Suite équidistribuée

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En mathématiques, une suite de nombres réels est dite équidistribuée ou uniformément répartie si la proportion de termes qui se retrouvent dans un sous-intervalle est proportionnelle à la longueur de cet intervalle. De telles suites sont étudiées dans la théorie approximation diophantienne et dans diverses applications de la méthode de Monte-Carlo.

Définition[modifier | modifier le code]

Une suite {s1, s2, s3, ...} de nombres réels est dite équidistribuée sur un intervalle [a, b] si, pour tout sous-intervalle [c, d] de [a, b], on a :

.

(Ici, la notation |{s1,...,sn }∩[c,d]| désigne le nombre d'éléments, parmi les premiers éléments n de la suite, qui sont compris entre c et d)

Par exemple, si une suite est équirépartie dans [0, 2], étant donné que l'intervalle [0,5 ; 0,9] occupe 1/5 de la longueur de l'intervalle [0, 2], n devient plus large, la proportion du premier n des membres de la suite qui se situent entre 0,5 et 0,9 doit approcher 5/1. Grosso modo, on peut dire que chaque membre de la suite est également susceptible de tomber partout dans cet intervalle. Toutefois, cela ne veut pas dire que {sn} est une suite de variables aléatoires ; c'est une suite déterminée de nombres réels.

Écart[modifier | modifier le code]

On définit l'écart DN pour une suite {s1, s2, s3, ...} par rapport à l'intervalle [a, b], sous la forme :

Une suite est donc équidistribuée si l'écart DN tend vers zéro lorsque N tend vers l'infini.

L'équirépartition est un critère assez faible pour exprimer le fait qu'une suite remplit le segment laissant aucun espace. Par exemple, les dessins d'une variable aléatoire uniforme sur un segment seront équirépartis sur le segment, mais il y aura de grands écarts par rapport à une suite qui énumère d'abord les multiples de ε dans le segment, pour une petite ε, de manière appropriée, puis continue de le faire pour des valeurs plus petites et plus petites de ε.

Critère de l'intégral de Riemann pour l'équidistribution[modifier | modifier le code]

Rappelons que si f est une fonction ayant une intégrale de Riemann dans l'intervalle [a, b], son intégrale sera donc la limite des sommes de Riemann prises par l'échantillonnage de la fonction f dans un ensemble de points choisis parmi une fine partition de l'intervalle. Par conséquent, si une suite est équirépartie dans [a, b], il est prévu que cette suite peut être utilisée pour calculer l'intégrale d'une fonction de l'intégrale de Reimann. Cela conduit au critère suivant[1] pour une suite équidistribuée :

Supposons que {s1, s2, s3, ...} est une suite contenue dans l'intervalle [a , b]. Les conditions suivantes sont donc équivalentes :

  1. La suite est équirépartie sur [a, b].
  2. Pour toute intégrale de Riemann, la fonction f : [ab] → C, la limite suivante est vérifiée :
.

Ce critère amène à l'idée de l'intégration de Monte-Carlo, où les intégrales sont calculées en prélevant la fonction sur une suite de variables aléatoires équiréparties sur l'intervalle.

En fait, le théorème de Bruijn-Post indique l'inverse du critère ci-dessus : si f est une fonction telle que le critère est valable pour toute suite équidistribuée dans [a, b], alors, f est une intégrale de Riemann dans [a, b][2].

Équidistribution modulo 1[modifier | modifier le code]

Une suite {a1, a2, a3, ...} de nombres réels est dite équidistribuée modulo 1 ou uniformément répartie modulo 1 si la suite des parties fractionnaires de an, notées {an} ou an - ⌊an⌋, est équidistribuée dans l'intervalle [0, 1].

Exemples[modifier | modifier le code]

Illustration du remplissage de l'intervalle unitaire (abscisse) en utilisant les premiers termes n de la suite de Van der Corput, pour n de 0 à 999 (ordonnée). Le dégradé de couleur est dû au crénelage.
0, α, 2α, 3α, 4α, ...
est équidistribuée modulo 1[3].
  • Plus généralement, si p est un polynôme avec au moins un coefficient irrationnel (autre que le terme constant), alors la suite p(n) est uniformément répartie modulo 1.
Cela a été prouvé par Weyl[4].
  • La suite log(n) n'est pas uniformément distribuée au modulo 1[3].
  • La suite de tous les multiples d'un irrationnel α par les nombres premiers successifs,
2α, 3α, 5α, 7α, 11α, ...
est équidistribuée modulo 1. Ceci est un théorème célèbre de la théorie analytique des nombres, publié par Vinogradov en 1948[5].
  • La suite Van der Corput est équidistribuée[6].

