Création le 20 janvier 2006

Cette page est un brouillon appartenant à Lacluses

Conseils de rédaction

→ N'hésitez pas à publier sur le brouillon un texte inachevé et à le modifier autant que vous le souhaitez.
→ Pour enregistrer vos modifications au brouillon, il est nécessaire de cliquer sur le bouton bleu : « Publier les modifications ». Il n'y a pas d'enregistrement automatique.

Si votre but est de publier un nouvel article, votre brouillon doit respecter les points suivants :

Respectez le droit d'auteur en créant un texte spécialement pour Wikipédia en français (pas de copier-coller venu d'ailleurs).
Indiquez les éléments démontrant la notoriété du sujet (aide).
Liez chaque fait présenté à une source de qualité (quelles sources – comment les insérer).
Utilisez un ton neutre, qui ne soit ni orienté ni publicitaire (aide).
Veillez également à structurer votre article, de manière à ce qu'il soit conforme aux autres pages de l'encyclopédie (structurer – mettre en page).

→ Si ces points sont respectés, pour transformer votre brouillon en article, utilisez le bouton « publier le brouillon » en haut à droite. Votre brouillon sera alors transféré dans l'espace encyclopédique.

Introduction -Généralités[modifier | modifier le code]

La notion d'espace de la Géométrie[modifier | modifier le code]

Espace de la géométrie Euclidienne. Espace vectoriel associé par le choix d'une origine.[modifier | modifier le code]

L'espace de la géométrie Euclidienne $E_{ge}$ est l'ensemble des "points " étudiés en géométrie.
Une définition rigoureuse de cet ensemble est lié à un certain nombre de postulats dont le plus connu est le postulat d'Euclide d'autres sont implicitement contenu dans certaines notions admise intuitivement (point, droite,...), d'un autre point de vue, on peut donner une définition axiomatique rigoureuse de cet espace à partir de la théorie des Espace vectoriel
On a été amené dans cette géométrie à définir des vecteurs libres et leur ensemble $E_{vl}$ est muni de deux lois.Somme vectorielle et multiplication par un réel, donnant à cet ensemble une structure d'espace vectoriel sur $\mathbb {N}$ ce qui justifie l'appellation de vecteur pour ces êtres mathématiques.Soit O un point quelconque fixe de l'espace. A tout point M de l'espace distinct de O ou non, on fait correspondre le vecteur libre noté ${\vec {M_{/o}}}$ dont un représentant est un vecteur lié ${\vec {OM}}$ Il est clair que l'on a établi ainsi une bijection entre les points de l'espace de la géométrie Euclidienne et l'ensemble $E_{vl}$ .
Cette bijection n'étant bien entendu définie qu'une fois choisi le point O.
Voir:
Géométrie euclidienne
Vecteur

Etude de $E_{vl}$ . Base de dimension indépendante dans $E_{vl}$ [modifier | modifier le code]

Etude faite dans le chapitre sur les espaces vectoriels (à vérifier)
Rappels
1°.La dim de $E_{vl}=3$
2°.Trois vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils sont parallèles à une mème direction de plan. Représentants coplanaire de mème origine.
3°.Deux vecteurs non nuls sont liés si et seulement si ils ont mème direction. Représentant colinéaire de mème origine.
4°.Une base est constituée par tout système de trois vecteurs non nuls et non paralèlles à une mème direction de plan.

Cas de la géométrie plane.

