Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones

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En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein[1] établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

Énoncé[modifier | modifier le code]

La « monotonie totale » d'une fonction sur signifie qu'elle est indéfiniment dérivable sur cet intervalle et que pour tout entier naturel  :

On dit aussi que est complètement monotone sur [Note 1]. On dit qu'elle est complètement monotone sur si elle est de plus définie et continue à droite en .

La moyenne pondérée peut alors être caractérisée[2] :

Théorème — Une fonction est complètement monotone sur (resp. ) (si et) seulement s'il existe une fonction croissante (resp. et bornée) [Note 2] telle que pour tout (resp. ) :

,

l'intégrale étant une intégrale de Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur [3]. Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder[4], ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Hausdorff, dans sa solution au problème des moments, avait déjà caractérisé les suites complètement monotones.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernstein's theorem on monotone functions » (voir la liste des auteurs).

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Une fonction est donc complètement monotone si et seulement si la fonction est « absolument monotone », c.-à-d. a toutes ses dérivées positives (Widder 1946, p. 145).
  2. Autrement dit : une fonction de répartition d'une mesure de Borel positive (resp. et finie) sur .

Références[modifier | modifier le code]

  1. S. N. Bernstein, « Sur les fonctions absolument monotones », dans Acta Math., 1928, p. 1-66 (lire en ligne).
  2. (en) David Vernon Widder, The Laplace Transform, PUP, , 2e éd. (1re éd. 1941) (lire en ligne), p. 160-163, th. 12.a et 12.b.
  3. Christiane Cocozza-Thivent, Processus stochastiques et fiabilité des systèmes, Springer, (lire en ligne), p. 397.
  4. (en) Marcelo G. Cruz, Gareth W. Peters et Pavel V. Shevchenko, Fundamental Aspects of Operational Risk and Insurance Analytics, John Wiley & Sons, (lire en ligne), p. 439.

Liens externes[modifier | modifier le code]