Utilisateur:Jean-Christophe BENOIST/Rotation relativiste

En physique, la rotation relativiste est l'étude des phénomènes relativistes (c'est à dire des phénomènes physiques quand sont mis en jeu des vitesses approchant la vitesse de la lumière, ou la lumière elle-même) dans des référentiels animé d'un mouvement de rotation, ou - ce qui revient au même - du point de vue d'un observateur au repos sur un disque en rotation. La rotation relativiste recouvre notamment l'étude de paradoxes et d'effets comme le paradoxe d'Ehrenfest, l'effet Sagnac ou la détermination de la géométrie de l'espace-temps dans ces référentiels.

La relativité dans un référentiel en rotation a fait l'objet d'études et de débats dès 1909, quelques années après la publication de l'article fondateur de la relativité restreinte par Albert Einstein et se poursuivent de nos jours. La rotation relativiste a également joué un rôle important dans la genèse de la relativité générale : en 1916, dans son article fondateur de la relativité générale, Einstein cite le cas du disque en rotation et de son périmètre pour justifier la nécessité d'utiliser des géométries non euclidiennes pour décrire les phénomènes de gravitation ou d'accélération.

Une approche "standard" ou "traditionnelle" du traitement de la rotation relativiste, est fondée sur une hypothèse de localité qui permet une analyse à l'aide de la relativité restreinte. On considère que le disque en rotation est représenté par une infinité de référentiels comobiles, infinitésimaux dans l'espace et le temps, rendant chacun de ces référentiels localement inertiels et donc soumis aux lois de la relativité restreinte.

Mais des problèmes avec cette approche subsistent et le sujet est toujours débattu et vivant de nos jours, sans théorie universellement acceptée de la rotation relativiste. Le problème vient du fait que la définition rigoureuse d'un disque en rotation relativiste, et de ses propriétés, est non-triviale et établie de manière arbitraire. Seule l'expérience peut permettre de déterminer la validité de ces définitions ou propriétés. Les expériences ne sont pas encore suffisantes pour discriminer totalement les hypothèses, mais apportent des éléments significatifs.

Approche standard

Hypothèse de localité

Einstein, dans The meaning of Relativity fait la remarque suivante « On peut toujours considérer qu'une région infiniment petite de l'espace-temps comme Galiléenne. Pour une telle région infiniment petite il existe un référentiel inertiel dans lequel les lois de la relativité restreinte peuvent être considérées comme valides. ». Cette hypothèse est équivalente au principe d'équivalence : ce référentiel, localement inertiel, est en chute libre dans le champ de gravitation.

Ce principe a permis à différents auteurs d'effectuer une analyse standard de la rotation relativiste, étant énoncé sous la forme d'une hypothèse de localité, tenant compte du fait que, en relativité, les notions de temps et de distance n'ont pas de sens absolu, et n'ont de sens que par rapport à des instruments (des règles et des horloges) mesurant ces notions :

Hypothèse de localité : Localement (dans une région infiniment petite de l'espace-temps) ni la gravitation ni l'accélération ne changent la longueur d'une règle ou le rythme d'une horloge standard relativement à ces mêmes instruments appartenant à un référentiel inertiel voisin et comobile.

Cette hypothèse a été utilisé avec succès dans un grand nombre d'applications, et notamment l'étude relativiste des référentiels uniformément et linéairement accélérés.

Le référentiel tournant

Pour étudier un système en rotation, il est plus facile d'utiliser les coordonnées polaires qui simplifient la forme des équations. Un référentiel inertiel $R$ peut être défini par les coordonnées $(r,\varphi ,z,t)$. $(r,\varphi )$ sont les coordonnées polaires sur un plan, $z$ une coordonnée cartésienne orthogonale à ce plan, et $t$ la coordonnée de temps.

Dans ce système de coordonnée l'intervalle d'espace-temps, qui est une valeur fondamentale en relativité qui contient toute l'information sur la physique de la situation, et qui est un invariant relativiste, s'exprime :

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\mathrm {d} \varphi ^{2}-dz^{2}$

Il est possible d'introduire un référentiel alternatif $R'$, le référentiel tournant, a priori adapté à la description d'une rotation :

$(r',\varphi ',z',t')$, défini par les transformations : $(t'=t,r'=r,\varphi '=\varphi -\omega t,z'=z)$, avec $\omega$ une constante décrivant la vitesse de la rotation.