1°.Sous espace du précédent

2°.Dim = 2

3°.Une base est constituée par deux vecteurs non nuls et mon colinéaires.

voir:
Espace vectoriel
colinéarité

Changement de base pour $E_{vl}$ (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)[modifier | modifier le code]

Coordonnées homogènes, espace arquésien. (Girard Desargues)[modifier | modifier le code]

Point imaginaires[modifier | modifier le code]

Géométrie affine et géométrie métrique.[modifier | modifier le code]

Rappels importants[modifier | modifier le code]

Projections[modifier | modifier le code]

Cosinus directeur d'une direction[modifier | modifier le code]

Relation entre cosinus directeur et paramètre directeur.[modifier | modifier le code]

Changement d'axes en système orthonormé; matrice des neuf cosinus.[modifier | modifier le code]

Cas particulier de la géométrie plane[modifier | modifier le code]

Autres système de coordonnées.[modifier | modifier le code]

Coordonnées polaires(géométrie plane)[modifier | modifier le code]

Coordonnées cylindriques ou semi polaires.[modifier | modifier le code]

Coordonnées sphériques (espace).[modifier | modifier le code]

Courbes et surfaces, généralités[modifier | modifier le code]

Choix d'un système de coordonnées en vue d'une étude analytique.[modifier | modifier le code]

Généralités sur les courbes[modifier | modifier le code]

Généralités sur les surfaces[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel, produit mixte.[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel.[modifier | modifier le code]

Produit mixte.[modifier | modifier le code]

Vecteurs glissants, système de vecteur glissants .(torseur)[modifier | modifier le code]

Dans ce chapitre les systèmes de référence sont tous orthonormés directs

Moments et coordonnées d'un vecteur glissant.[modifier | modifier le code]

Rappels[modifier | modifier le code]

Un glissant est une classe d'équivalence de l'ensemble des liés de l'espace suivant la relation d'équivalence: équipolence et même support.
Un glissant est parfaitement défini par la donnée de son support et d'un vecteur équipolent.(à condition que celui-çi ait la direction du support); un glissant est d'ailleur entièrement défini par la donnée d'un vecteur équipolent et d'un point du support.
Voir:
Relation d'équivalence

Moment d'un glissant par rapport à un point O.[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Soit O un point fixe de l'espace et soit ${\vec {AB}}$ un lié de support (D).
Considérons ${\vec {P}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}$ (Produit vectoriel de deux vecteurs libres dont ${\vec {OA}}$ et ${\vec {OB}}$ sont des représentants.)
Soit M un point quelconque de la droite (D) et considérons

(1) ${\vec {P'}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {AB}}=({\vec {OA}}+{\vec {AM}})\wedge {\vec {AB}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}+{\vec {AM}}\wedge {\vec {AB}}={\vec {P}}$ .

(2) ${\vec {AM}}\wedge {\vec {AB}}={\vec {0}}$ . car A, B, M alignés.

(1) et (2) donne:

(3) ${\vec {P'}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {AB}}=({\vec {OA}}+{\vec {AM}})\wedge {\vec {AB}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}+{\vec {0}}={\vec {P}}$

Conclusion:
${\vec {P}}={\vec {P'}}$ , ${\vec {P}}$ n'est pas modifié si l'on fait glisser ${\vec {AB}}$ sur son support (D).
On peut donc considérer ${\vec {P}}$ comme attaché non au vecteur lié ${\vec {AB}}$ mais au glissant ${\vec {a}}$ dont ${\vec {AB}}$ est un représentant.

On pose alors:

${\vec {P}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {a}}$

${\vec {P}}$ est donc le produit vectoriel de deux vecteurs libres dont ${\vec {OM}}$ et ${\vec {a}}$ sont des représentants.
On appelle ce vecteur "moment en O ou par rapport à O du glissant ${\vec {a}}$ ".

