Utilisateur:Arijdoc/Brouillon

Les deux conditions suivantes sont nécessaire et suffisante pour l'existence d'un processus ponctuel déterminantal

• Symetrie de $\rho _{k}$:Il faut que $\rho _{k}$soit stable sous le groupe symetrique ${\mathfrak {S}}_{k}$:

$\quad \quad \rho _{k}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})=\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k}),\quad \forall \sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}.$

• Positivité:Pour tout entier N et toute famille de fonctions mesurables, bornées et à support compact

$\quad \quad \quad \rho :\mathbb {X} ^{k}\longrightarrow \mathbb {R}$, $k=1,...,N$,

on a, si

$\quad \quad \quad \varphi _{0}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{i_{1}\neq \cdots \neq i_{k}}\varphi _{k}(x_{i_{1}}\ldots x_{i_{k}})\geq 0,$

alors,

$\quad \quad \quad \varphi _{0}+\sum _{i=1}^{N}\int _{\mathbb {X} ^{k}}\varphi _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\geq 0.$

Une condition suffisante pour l'unicité de processus ponctuel déterminantal de fonction de corrélation $\rho _{k}$est la suivante:

$\quad \quad \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k!}}\int _{A^{k}}\rho _{k}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,{\textrm {d}}x_{1}\cdots {\textrm {d}}x_{k}\right)^{-{\frac {1}{k}}}=+\infty$.

1  Enoncé du critère de Johansson

On se place sur un espace métrique $\Omega$(séparable, complet) muni de sa tribu borélienne et d’une mesure de référence μ. Soit N fixé, on considère $(\varphi _{i})_{\{1\leq i\leq N\}},(\psi _{i})_{\{1\leq i\leq N\}}$ des fonctions mesurables telles que pour tout i,j est μ-mesurable. Supposons que tout $(X_{1},...,X_{N})\in \Omega ^{N}$admet une densité par rapport à $\mu ^{\otimes N}$de la forme

This may also be written as

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{\!-{\frac {\nu +1}{2}}}\!,$

where B is the Beta function. In particular for integer valued degrees of freedom $\nu$ we have:

For $\nu >1$ even,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot$

For $\nu >1$ odd,

${\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}\cdot \!$

The probability density function is symmetric, and its overall shape resembles the bell shape of a normally distributed variable with mean 0 and variance 1, except that it is a bit lower and wider. As the number of degrees of freedom grows, the t-distribution approaches the normal distribution with mean 0 and variance 1. For this reason ${\nu }$ is also known as the normality parameter.The following images show the density of the t-distribution for increasing values of $\nu$. The normal distribution is shown as a blue line for comparison. Note that the t-distribution (red line) becomes closer to the normal distribution as $\nu$ increases.

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Cela peut aussi être écrit comme

$f(t)={\frac {1}{{\sqrt {k}}\,\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {k}{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{k}}\right)^{\!-{\frac {k+1}{2}}}\!,$

où B est la fonction Beta. En particulier pour les degrés de liberté à valeurs entières k on a:

Pour tout k>1 impair,

${\frac {\Gamma ({\frac {k+1}{2}})}{{\sqrt {k\pi }}\,\Gamma ({\frac {k}{2}})}}={\frac {(k-1)(k-3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {k}}(k-2)(k-4)\cdots 4\cdot 2\,}}\cdot$

La fonction de densité de probabilité est symétrique, sa forme générale ressemble à celle d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centée réduite.

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How Student's distribution arises from sampling

Let $X_{1},\cdots ,X_{n}$ be independent and identically distributed as $N(\mu ,\sigma ^{2})$, i.e. this is a sample of size $n$ from a normally distributed population with expected mean value $\mu$ and variance $\sigma ^{2}$.

Let

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

be the sample mean and let

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

be the (Bessel-corrected) sample variance. Then the random variable

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

has a standard normal distribution (i.e. normal with expected value 0 and variance 1), and the random variable

${\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}$

(where $S$ has been substituted for $\sigma$ ) has a Student's t-distribution with $n-1$ degrees of freedom. Note that the numerator and the denominator in the preceding expression are independent random variables, which can be proven by induction.

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Soit $X_{1},\cdots ,X_{n}$ des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi normale d'espérance ${\displaystyle \mu }$et de variance ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Soit ${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$alors ${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$ suit une loi normale standard (i.e. une loi normal d’espérance 0 et de variance 1) et ${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$ suit une loi de student avec n- degrés de libertés.

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