Dans l'approche standard, ce référentiel mathématique est supposé correspondre à la réalité physique du disque en rotation relativiste : un point de coordonnées fixes $(r,\varphi ,z)$ sur un disque immobile aura des coordonnées fixes $(r',\varphi ',z')$ sur le disque en rotation, ce qui correspond aux hypothèses physiques suivantes  :

• Le disque en rotation reste plat (sa forme ne change pas). ($z'=z$)
• Le rayon du disque en rotation reste identique au rayon du disque au repos. ($r'=r$).
• La rotation est "rigide" dans le sens où une ligne droite entre le centre et le bord (un rayon) sur le disque en rotation à un instant t reste une ligne droite lors de la rotation uniforme à tout instant. ($\varphi '=\varphi -\omega t$).

Le choix de la coordonnée temporelle $t'$ est arbitraire. Utiliser le temps propre comme coordonnée de temps globale dans le référentiel tournant mène à une expression de l'intervalle d'espace-temps inutilisable et compliquée. Comme, en relativité, le principe de relativité assure que tout les référentiel sont physiquement équivalents, la coordonnée temporelle peut être choisie librement. Le choix $t'=t$ correspond physiquement à une situation où le temps sur le disque est défini par une synchronisation de type synchronisation d'Einstein entre un point sur le disque et le centre immobile du disque.

Dans le référentiel $R'$, l'intervalle d'espace-temps se calcule en posant que $\mathrm {d} s'^{2}=\mathrm {d} s^{2}$ (invariant relativiste) et en remplaçant les coordonnées dans l'expression de $\mathrm {d} s^{2}$. Cela donne :

$\mathrm {d} s'^{2}=(c^{2}-r'^{2}\omega ^{2})\mathrm {d} t'2-\mathrm {d} r'^{2}-r'^{2}\mathrm {d} \varphi '^{2}-\mathrm {d} z'^{2}-2\omega r'^{2}\mathrm {d} \varphi '\mathrm {d} t'$

Temps propre

Muni de l'expression de l'intervalle d'espace-temps, il est possible de déterminer le temps propre $\tau$ d'un observateur fixe dans le référentiel tournant.

La relation suivante relie le temps propre et l'intervalle d'espace-temps : $\mathrm {d} s'^{2}=c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}$. L'observateur étant fixe dans $R'$, on a $\mathrm {d} r'=\mathrm {d} z'=\mathrm {d} \varphi '=0$. D'où :

$c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=(c^{2}-r'^{2}\omega ^{2})\mathrm {d} t'^{2}$, et donc :

$\mathrm {d} \tau ={\sqrt {1-{\frac {\omega ^{2}r'^{2}}{c^{2}}}}}\mathrm {d} t'$

$\omega r'$ étant la vitesse $v$ de l'observateur dans $R$, on retrouve le facteur de dilatation du temps relativiste ${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$.

Dans l'approche standard, cela signifie que les horloges fixes dans $R'$ évoluent à un rythme de plus en plus lent, vu de $R$, en fonction de leur éloignement du centre. Les horloges concentriques évoluent au même rythme.

Synchronisation des horloges, simultanéité

Un certain nombre de problèmes concernant la rotation relativiste réclament une définition précise de la notion de simultanéité dans le référentiel tournant. Notamment, la détermination de la longueur du périmètre, ou de la courbure de l'espace pour une rotation relativiste, nécessite de faire les mesures sur le disque à un moment donné, figé dans le temps, et de considérer les points de l'espace-temps du disque qui sont simultanés. Il est donc nécessaire de pourvoir déterminer précisément quels sont les points de l'espace-temps du référentiel tournant qui peuvent être qualifiés de simultanés, en fonction des indication de leur horloge locale (chaque point de l'espace-temps est doté virtuellement d'une horloge individuelle). Normalement, quand les horloges d'un référentiel relativiste sont synchronisées par une synchronisation d'Einstein, les événement simultanés sont ceux qui sont désignés par exactement la même heure par leur horloge locale. Mais il s'avère que la synchronisation $t'=t$ n'est pas une véritable synchronisation d'Einstein, et que le critère "les horloges indiquent la même heure" ne fonctionne pas.