Remarque[modifier | modifier le code]

1°.On peut aussi poser : ${\vec {P}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {OB}}$ , car;

D'aprés la Relation de Chasles, nous pouvons écrire:

${\vec {P}}={\vec {OA}}\wedge ({\vec {OA}}+{\vec {AB}})={\vec {OA}}\wedge {\vec {OA}}+{\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}$

Mais

${\vec {OA}}\wedge {\vec {OA}}={\vec {0}}$

Donc

${\vec {P}}={\vec {OA}}\wedge {\vec {AB}}$

2°.Réciproquement la donnée de ${\vec {P}}={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ et d'un vecteur libre ${\vec {a_{l}}}={\vec {a}}$ avec ${\vec {a_{l}}}\perp {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ détermine entièrement ${\vec {a}}$

En effet on doit avoir ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}\perp$ à ${\vec {OM}}$ si M est un point du support de ${\vec {a}}$ . Donc M est dans le plan $\perp$ en O à ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ Le support de ${\vec {a}}$ est donc dans ce plan, condition compatible avec la donnée de ${\vec {a_{l}}}$ puisque ${\vec {a_{l}}}\perp {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$

On doit avoir

$|{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}|=|{\vec {a_{l}}}|\cdot d$ ce qui détermine $d$ de façon unique si ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$

D'ou deux supports possibles pour ${\vec {a}}$ , symétriques par rapport à O dans (P) le plan perpendiculaire en O de ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$
Le sens du vecteur ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ permet de choisir parmi les deux, celui à retenir.

Si $|{\vec {a_{l}}}|=0$ , le problème est impossible si par hypothèse de départ du raisonnement : ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}\neq {\vec {0}}$
Sinon: ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\vec {0}}$ ;Indétermination.
La solution est n'importe quel vecteur glissant
Les deux vecteurs ${\vec {a_{l}}}$ et : ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ tel que : ${\vec {a_{l}}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}=0$ (Produit scalaire) , sont appelés coordonnées vectorielles du glissant de ${\vec {a}}$ par rapport au point O.
On les représente usuellement avec origine en O , bien qu'ils soient libres pour marquer que le vecteur moment (tout au moins) est relatif au point O choisi.

(à suivre)

Théorèmes relatifs au calcul des moments[modifier | modifier le code]

Théorème 1[modifier | modifier le code]

Le moment de ${\vec {a}}$ (vecteur glissant) , par rapport à O' est égal à la somme de son moment par rapport à O et du moment par rapport à O' d'un vecteur équipolent dont le support passerait par O.

Soit:

{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}={\vec {O'O}}\wedge {\vec {a}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}

. (mème ordre O'....O)

Démonstration:
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}={\vec {O'M}}\wedge {\vec {a}}$
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}=({\vec {O'O}}+{\vec {OM}})\wedge {\vec {a}}$
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}={\vec {O'O}}\wedge {\vec {a}}+{\vec {OM}}\wedge {\vec {a}}$ .
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o'}{\vec {a}}={\vec {O'O}}\wedge {\vec {a}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ .

Théorème 2 dit de Varignon[modifier | modifier le code]

Le moment en O de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moment en O de ces différents vecteurs.
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}})={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {b}}+.....+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {l}}$

Démonstration.
Soient plusieurs vecteurs ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}}$ , le point M , point de concour de ces différents vecteurs, O un point de l'espace. Nous pouvons écrire:
${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}})={\vec {OM}}\wedge ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}})$

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}})={\vec {OM}}\wedge {\vec {a}}+{\vec {OM}}\wedge {\vec {b}}+...+{\vec {OM}}\wedge {\vec {l}}$

On en déduit:

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},....{\vec {l}})={\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {b}}+.....+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {l}}$

Moment d'un glissant par rapport à un axe orienté.[modifier | modifier le code]

Soit $x'x$ un axe orienté et O un point fixe quelconque de $x'x$

Soit : ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$

Posons: $Y(O)=Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ qui est grandeur réelle

Soit un point $O_{1}$ et donc :: ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o_{1}}{\vec {a}}$

Posont: $Y(O_{1})=Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o_{1}}{\vec {a}}$ qui est une grandeur réelle

nous savons que

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o_{1}}{\vec {a}}={\vec {O_{1}O}}\wedge {\vec {a}}+{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ .

