b].
2. Pour toute intégral de Reimann, la fonction f : [a, b] → C, la limite suivante est vérifiée :

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Preuve

Ce critère amène à l'idée de l'intégration de Monte-Carlo, où les intégrales sont calculées en prélevant la fonction sur une séquence de variables aléatoires équiréparties sur l'intervalle.

En fait, le théorème de Bruijn-Post indique l'inverse du critère ci-dessus: Si f est une fonction telle que le critère est valable pour toute séquence équidistribué dans [a, b], alors, f est une intégrale de Riemann dans [a, b].

Équidistribution modulo 1

Une séquence {a₁, a₂, a₃, ...} de nombres réels est dite équidistribué modulo 1 ou uniformément répartie modulo 1 si la séquence des parties fractionnaires de an, notée {an} ou an-⌊an⌋, est équidistribuée dans l'intervalle [0, 1].

Exemples

Illustration du remplissage de l'intervalle unitaire (abscisse) en utilisant les premiers termes n de la séquence de Van der Corput, pour n de 0 à 999 (ordonnée). Le dégradé de couleur est due au crénelage.

• Le théorème d'équidistribution : La séquence de tous les multiples d'un irrationnel α,

0, α, 2α, 3α, 4α, ...

est équidistribué modulo 1.

• Plus généralement, si p est un polynôme avec au moins un coefficient irrationnel (autre que le terme constant), alors la séquence p(n) est uniformément répartiemodulo 1.
  

Ca a été prouvé par Weyl.

• La séquence log(n) n'est pas uniformément distribuée au modulo 1.
• La séquence de tous les multiples d'un irrationnel α par les nombres premiers successifs, 
  

2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ...

est équidistribué modulo 1. Ceci est un théorème célèbre de la théorie analytique des nombres, publié par M. Vinogradov en 1948.

• La séquence Van der Corput est équidistribué.

Critère de Weyl

Le critère de Weyl indique que la séquence de an est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tous nombres entiers non-nuls ℓ,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.$

Le critère est nommé et formulé par Hermann Weyl. Il permet de réduire les questions d'équirépartition aux limites sur les sommes exponentielles, une méthode générale et fondamentale.

Partie de preuve

Si la séquence est équidistribuée modulo 1, alors nous pouvons appliquer le critère intégrale de Riemann (décrit ci-dessus) sur la fonction  $\textstyle f(x)=e^{2\pi i\ell x},$  cela donne le critère de Weyl. A l'inverse, supposons que le critère de Weyl est valable.Le critère Riemann sera donc valable pour les fonctions f comme ci-dessus, ainsi que par la linéarité du critère, il est vrai pour f étant n'importe quel polynôme trigonométrique. Par le théorème de Stone-Weierstrass, cela s'étend à toute fonction f continue. Enfin, laissez - f être la fonction d'indication d'un intervalle. Il est possible de borne f du haut et en bas par deux fonctions continues sur l'intervalle, dont les intégrales diffèrent par un ε arbitraire. Par un argument similaire à la preuve du critère intégrale de Riemann, il est possible d'étendre le résultat à tout indicateur d' intervalle fonction f , prouvant ainsi équirépartition modulo 1 de la séquence donnée. ∎

Généralisations

• Une forme quantitative du critère de Weyl est donné par l'inégalité d'Erdős–Turán.
• Le critère de Weyl s'étend naturellement à des dimensions supérieurs, en supposant que la généralisation naturelle de la définition de l'équirépartition modulo 1:
  

La séquence v_n de vecteur dans R^k est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout vecteur non nul où ℓ ∈ Z^k,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.$

Exemple d'usage

Le critère de Weyl peut être utilisé pour prouver facilement le théorème d'équirépartition , indiquant que la séquence des multiples 0, α, 2α, 3α, ... d'un certain nombre réel α est équidistribuée modulo 1 si et seulement si α est irrationnel.

Supposons que α est irrationnel et représentent notre séquence par a_j = jα (où j commence de 0, pour simplifier la formule ultérieurement). Soit ℓ ≠ 0 un entier. Comme α est irrationnel, ℓα ne peux donc pas être entier. Donc $\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }$ n'équivaudra jamais 1. En utilisant la formule pour la somme d'un série géométrique fini, 

$\left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},$

une borne ne dépend pas de n. Par conséquent , après la division par n et en laissant n tend vers l'infini, d'une autre part tend vers zéro, et le critère de Weyl est vérifié.

A l'inverse, notez que si α est rationnel, alors cette séquence est pas équidistribuée modulo 1, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini d'options pour la partie fractionnaire de a_j = jα.

van der Corput's difference theorem

Le théorème de Johannes van der Corput indique que si, pour chaque h, la séquence s_n+h − s_n est uniformément répartie modulo 1, alors il sera s_n.

Un ensemble de van der Corput est un ensemble H d'entiers tels que, si pour chaque h dans H la séquence s_n+h − s_n est uniformément répartie modulo 1, alors il sera s_n.

Théorèmes métriques

Les théorèmes métriques décrivent le comportement d'une séquence paramétrée pour presque toutes les valeurs de certains paramètres α : qui est, pour des valeurs de α ne se trouvant dans un certain ensemble des mesures nulles de Lebesgue.

• Pour toutes séquence de nombres entiers distincts b_n, la séquence {b_nα} est équidistribué mod 1 pour presque tout les valeurs de α.
• La séquence {αⁿ} est équidistribué mod 1 pour presque tout les valeurs de α > 1.

On ne sait pas si les séquences {eⁿ} ou {πⁿ} sont équidistribué mod 1. cependant on sais que {αⁿ} n'est pas équidistribué mod 1, si α est un nombre de Pisot.

Séquence bien distribué

Une séquence {s₁, s₂, s₃, ...} de nombres réels est dit bien répartie sur [a, b] si, pour un sous-intervalle [c, d] de [a, b] nous avons 

$\lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}\,$

uniformément en k. Il est clair que chaque séquence bien distribuée est uniformément répartie, mais l'inverse ne tient pas. 

Sequences équiréparties par rapport à une mesure arbitraire

Pour une quelconque tribu $(X,\mu )$, une séquence de points $x_{n}$ est dite équidistribué en ce qui concerne $\mu$ si la moyenne des mesures ponctuelles converge faiblement en $\mu$:

${\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .$

Il est vrai, par exemple, que pour toute mesure de probabilité de Borel sur un espace séparables, métrisable, il existe une séquence équidistribué (par rapport à la mesure).

Voir aussi

• Suite à discrépance faible

Références

• (en) L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences, Dover Publishing, 2006 (1^re éd. 1974) (ISBN 0-486-45019-8)Uniform Distribution of Sequences. Dover Publishing. ISBN 0-486-45019-8. 
• (en) L. Kuipers et H. Niederreiter, Uniform Distribution of Sequences, John Wiley & Sons Inc., 1974 (ISBN 0-471-51045-9, zbMATH 0281.10001)Uniform Distribution of Sequences. John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl 0281.10001. 
• (en) Hugh L. Montgomery, Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis, vol. 84, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Regional Conference Series in Mathematics », 1994 (ISBN 0-8218-0737-4, zbMATH 0814.11001)Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis. Regional Conference Series in Mathematics 84. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001. 

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « {{{titre}}} », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « {{{titre}}} », sur MathWorld
• Weyl's Criterion at PlanetMath.org.
• Lecture notes with proof of Weyl's Criterion