De l'hypothèse de localité, il s'ensuit immédiatement qu'une synchronisation d'Einstein peut être réalisée entre deux régions infiniment proches d'un référentiel tournant, et ainsi de suite de proche en proche sur un ensemble de référentiels comobiles. L'approche standard définit une notion de simultanéité de cette manière. Deux événements "simultanés" ne seront alors pas désignés non pas par la même heure avec des horloges synchronisées avec $t'=t$, mais par des heures légèrement décalées, par un facteur $\mathrm {d} t$, fonction de l'écart infinitésimal des deux événements.

Par définition, deux horloges A et B comobiles (immobiles l'une par rapport à l'autre, et donc infinitésimalement proches dans le cas du disque) sont einstein-synchronisées, et les événements désignés par leur horloge locale par un même temps sont simultanés dans le référentiel de ces horloges, quand un signal lumineux émis de A à $t_{0}$ (mesuré par A) atteint B quand B indique $t_{1}={\frac {t_{2}-t_{0}}{2}})$, $t_{2}$ étant le temps de retour à A (mesuré par A) du signal lumineux après avoir été réfléchi par B.

Si $t=t'$ représentait une synchronisation standard, un signal lumineux émis par A à $t_{0}$ atteindrait B, écarté de $\mathrm {d} \varphi$ de A sur le même périmètre, à l'instant (mesuré par B) $t_{1}=t_{0}+\mathrm {d} t,\mathrm {d} t={\frac {r\mathrm {d} \varphi }{c}}$. Or, tel n'est pas le cas.

Le signal lumineux suit une géodésique déterminée par l'équation $\mathrm {d} s'^{2}=0$. Cette équation donne directement, en factorisant $\mathrm {d} t'$ dans la formule de la métrique du référentiel tournant :

$\mathrm {d} t'={\frac {\pm \omega r'^{2}\mathrm {d} \varphi '+{\sqrt {(c^{2}-\omega ^{2}r'^{2})(\mathrm {d} z'^{2}+\mathrm {d} r'^{2})+c^{2}r'^{2}\mathrm {d} \varphi '^{2}}}}{c^{2}-\omega ^{2}r'^{2}}}$

On retrouve bien $\mathrm {d} t={\frac {r\mathrm {d} \varphi }{c}}$ quand $\omega =\mathrm {d} z=\mathrm {d} r=0$.

Avec cet écart de temps, on trouve que deux événements située sur un même périmètre $r$, et écartés de $\mathrm {d} \varphi$ dans le référentiel tournant sont simultanés au sens d'Einstein non quand leur horloge locale (synchronisées avec t'=t) indique la même heure, mais quand leur heure est décalée de :

$\mathrm {d} t={\frac {\omega r^{2}}{c^{2}(1-{\frac {\omega ^{2}r^{2}}{c^{2}}})}}\mathrm {d} \varphi$

On trouve aussi les formulations, équivalentes :

$\mathrm {d} t={\frac {vr}{c^{2}}}\gamma ^{2}\mathrm {d} \varphi$, avec $\gamma$ le facteur de Lorentz et $v=\omega r$, ou encore:

$\mathrm {d} t={\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r\mathrm {d} \varphi$, avec $\beta ={\frac {v}{c}}$.

Il est possible aussi (cela revient au même) de définir une synchronisation des horloges tenant compte de cet écart, sur un même périmètre (r constant) : les horloges sont alors einstein-synchronisées, et les événements simultanés sont désignés par une même heure aux horloges ainsi synchronisées. Le nouveau temps einstein-synchronisé $t^{*}$ se calcule à partir de $t'$ et de $\varphi$ de la manière suivante : $ct^{*}=ct'-\beta \gamma ^{2}r\varphi$.

Pour les événements situés sur un même rayon ($\mathrm {d} \varphi =0$, quel que soit $r$), on retrouve logiquement la simultanéité standard $\mathrm {d} t=0$, car les effets relativistes ne se font pas sentir sur le rayon, perpendiculaire au mouvement.

