Problème des moments

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En analyse mathématique, étant donnés un intervalle réel et une suite de réels, on peut se demander s'il existe sur une mesure de Borel (donc positive) telle que pour tout entier naturel ,

et, le cas échéant, si une telle mesure est unique. Si cette mesure existe, elle représente alors la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle dont les moments sont les nombres .

Cette question est appelée « problème des moments » :

  • de Hamburger si l'intervalle est tout entier ;
  • de Stieltjes s'il est égal à  ;
  • de Hausdorff si est un segment .

Existence[modifier | modifier le code]

L'existence d'une mesure de Borel sur répondant au problème équivaut à la condition de positivité suivante sur la suite  : les matrices de Hankel associées à cette suite, définies par

,

doivent être toutes positives.

Pour l'existence d'une mesure de Borel à support dans un segment donné , il existe une condition nécessaire et suffisante de forme similaire.

Unicité[modifier | modifier le code]

  • L'unicité de pour le problème des moments de Hausdorff se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass.
  • Le problème de l'unicité quand l'intervalle est non borné est une question plus délicate ; voir les articles « Condition de Carleman (en) », « Condition de Krein (en) » et la référence Akhiezer 1965.
  • La réponse est négative dans le cas général. Voici un contre-exemple probabiliste donné par William Feller. On considère la fonction définie par (densité de la loi log-normale de paramètres 0 et 1), dont tous les moments existent. On démontre que cette loi n'est pas déterminée par ses moments.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  • (en) James Alexander Shohat et Jacob Tamarkin, The Problem of Moments, New York, AMS,
  • (en) Naum Akhiezer (trad. du russe par N. Kemmer), The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, New York, Hafner Publishing,
  • (en) M. G. Krein et A. A. Nudelman (trad. du russe par D. Louvish), The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development, Providence (RI), AMS, coll. « Translations of Mathematical Monographs » (no 50),

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorème de Bernstein sur les fonctions totalement monotones

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Moment Problem », MathWorld