${\vec {O_{1}O}}\wedge {\vec {a}}$ (produit vectoriel) est un vecteur $\perp {\vec {O_{1}O}}$ et $\perp {\vec {a}}$

D'ou

${\vec {O_{1}O}}\wedge {\vec {a}}$ (produit vectoriel) est un vecteur $\perp$ au plan formé par ces deux vecteurs. Ce vecteur est donc $\perp x'x$

Proj_{/x'x}{\vec {O_{1}O}}\wedge {\vec {a}}=0

Il résulte que ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ et : ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o_{1}}{\vec {a}}$ ont même projection sur $x'x$ et par suite $Y(O)=Y(O_{1})$ .

Autrement dit $Y(O)$ est indépendant du choix du point O sur $x'x$ .

On pose alors

{\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}=Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}

avec O point quelconque de

x'x

Cette grandeur réelle est appelée moment du glissant ${\vec {a}}$ par rapport à l'axe $x'x$

Remarques importantes[modifier | modifier le code]

1°.Remarque[modifier | modifier le code]

${\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}$ est un scalaire (réel) alors que ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ est un vecteur.

2°.Remarque[modifier | modifier le code]

${\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {0}}$ ou ${\vec {a}}//{\vec {x'x}}$ ou ${\vec {a}}$ rencontre ${\vec {x'x}}$

3°.Remarque[modifier | modifier le code]

Le théorème de Varignon s'établit ainsi: Le moment par rapport à $x'x$ de la somme de plusieurs vecteurs concourants est égal à la somme des moments par rapport à $x'x$ de ces différents vecteurs.

4°.Remarque[modifier | modifier le code]

Si ${\vec {a}}={\vec {a_{1}}}+{\vec {a_{2}}}$ avec ${\vec {a_{1}}}\perp x'x$ et ${\vec {a_{2}}}//x'x$

D'après Varignon: ${\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}={\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a_{1}}}+{\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a_{2}}}$

${\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a_{2}}}=Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a_{2}}}$ avec O point quelconque de $x'x$

$Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a_{2}}}=0$ ...car ${\vec {a_{2}}}//x'x$

Conclusion:

Si : ${\vec {a_{1}}}\perp x'x$ et ${\vec {a_{2}}}//x'x$ alors ${\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}=0$

Le moment d'un vecteur par rapport à un axe est égal au moment de la projection de ce vecteur sur un plan $\perp$ à l'axe

Déterminant

(à suivre)

Expression analytique; coordonnées scalaires d'un glissant.[modifier | modifier le code]

Soit ${\vec {a}}={\begin{Bmatrix}X\\Y\\Z\end{Bmatrix}}$ les composantes de ${\vec {a}}$ qui sont aussi les composantes de ${\vec {a_{l}}}$ introduit çi-dessus.

Soit $M={\begin{Bmatrix}x\\y\\z\end{Bmatrix}}$ les coordonnées de M , un point du support de ${\vec {a}}$

Le repère est orthonormé direct et O l'origine des coordonnées.

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\vec {OM}}\wedge {\vec {a}}$

${\vec {O}}M\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x&y&z\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=(yZ-zY){\vec {i}}+(zX-xZ){\vec {j}}+(xY-yX){\vec {k}}$

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\begin{Bmatrix}L=(yZ-zY)\\M=(zX-xZ)\\N=(xY-yX)\end{Bmatrix}}$

Compte tenu de la relation suivante: ${\overline {{\mathcal {M}}_{/x'x}{\vec {a}}}}={\overline {Proj_{/x'x}{\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}}}$

On remarque que $\ L,M,N$ peuvent s'exprimer comme suit:

${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\begin{Bmatrix}L={\mathcal {M}}_{/ox}{\vec {a}}\\M={\mathcal {M}}_{/oy}{\vec {a}}\\N={\mathcal {M}}_{/oz}{\vec {a}}\end{Bmatrix}}$

Les scalaires $\ X,Y,Z,L,M,N,$ sont appelés coordonnées scalaires du glissant ${\vec {a}}$

Ce sont les composates respectivement des vecteurs ${\vec {a_{l}}}$ et ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}$ qui constituent les coordonnées vectorielles du glissant par rapport à O.