Ce décalage temporel est dû - fondamentalement - à la géométrie de l'espace-temps du disque en rotation. Celle-ci n'affecte pas seulement les signaux lumineux, mais tout phénomène se produisant dans cet espace-temps, même infra-luminique. Par exemple, si on effectuait un transport lent le long de la circonférence d'une horloge synchronisée avec $t'=t$ à côté d'une autre horloge pareillement synchronisée, on constaterait aussi un écart $\Delta t=\beta \gamma ^{2}r\Delta \varphi$ quand les deux horloges seraient côte à côte. Ce décalage n'est pas dû à des effets de dilatation du temps dû au transport, que on a cherché à rendre négligeable par un transport lent, mais par le fait que l'espace et le temps du laboratoire ne sont pas orthogonaux dans la géométrie de l'espace-temps du disque en rotation : un déplacement dans l'espace implique un décalage supplémentaire dans le temps, indépendant de la vitesse.

Cette non-orthogonalité de l'espace et du temps du laboratoire est matérialisée par le terme en $\mathrm {d} \varphi '\mathrm {d} t'$ dans l'expression de la métrique $\mathrm {d} s'$. D'ailleurs, une autre manière de calculer le décalage temporel est de chercher l'expression de $\mathrm {d} t$ qui annule ce terme non diagonal, rendant ainsi le temps orthogonal à l'espace.

Décalage temporel ("time gap"), effet Sagnac

Si on effectue cette synchronisation d'Einstein des horloges, tenant compte de l'écart $\mathrm {d} t$, de proche en proche sur tout le périmètre du disque, on se retrouve avec un décalage total sur le périmètre de $\Delta t=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r\mathrm {d} \varphi =2\pi {\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r$. Ce décalage sur une boucle fermée ("time gap" en anglais) est $-\Delta t$ si on effectue la synchronisation dans le sens opposé ($\varphi$ négatifs).

Cette approche provoque une difficulté pour l'horloge de référence située à la coordonnée $\varphi =0$ ou, ce qui revient au même, $\varphi =2\pi$. Comment synchroniser cette horloge  ? Par définition, étant l'horloge de référence à partir de laquelle on effectue une synchronisation d'Einstein de proche en proche, son décalage est nul. Mais, de proche en proche sur une boucle fermée, on revient à cette même horloge et on doit lui donner un décalage de $\Delta t=2\pi {\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r$. En d'autres termes, cette horloge peut être vue comme désynchronisée avec elle-même, ou encore comme devant indiquer plusieurs heures différentes, décalées de multiples entiers de $\Delta t$.

Pour donner un ordre de grandeur de ce décalage, il est de l'ordre de 207 ns pour le périmètre de la Terre, étant donné sa circonférence et sa vitesse de rotation, à comparer avec le temps pris par la lumière pour faire le tour de la Terre qui est de 134 ms. Ce décalage est pris en compte par le système de navigation GPS car le négliger pourrait générer au maximum des imprécisions de l'ordre de 62 m.

L'effet Sagnac est, selon l'approche standard, intimement lié à ce décalage temporel. Cet effet se met en évidence en émettant à un même temps $t'$ deux signaux lumineux à partir d'un point sur le bord d'un disque en rotation, l'un dans le sens de rotation du disque, l'autre dans le sens opposé, et en faisant en sorte que ces signaux suivent la circonférence du disque (par un jeu de miroirs par exemple). Ces signaux sont détectés au point d'émission, et effectuent donc un tour complet du disque dans des sens opposés. On constate un décalage temporel entre la réception des deux signaux (se mesurant par un déphasage et des franges d'interférence), fonction de la vitesse de rotation du disque. Cet effet mérite une interprétation, car un des postulat de base de la théorie de la relativité, est que la vitesse de la lumière est constante, quel que soit le référentiel inertiel, et indépendante de la vitesse de sa source.

Aux horloges einstein-synchronisées du périmètre, les signaux lumineux mettent bien le même temps $t^{*}$ pour atteindre leur point d'émission, et la vitesse de la lumière est constante quelle que soit la direction. Mais le déphasage est mesuré dans le laboratoire fixe où règne le temps $t=t'$. Ce temps $t$ ayant un décalage temporel de $\Delta t=2\pi {\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r$ au point d'émission par rapport à $t^{*}$, on trouve dans le référentiel du laboratoire un décalage total de $4\pi {\frac {\beta \gamma ^{2}}{c}}r$, qui est le décalage mesuré de l'effet Sagnac.

