Plongement

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Page d'aide sur les redirections Cet article concerne le plongement en mathématiques. Pour les autres significations, voir Plongement (homonymie).

Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion). Dans certaines théories, telles que la théorie des modèles ou des variétés différentielles, le terme plongement est complètement défini alors que dans d'autres il n'est que mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis.

Espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Une application f : XY entre deux espaces topologiques est un plongement de X dans Y si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de X dans f(X) (muni de la topologie induite)[1].

Cette corestriction est surjective par définition. Elle est continue et injective si et seulement si f l'est. Cela ne suffit bien sûr pas pour que sa bijection réciproque soit également continue.

Variétés différentielles[modifier | modifier le code]

Immersion de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions. Il est impossible d'en réaliser un plongement.

En topologie différentielle et géométrie différentielle, soient V et W deux variétés de classe Ck (éventuellement k infini), et f: VW une fonction.

On dit que f est un plongement Ck si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, f est Ck et pour tout xV, l'application linéaire tangente Tf(x) est injective. Voir le chapitre 2 de [2]

Un plongement est alors un difféomorphisme Ck sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites).

On le différencie de

  • l'immersion (le rang de Tf(x) est la dimension de V) ;
  • la submersion (le rang de Tf(x) est la dimension de W).

Si V est compacte et si f : VW est une immersion injective, alors f est un plongement de V dans W[3].

Théorème de Whitney « facile »[2],[4]Toute variété compacte de classe C^k\,(k\ge 1 ) et de dimension n admet un plongement dans  \R^{2n+1}.

Théorie des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Soient P et Q deux ordres. Alors f: PQ est un plongement d'ordre si et seulement si

  1. f est injective ;
  2. \forall p_1,p_2\in P: p_1\leq p_2\Leftrightarrow f(p_1)\leq f(p_2).

Théorie des modèles[modifier | modifier le code]

Théorie des catégories[modifier | modifier le code]

Soit C une catégorie et u:ab un morphisme de cette catégorie. u est un plongement ssi il existe deux morphismes parallèles b\, \underset{g}{\overset{f}{\rightrightarrows}}\; d dont u est l'égaliseur.

Contextes intuitifs[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Léonard Todjihounde, Calcul différentiel, Éditions Cépaduès,‎ , 2e éd. (lire en ligne), p. 276.
  2. a et b Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010.
  3. Lafontaine, 1996, p. 67.
  4. (en) Morris W. Hirsch, Differential Topology [détail des éditions].