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Réciprocité de Frobenius

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Ferdinand Georg Frobenius, fondateur de la théorie des caractères.

En mathématiques, et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, la formule de réciprocité de Frobenius est une reformulation, en matière de fonctions centrales, de la situation d'adjonction entre l'induction et la restriction (en) pour les représentations d'un groupe fini et d'un sous-groupe.

Si χ est le caractère d'une représentation d'un groupe fini G, Res(χ) désignera sa restriction au sous-groupe H. De même, si ψ est le caractère d'une représentation de H, on notera Ind(ψ) le caractère de la représentation de G induite par celle de H. Si < | > désigne la forme bilinéaire canonique sur l'espace des fonctions centrales, alors la formule de réciprocité de Frobenius est :

.

Elle doit son nom à Ferdinand Georg Frobenius, qui l'établit en 1898.

Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G, et soit K un corps fixé, dont la caractéristique ne divise pas l'ordre de G.

Soient θ une représentation K-linéaire de H, ψ son caractère, Ind(θ) la représentation de G induite par θ et Ind(ψ) son caractère.

Soient d'autre part ρ une représentation K-linéaire de G, χ son caractère, Res(ρ) la restriction de ρ à H et Res(χ) son caractère.

La forme bilinéaire canonique sur l'espace des fonctions centrales est notée < | >H ou < | >G selon le groupe utilisé.

Ces notations permettent d'exprimer la propriété suivante, appelée formule de réciprocité de Frobenius :

Démonstration

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Par définition de la représentation induite,

Leurs dimensions sont donc égales, et a fortiori les images dans K de ces dimensions, qui sont exactement les « produits scalaires » des différents caractères.

Applications

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Dans le cas particulier où K est de caractéristique nulle, la loi de réciprocité de Frobenius possède un intérêt à la fois théorique et pratique :

Généralisation aux fonctions centrales

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La formule qui permet de calculer le caractère induit s'étend linéairement aux fonctions centrales par la définition suivante :

  • Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction IndHG (f ) est définie par :

Cette définition permet de généraliser la formule de réciprocité de Frobenius :

  • Soient f une fonction centrale sur H et g une fonction centrale sur G, alors l'égalité suivante est vérifiée :

On peut le vérifier par un calcul explicite[1], ce qui redémontre en particulier la réciprocité de Frobenius pour les caractères. Une autre méthode, sous l'hypothèse supplémentaire que le polynôme Xe - 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K, est d'utiliser qu'alors, les caractères de représentations forment une famille génératrice de l'espace des fonctions centrales.

Référence

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  1. Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions], p. II-8.