Ces coordonnées sont liées par

${\vec {a_{l}}}\cdot {\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}=0\Leftrightarrow \ LX+MY+NZ=0$

Six réels $\ X,Y,Z,L,M,N,$ peuvent donc toujours être considérés comme les coordonnées d'un glissant à condition quil vérifie la condition: $\ LX+MY+NZ=0$ .

Remarques[modifier | modifier le code]

1°.remarque: glissant nul[modifier | modifier le code]

Glissant nul : $\ L=X=M=Y=N=Z=0$

2°.remarque: interprétation de la condition LX+MY+NZ=0[modifier | modifier le code]

Interprétation de la condition: $\ LX+MY+NZ=0$

Considérons le système ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}_{/o}{\vec {a}}={\begin{Bmatrix}L=(yZ-zY)\\M=(zX-xZ)\\N=(xY-yX)\end{Bmatrix}}$ ou $\ x,y,z$ sont les inconnues.

Nous avons donc un système de trois équation avec trois inconnus que l'on peut résoudre par la méthode de Cramer

${\begin{matrix}L=(+x0+yZ-zY)\\M=(-xZ+y0+zX)\\N=(+xY-yX+0Z)\end{matrix}}$ Déterminant = $\Delta ={\begin{vmatrix}0&Z&-Y\\-Z&0&X\\Y&-X&0\end{vmatrix}}=0$

Système de Cramer de rang <3
Alors si $\ X,Y,Z$ non tous nuls, rang 2.(on peut tirer les déterminants d'ordre $2\neq 0$ ).
Supposons par exemple $\ Z\neq 0$
On forme la caractéristique ${\mathcal {C}}$
$\ C={\begin{vmatrix}0&Z&L\\-Z&0&M\\Y&-X&N\end{vmatrix}}$
$\ C=0\Leftrightarrow LXZ+MYZ+NZ^{2}=0$
$Z\neq 0$
Division par $\ Z$ possible $\ LX+MY+NZ=0$ qui n'est autre que la condition (..) , indétermination d'ordre $\ n-2=1$ ;sinon impossibilité. (à revoir)

3°.remarque: moment /O' autre que l'origine O.[modifier | modifier le code]

Cas ou l'on prend le moment par rapport à O', autre que l'origine O.

Soit $\ O'={\begin{Bmatrix}x'\\y'\\z'\end{Bmatrix}}$ les coordonnées de $\ O'$

Soit $M={\begin{Bmatrix}x\\y\\z\end{Bmatrix}}$ les coordonnées de $\ M$

Soit ${\vec {a}}={\begin{Bmatrix}X\\Y\\Z\end{Bmatrix}}$ les composantes de ${\vec {a}}$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\vec {O'M}}\wedge {\vec {a}}$

On peut écrire le pseudo-déterminant:

${\vec {O'M}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x-x'&y-y'&z-z'\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y-y')Z-(z-z')Y]{\vec {i}}+[(z-z')X-(x-x')Z]{\vec {j}}+[(x-x')Y-(y-y')X]{\vec {k}}$

Qui permet de connaitre les composantes du vecteur moment ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}$

${\begin{matrix}L'=[(y-y')Z-(z-z')Y]\\M'=[(z-z')X-(x-x')Z]\\N'=[(x-x')Y-(y-y'X]\end{matrix}}$

On peut aussi utiliser la formule donnant ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}$ en fonction de ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a}}}}$ , il suffit d'ajouter les composantes de deux vecteurs figurant au second membre de la relation çi-dessous.

