Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones

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En analyse fonctionnelle, une branche des mathématiques, le théorème de Bernstein, établit que toute fonction à valeurs réelles sur la demi-droite [0, ∞) qui est totalement monotone est une combinaison (dans un cas important, une moyenne pondérée ou une espérance mathématique) d'exponentielles.

La monotonie totale (on dit aussi complète) d'une fonction f signifie que la relation :

est vérifiée pour tous les entiers naturels n et tous les réels t ≥ 0[1]. La moyenne pondérée peut alors être caractérisée : il existe une mesure de Borel positive ou nulle sur [0, ∞), avec une fonction de répartition g telle que :

l'intégrale étant une intégrale de Stieltjes.

Dans un langage plus abstrait, le théorème caractérise les transformées de Laplace des mesures de Borel positives sur [0,∞). Sous cette forme, il est connu sous le nom de théorème de Bernstein-Widder, ou de Hausdorff-Bernstein-Widder. Hausdorff, dans sa solution au problème des moments, avait déjà caractérisé les suites complètement monotones.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. On trouve (plus souvent, en fait) la définition , équivalent en considérant la fonction ; g est alors dite complètement monotone.

Références[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Completely Monotonic Function », MathWorld