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Plongement

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Dans de nombreuses branches des mathématiques, on peut être amené à comparer deux « objets » entre eux en montrant que l'un des « objets » est un « sous-objet » de l'autre (parfois via une injection, remplaçant l'inclusion ensembliste). Dans certaines théories, comme en géométrie différentielle ou en théorie des corps, le terme plongement est complètement défini, alors que dans d'autres il est seulement mentionné dans des contextes intuitifs et n'est donc pas pourvu d'un sens précis. De manière générale, il faut penser à un plongement comme à un morphisme injectif (le sens du mot « morphisme» dépendant du contexte).

Espaces topologiques[modifier | modifier le code]

Cette spirale représente un plongement de la droite réelle dans le plan.

Une application f : XY entre deux espaces topologiques est un plongement de X dans Y si elle induit (par corestriction) un homéomorphisme de X dans f(X) (muni de la topologie induite)[1].

Cette corestriction est surjective par définition. Elle est continue et injective si et seulement si f l'est.

Toute injection continue ouverte ou fermée est un plongement.

Variétés différentielles[modifier | modifier le code]

En topologie différentielle, soient V et W deux variétés de classe Ck (éventuellement k infini), et f : VW une fonction.

On dit que f est un plongement Ck si c'est un plongement au sens topologique et si, de plus, f est Ck et pour tout xV, l'application linéaire tangente Tf(x) est injective.

Un plongement est alors un difféomorphisme Ck sur son image, laquelle image est une sous-variété différentielle de W (ce dernier résultat nécessite le théorème des fonctions implicites)[note 1].

Une immersion injective d'une variété non compacte n'est pas toujours un plongement.

On le différencie de :

Si V est compacte et si f : VW est une immersion injective, alors f est un plongement de V dans W[2].

Contre-exemples quand V n'est pas compacte

Théorème de plongement de WhitneyToute variété de classe Ck (k ≥ 1) et de dimension n admet un plongement dans R2n.

Espaces métriques[modifier | modifier le code]

Dans le contexte des espaces métriques on parle de plongement pour un espace plongé dans un autre. Un paramètre important est alors la distorsion (stretch factor (en)), c'est-à-dire une mesure de la transformation des distances pendant l'opération. Un exemple de résultat est le lemme de Johnson-Lindenstrauss.

Algèbre[modifier | modifier le code]

En algèbre, un plongement est un homomorphisme[note 2] injectif[note 3].

Théorie des ensembles ordonnés[modifier | modifier le code]

Soient (P, ≤) et (Q, ≼) deux ordres. Alors f : PQ est un plongement d'ordres (en) si pour tous p1 et p2 de P :

p1p2f(p1) ≼ f(p2).

Une telle application est nécessairement injective.

Théorie des modèles[modifier | modifier le code]

En théorie des modèles, une application entre deux -structures est un plongement si elle est injective et que pour tout , pour tout , on a :

  • pour tout symbole de fonction d'arité ,  ;
  • pour tout symbole de relation d'arité , si et seulement si .

Théorie des catégories[modifier | modifier le code]

On appelle parfois « plongements » les égaliseurs.[réf. souhaitée]

Dans une catégorie admettant des images et coimages, un plongement pourrait s'apparenter à un monomorphisme qui serait un isomorphisme sur l'image (ou la coimage est isomorphe à l'image).[pas clair]

Plongement de graphes[modifier | modifier le code]

Un plongement de graphe (en), est l'opération qui consiste à plonger un graphe dans un espace, selon certaines conditions. Un exemple classique est le cas de graphes planaires : les graphes que l'on peut dessiner dans le plan, sans croisement des arêtes.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. C'est la définition d'un plongement dans Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 72.
  2. On parle d'« homomorphisme de monoïdes » mais, selon la nature du monoïde considéré, on parle aussi d'homomorphisme de groupes, d'anneaux, de corps, etc.
  3. Dans son traité d'algèbre, Serge Lang écrit qu'un homomorphisme est un plongement lorsque est un isomorphisme. Il a été jugé ici qu'il est équivalent et plus simple de dire que est injectif.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Léonard Todjihounde, Calcul différentiel, Éditions Cépaduès, , 2e éd. (lire en ligne), p. 276.
  2. Lafontaine, 2010, p. 73.