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a}}}}+{\vec {O'O}}\wedge {\vec {a}}$

Qui peut s'écrire:

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a}}}}-{\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}$

${\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x'-x&y'-y&z'-z\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y'-y)Z-(z'-z)Y]{\vec {i}}+[(z'-z)X-(x'-x)Z]{\vec {j}}+[(x'-x)Y-(y'-y)X]{\vec {k}}$

Soit $O={\begin{Bmatrix}x=0\\y=0\\z=0\end{Bmatrix}}$ les coordonnées de O ,origine.

${\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}$ devient,en remplaçant $\ x,y,z$ par leur valeur $\ =0$ .

${\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x'-x&y'-y&z'-z\\X&Y&Z\end{vmatrix}}=[(y')Z-(z')Y]{\vec {i}}+[(z')X-(x')Z]{\vec {j}}+[(x')Y-(y')X]{\vec {k}}$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a}}}}-{\vec {OO'}}\wedge {\vec {a}}$ a donc pour composantes:

{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a}}}}={\begin{Bmatrix}L'\\M'\\N'\end{Bmatrix}}

={\begin{Bmatrix}L\\M\\N\end{Bmatrix}}

-{\begin{Bmatrix}y'Z-z'Y\\z'X-x'Z\\x'Y-y'X\end{Bmatrix}}

Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.[modifier | modifier le code]

Systèmes de glissants définitions.[modifier | modifier le code]

Ensemble formé par un certain nombre de glissants supposé ,dans un premier temps, en nombre fini, soit $\ n$ .
Tel que : ${\vec {a}}_{1},a_{2},...a_{n}$ et soit $\ (S)$ un tel système.

"Résultante générale" du système
C'est un vecteur Libre défini par la relation vectorielle çi-dessous

${\vec {R}}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {a}}_{i}$

Moment résultant en O du système.[modifier | modifier le code]

C'est la somme des moments en $\ O$ des différents vecteurs du système.

{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}\ (S)}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{1}}}}}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{2}}}}}+...+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{n}}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{i}}}}}

S'il n'y apas d'ambiguité sur le système nous le noterons :| ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}}}$ |.

Par définition:
C'est un vecteur libre, toutefois on conviendra de le considérer comme un vecteur lié d'origine $\ O$ , pour marquer qu'il est attaché au point $\ O$ .

Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.[modifier | modifier le code]

Coordonnées vectorielles d'un système de glissant[modifier | modifier le code]

${\overrightarrow {\mathcal {R}}}$ . Résultante du système de glissants

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}}}$ . Moment résultant

Coordonnées scalaires d'un système de glissant[modifier | modifier le code]

Au total, six composantes: trois composantes pour la résultante ${\overrightarrow {\mathcal {R}}}$ et trois composantes pour le moment / à un point ${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}}}$ .

${\overrightarrow {\mathcal {R}}}={\begin{Bmatrix}X=\sum _{i=1}^{n}\ X_{i}\\Y=\sum _{i=1}^{n}\ Y_{i}\\Z=\sum _{i=1}^{n}\ Z_{i}\end{Bmatrix}}$

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}}}={\begin{Bmatrix}L=\sum _{i=1}^{n}\ L_{i}\\M=\sum _{i=1}^{n}\ M_{i}\\N=\sum _{i=1}^{n}\ N_{i}\end{Bmatrix}}$

Remarque[modifier | modifier le code]

$\ L,M,N,$ sont appellés moments résultants du système de glissants / aux axes $\ ox,oy,oz,$ respectivement: chacun est la somme des moments des différents vecteurs / à l'axe correspondant.

Systèmes de glissants conséquences.[modifier | modifier le code]

Plusieurs systèmes de glissants[modifier | modifier le code]

Si on constitue un système par la réunion de plusieurs autres, les moments et les résultantes générales s'ajoutent (résulte immédiatement de l'associativité de la somme vectorielle).

Moments résultants du système en deux points différents de l'espace[modifier | modifier le code]

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a_{1}}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{1}}}}}+{\vec {O'O}}\wedge {\vec {a_{1}}}$ . (mème ordre O'....O)

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a_{2}}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{2}}}}}+{\vec {O'O}}\wedge {\vec {a_{2}}}$ .