Selon cette interprétation, le déphasage de l'effet Sagnac est dû au fait que des événements qui sont simultanés dans le référentiel einstein-synchronisé (rencontre des deux signaux lumineux à leur point de départ) ne le sont pas dans le référentiel fixe du laboratoire.

Une étape vers la relativité générale

Dès 1909, quelques années seulement après la publication de l'article fondateur de la relativité restreinte par Albert Einstein, le physicien Paul Ehrenfest met en évidence un paradoxe lié à l'application de la relativité restreinte dans les référentiels tournants : le paradoxe d'Ehrenfest. Ce paradoxe souligne le fait qu'un disque en rotation devrait voir la longueur de sa circonférence (animée d'une vitesse relativiste) modifiée par le phénomène de contraction des longueurs, tandis que son rayon, perpendiculaire au mouvement, ne subirait pas cette contraction, selon les lois de la relativité restreinte. Le rapport entre la circonférence et le diamètre de ce disque ne serait plus donc π, ce qui est pourtant une relation fondamentale en mathématiques, et surtout en géométrie euclidienne. Selon Ehrenfest, la circonférence du disque devrait se voir diminuée par rapport à la circonférence au repos, par contraction des longueurs.

Le disque étant considérée rigide et géométriquement équivalent qu'il soit en rotation ou non, la circonférence physique du disque, en revanche, ne se contracte pas : il faut donc d'avantage de règles infinitésimales du bord pour mesurer la circonférence du disque en rotation que pour mesurer la circonférence d'un disque fixe : la longueur de la circonférence augmente telle que mesurée par les règles du bord, vue dans le référentiel fixe. La longueur de la circonférence en rotation est $l'=2\gamma \pi r'$, $\gamma$ étant le facteur de Lorentz avec $v=\omega r'$ et $r'=r$, rayon du disque, le même en rotation ou fixe.

Les règles sur la circonférence du disque se contractent : il en faut d'avantage pour couvrir la circonférence que de règles fixes.

Einstein ne participe pas aux discussions sur la paradoxe d'Ehrenfest, mais dans son article fondateur de la relativité générale, en 1916, il reprend ce problème et en fait un argument majeur pour justifier l'utilisation de géométries non euclidiennes pour décrire l'espace-temps en relativité générale.

Le raisonnement est le suivant, fondé sur l'hypothèse de localité  : un référentiel comobile avec la circonférence du disque n'est pas inertiel, mais accéléré, et d'après le principe d'équivalence cela est localement équivalent à être soumis à de la gravitation ; donc les phénomènes mis à jours sur ce disque en rotation relativiste sont des phénomènes qui ont lieu dans le cadre d'une gravitation relativiste. L'utilisation d'une géométrie non-euclidienne s'impose donc, l'usage d'une métrique de Minkowski modifiée est centrale, la contraction des longueurs, le ralentissement du temps sont à prévoir, une désynchronisation des horloges, et le principe de relativité met à jour des paradoxes apparents.

Courbure spatiale

Étant donné la nature non-euclidienne de l'espace d'un disque en rotation relativiste, mis en évidence par le paradoxe d'Ehrenfest, il est naturel de se demander quelle est sa courbure gaussienne (un espace non-euclidien possède une courbure, contrairement à un espace euclidien, plat).

Étant donné que le référentiel tournant est décrit dans un espace-temps de Minkowski, plat, et que la métrique du référentiel tournant n'est que le résultat d'un changement mathématique de coordonnées, l'espace-temps résultant du référentiel tournant est nécessairement plat également. On suppose que le disque tournant ne possède pas une masse suffisante pour courber notablement l'espace-temps.

En revanche, l'espace seul, considéré à un instant donné t, peut très bien posséder une courbure. Il est donc nécessaire, pour déterminer la courbure de l'espace du référentiel tournant, de spécifier une synchronisation permettant de déterminer quels sont les points de l'espace-temps qui sont simultanés (puisque on considère une "tranche" d'espace à un instant t). Le découpage de l'espace-temps en 3 dimensions d'espace et 1 dimension de temps, et l'expression de la courbure de l'espace, dépend donc entièrement du choix de la synchronisation.

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