Voisinage tubulaire

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Les perpendiculaires (en vert) à la courbe plane lisse (en bleu) contiennent de petits intervalles ouverts (en rouge), centrés sur la courbe et deux à deux disjoints.
La réunion de ces intervalles est un voisinage tubulaire de la courbe dans le plan euclidien.

En géométrie différentielle, un voisinage tubulaire d'une sous-variété S d'une variété différentielle M est un ouvert de M, qui contient S et « ressemble à » son fibré normal.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient SM deux variétés différentielles. Un voisinage tubulaire de S dans M est constitué d'un fibré vectoriel ES et d'un difféomorphisme de E sur un ouvert U de M, par lequel tout point s de S est l'image du vecteur nul de Es.

Par abus de langage, cet ouvert U, ipso facto voisinage de S et fibré sur S, est aussi appelé un voisinage tubulaire de S.

Existence[modifier | modifier le code]

Théorème du voisinage tubulaire[1] — Pour toutes variétés différentielles sans bord SM (paracompactes, de classe Ck avec k ≥ 1), S admet un voisinage tubulaire dans M (de même classe).

Dans le cas où la variété ambiante M est un espace euclidien Rn, on trouve un tel voisinage en choisissant, dans le fibré normal à S, un ouvert V autour de la section nulle, suffisamment petit pour que la restriction à V de l'application (s, v) ↦ s + v soit un plongement.

Le cas d'une variété M quelconque se déduit du cas précédent, en supposant sans perte de généralité que M est connexe, puis[3] en la plongeant dans un espace euclidien[4] et, pour un voisinage tubulaire r : UM de M dans cet espace, en prenant comme voisinage de S l'ensemble des r(s + v), pour tous les (s, v) de NS tels que s + v appartient à U.

Unicité[modifier | modifier le code]

Le voisinage tubulaire de S dans M est unique à isotopie près[5], c'est-à-dire que si U0 et U1 sont deux tels voisinages, alors il existe un plongement de U0×[0, 1] dans M×[0, 1] de la forme (x, t) ↦ (Ft(x), t) tel que F0 = idU0, chaque Ft fixe S, et F1 soit un isomorphisme de fibrés de U0S dans U1S.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Morris W. Hirsch, Differential Topology [détail des éditions], p. 109-111, Th. 5.1 et 5.2, aperçu sur Google Livres.
  2. Marco Gualtieri, « Geometry and Topology I », sur Université de Toronto, , p. 38. — Hirsch, p. 110, s'appuie sur l'exercice 7 de sa section 2.1 (p. 41), mais ce dernier ne s'applique que si S est fermée dans M.
  3. Hirsch, p. 110-111.
  4. Le « théorème de Whitney facile » suffit : toute variété sans bord à base dénombrable de dimension n admet un plongement dans R2n+1 — et même un plongement d'image fermée ((en) Glen E. Bredon (en), Topology and Geometry [détail de l’édition], p. 92, Theorem 10.8), si bien que la lacune signalée dans la note précédente n'est pas rédhibitoire.
  5. Hirsch, p. 111-113.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]