..........

${\underline {{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{\vec {a_{n}}}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{\vec {a_{n}}}}}+{\vec {O'O}}\wedge {\vec {a_{n}}}}}$ .

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}\ {(S)}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}\ {(S)}}}+{\vec {O'O}}\wedge {\vec {R}}$ .

Cas particulier du couple[modifier | modifier le code]

Si pour un système $\ (S),{\vec {R}}={\vec {0}}$ ,ceci implique :

${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}\ {(S)}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}\ {(S)}}}$ , quelque soient $\ O$ et $\ O'$ .

On peut alors nommer ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}$ la valeur commune à tous les moments.

Si de plus ${\overrightarrow {\mathcal {M}}}\neq {\vec {0}}$ , le système est appelé un couple.

Le moment résultant peut dans ce cas être considéré comme libre puisqu'il ne dépend pas du point $\ O$

$\ (S)couple\Leftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\vec {R}}={\vec {0}}\\{\overrightarrow {\mathcal {M}}}\neq {\vec {0}}\end{Bmatrix}}$

Cas de deux vecteurs parallèles[modifier | modifier le code]

Le système constitué par deux vecteurs de mème module strictement parallèles , opposés,en tant que vecteurs libres forment un couple

La réunion de plusieurs couples est un couple

Le moment est la somme des moments des différents couples (résultat immédiat d'après la définition).

Invariants d'un système de glissants. Axe central.[modifier | modifier le code]

Invariants[modifier | modifier le code]

Invariant local.[modifier | modifier le code]

supposons ${\vec {OO'}}//{\vec {R}}$
Alors ${\vec {O'O}}\wedge {\vec {R}}={\vec {0}}$ , par définition ,( ${\vec {O'O}}\wedge {\vec {R}}=|OO'|.|R|.\sin \theta )$ avec $\theta =0$
${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{S}}}={\vec {O'O}}\wedge {\vec {R}}+{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{S}}}$ .
Devient
${\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o'}{S}}}={\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{/o}{S}}}$ .
Théorème
Le moment résultant est invariant le long de toute $\ //$ à la résultante générale. (Invariant local).

Invariant intégral[modifier | modifier le code]

Equiprojectivité.[modifier | modifier le code]

Axe central.(cas ou ${\vec {R}}={\vec {0}}$ )[modifier | modifier le code]

Systèmes équivalents, réduction d'un système[modifier | modifier le code]

Système équivalents[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Propriété fondamentale.[modifier | modifier le code]

Réduction d'un système de glissant.[modifier | modifier le code]

Systèmes particuliers[modifier | modifier le code]

Système de vecteurs parallèles, centre des vecteurs parallèles.[modifier | modifier le code]

Plans et droites[modifier | modifier le code]

Introduction -Généralités[modifier | modifier le code]

La notion d'espace de la Géométrie[modifier | modifier le code]

Espace de la géométrie Euclidienne. Espace vectoriel associé par le choix d'une origine.[modifier | modifier le code]

Etude de E v l {\displaystyle E_{vl}} . Base de dimension indépendante dans E v l {\displaystyle E_{vl}} [modifier | modifier le code]

Changement de base pour E v l {\displaystyle E_{vl}} (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)[modifier | modifier le code]

Coordonnées homogènes, espace arquésien. (Girard Desargues)[modifier | modifier le code]

Point imaginaires[modifier | modifier le code]

Géométrie affine et géométrie métrique.[modifier | modifier le code]

Rappels importants[modifier | modifier le code]

Projections[modifier | modifier le code]

Cosinus directeur d'une direction[modifier | modifier le code]

Relation entre cosinus directeur et paramètre directeur.[modifier | modifier le code]

Changement d'axes en système orthonormé; matrice des neuf cosinus.[modifier | modifier le code]

Cas particulier de la géométrie plane[modifier | modifier le code]

