Fibré normal

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En géométrie différentielle, un fibré normal est un fibré vectoriel particulier sur une sous-variété différentielle.

Définition[modifier | modifier le code]

Cas riemannien[modifier | modifier le code]

Soient (M, g) une variété riemannienne et S une sous-variété de M. On définit le fibré NS normal à S comme un sous-fibré de la restriction à S du fibré TM tangent à M, de la manière suivante.

En tout point s de S, l'espace TsS tangent à S est un sous-espace vectoriel de TsM. Son supplémentaire orthogonal (pour le produit scalaire gs), noté NsS, est appelé l'espace normal à S en s.

L'espace total du fibré NS est l'union disjointe des NsS.

Cas général[modifier | modifier le code]

Soient M et S deux variétés et i : SM une immersion (par exemple un plongement). On définit le fibré normal NS comme un quotient de la restriction à S du fibré TM, de la manière suivante.

En tout point s de S, l'application linéaire tangente Tsi est un isomorphisme de TsS sur son image dans Ti(s)M, et l'on définit l'espace normal à S comme l'espace vectoriel quotient : NsS = Ti(s)M / Tsi(TsS).

On a donc une suite exacte courte de fibrés vectoriels sur S :

0\to TS\to TM_{|S}\to NS\to 0.

Fibré conormal[modifier | modifier le code]

Le fibré conormal à S est défini comme le dual (en) de son fibré normal. C'est un sous-fibré du fibré cotangent à M.

Référence[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Normal bundle » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes[modifier | modifier le code]