Plongement

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Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion ensembliste). Dans certaines théories, principalement en géométrie différentielle, le terme plongement est complètement défini alors que dans d'autres il n'est que mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis.

Espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Cette spirale représente un plongement de la droite réelle dans le plan.

Une application f : XY entre deux espaces topologiques est un plongement de X dans Y si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de X dans f(X) (muni de la topologie induite)[1].

Cette corestriction est surjective par définition. Elle est continue et injective si et seulement si f l'est. Cela ne suffit bien sûr pas pour que sa bijection réciproque soit également continue.

Toute injection continue ouverte ou fermée est un plongement.

Variétés différentielles[modifier | modifier le code]

En topologie différentielle, soient V et W deux variétés de classe Ck (éventuellement k infini), et f : VW une fonction.

On dit que f est un plongement Ck si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, f est Ck et pour tout xV, l'application linéaire tangente Tf(x) est injective.

Un plongement est alors un difféomorphisme Ck sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites)[2].

Une immersion injective d'une variété non compacte n'est pas toujours un plongement.

On le différencie de :

Si V est compacte et si f : VW est une immersion injective, alors f est un plongement de V dans W[3].

Contre-exemples quand V n'est pas compacte

Théorème de plongement de WhitneyToute variété de classe Ck (k ≥ 1) et de dimension n admet un plongement dans R2n.

Théorie des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Soient (P, ≤) et (Q, ≼) deux ordres. Alors f : PQ est un plongement d'ordres (en) si pour tous p1 et p2 de P :

p1p2f(p1) ≼ f(p1).

Une telle application est nécessairement injective.

Théorie des modèles[modifier | modifier le code]

Théorie des catégories[modifier | modifier le code]

On appelle parfois « plongements » les égaliseurs.[réf. souhaitée]

Dans une catégorie admettant des images et coimages, un plongement pourrait s'apparenter à un monomorphisme qui serait un isomorphisme sur l'image (ou la coimage est isomorphe à l'image).[pas clair]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Léonard Todjihounde, Calcul différentiel, Éditions Cépaduès,‎ , 2e éd. (lire en ligne), p. 276.
  2. C'est la définition d'un plongement dans Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 72.
  3. Lafontaine, 2010, p. 73.