Autres système de coordonnées.[modifier | modifier le code]

Coordonnées polaires(géométrie plane)[modifier | modifier le code]

Coordonnées cylindriques ou semi polaires.[modifier | modifier le code]

Coordonnées sphériques (espace).[modifier | modifier le code]

Courbes et surfaces, généralités[modifier | modifier le code]

Choix d'un système de coordonnées en vue d'une étude analytique.[modifier | modifier le code]

Généralités sur les courbes[modifier | modifier le code]

Généralités sur les surfaces[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel, produit mixte.[modifier | modifier le code]

Produit vectoriel.[modifier | modifier le code]

Produit mixte.[modifier | modifier le code]

Vecteurs glissants, système de vecteur glissants .(torseur)[modifier | modifier le code]

Moments et coordonnées d'un vecteur glissant.[modifier | modifier le code]

Rappels[modifier | modifier le code]

Moment d'un glissant par rapport à un point O.[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Remarque[modifier | modifier le code]

Théorèmes relatifs au calcul des moments[modifier | modifier le code]

Théorème 1[modifier | modifier le code]

Théorème 2 dit de Varignon[modifier | modifier le code]

Moment d'un glissant par rapport à un axe orienté.[modifier | modifier le code]

Remarques importantes[modifier | modifier le code]

1°.Remarque[modifier | modifier le code]

2°.Remarque[modifier | modifier le code]

3°.Remarque[modifier | modifier le code]

4°.Remarque[modifier | modifier le code]

Expression analytique; coordonnées scalaires d'un glissant.[modifier | modifier le code]

Remarques[modifier | modifier le code]

1°.remarque: glissant nul[modifier | modifier le code]

2°.remarque: interprétation de la condition LX+MY+NZ=0[modifier | modifier le code]

3°.remarque: moment /O' autre que l'origine O.[modifier | modifier le code]

Système de glissant ou torseur, définitions et conséquences.[modifier | modifier le code]

Systèmes de glissants définitions.[modifier | modifier le code]

Moment résultant en O du système.[modifier | modifier le code]

Coordonnées du système par rapport à un trièdre d'origine O.[modifier | modifier le code]

Coordonnées vectorielles d'un système de glissant[modifier | modifier le code]

Coordonnées scalaires d'un système de glissant[modifier | modifier le code]

Remarque[modifier | modifier le code]

Systèmes de glissants conséquences.[modifier | modifier le code]

Plusieurs systèmes de glissants[modifier | modifier le code]

Moments résultants du système en deux points différents de l'espace[modifier | modifier le code]

Cas particulier du couple[modifier | modifier le code]

Cas de deux vecteurs parallèles[modifier | modifier le code]

Invariants d'un système de glissants. Axe central.[modifier | modifier le code]

Invariants[modifier | modifier le code]

Invariant local.[modifier | modifier le code]

Invariant intégral[modifier | modifier le code]

Equiprojectivité.[modifier | modifier le code]

Axe central.(cas ou R → = 0 → {\displaystyle {\vec {R}}={\vec {0}}} )[modifier | modifier le code]

Systèmes équivalents, réduction d'un système[modifier | modifier le code]

Système équivalents[modifier | modifier le code]

Définition[modifier | modifier le code]

Propriété fondamentale.[modifier | modifier le code]

Réduction d'un système de glissant.[modifier | modifier le code]

Systèmes particuliers[modifier | modifier le code]

Système de vecteurs parallèles, centre des vecteurs parallèles.[modifier | modifier le code]

Plans et droites[modifier | modifier le code]

Etude de $E_{vl}$ . Base de dimension indépendante dans $E_{vl}$ [modifier | modifier le code]

Changement de base pour $E_{vl}$ (ou changement d'axes en coordonnées cartésienne)[modifier | modifier le code]

Axe central.(cas ou ${\vec {R}}={\vec {0}}$ )[modifier | modifier le code]