Critère de Weyl[modifier | modifier le code]

Le critère de Weyl indique que la suite de an est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout nombre entier non nul ℓ,

Le critère est nommé et formulé par Hermann Weyl[7]. Il permet de réduire les questions d'équirépartition aux limites sur les sommes exponentielles, une méthode générale et fondamentale.

Généralisations[modifier | modifier le code]

  • Une forme quantitative du critère de Weyl est donnée par l'inégalité d'Erdős-Turán (en).
  • Le critère de Weyl s'étend naturellement à des dimensions supérieures, en supposant que la généralisation naturelle de la définition de l'équirépartition modulo 1 :

La suite vn de vecteurs dans Rk est équidistribuée modulo 1 si et seulement si, pour tout vecteur non nul où ℓ ∈ Zk,

Exemple d'usage[modifier | modifier le code]

Le critère de Weyl peut être utilisé pour prouver facilement le théorème d'équirépartition, indiquant que la suite des multiples 0, α, 2α, 3α, ... d'un certain nombre réel α est équidistribuée modulo 1 si et seulement si α est irrationnel[3].

Supposons que α est irrationnel et représentent notre suite par aj =  (où j commence de 0, pour simplifier la formule ultérieurement). Soit  ≠ 0 un entier. Comme α est irrationnel, ℓα ne peux donc pas être entier. Donc n'équivaudra jamais 1. En utilisant la formule pour la somme d'une série géométrique finie,

une borne ne dépend pas de n. Par conséquent , après la division par n et en laissant n tend vers l'infini, d'une autre part tend vers zéro, et le critère de Weyl est vérifié.

À l'inverse, notez que si α est rationnel, alors cette suite n'est pas équidistribuée modulo 1, parce qu'il n'y a qu'un nombre fini d'options pour la partie fractionnaire de aj = jα.

Théorème de la différence de van der Corput[modifier | modifier le code]

Le théorème de Johannes van der Corput[8] indique que si, pour tout h, la suite sn+h − sn est uniformément répartie modulo 1, alors il en sera de même pour sn[9],[10],[11].

Un ensemble de van der Corput est un ensemble H d'entiers tels que, si pour tout h de H la suite sn+h − sn est uniformément répartie modulo 1, alors on peut conclure qu'il en sera de même pour sn[10],[11].

Théorèmes métriques[modifier | modifier le code]

Les théorèmes métriques décrivent le comportement d'une suite paramétrée pour presque toutes les valeurs de certains paramètres α : qui est, pour des valeurs de α ne se trouvant dans un certain ensemble des mesures nulles de Lebesgue.

  • Pour toute suite de nombres entiers distincts bn, la suite {bnα} est équidistribuée modulo 1 pour presque toutes les valeurs de α[12].
  • La suite {αn} est équidistribuée mod 1 pour presque toutes les valeurs de α > 1[13].

On ne sait pas si les suites {en} ou {πn} sont équidistribuées mod 1. Cependant on sait que {αn} n'est pas équidistribué mod 1, si α est un nombre de Pisot.

Suite bien distribuée[modifier | modifier le code]

Une suite {s1, s2, s3, ...} de nombres réels est dite bien répartie sur [a, b] si, pour un sous-intervalle [c,d] de [a, b], nous avons

uniformément en k. Il est clair que toute suite bien distribuée est uniformément répartie mais que la réciproque est fausse.[réf. souhaitée]

Suites équiréparties par rapport à une mesure arbitraire[modifier | modifier le code]

Pour tout espace mesuré , une suite de points est dite équidistribuée par rapport à si la moyenne des mesures ponctuelles converge faiblement vers [14] :

.

Il est vrai, par exemple, que pour toute mesure de probabilité borélienne sur un espace métrisable séparable, il existe une suite équidistribuée (par rapport à la mesure).

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equidistributed sequence » (voir la liste des auteurs).
  1. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 2-3.
  2. (en) http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf, Theorem 8.
  3. a b et c Kuipers et Niederreiter 2006, p. 8.
  4. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 27.
  5. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 129.
  6. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 127.
  7. (de) H. Weyl, « Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins », Math. Ann., vol. 77, no 3,‎ , p. 313–352 (DOI 10.1007/BF01475864).
  8. (de) J. van der Corput, Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins, vol. 56, Springer Netherlands, , 373–456 p. (ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02545780, zbMATH 57.0230.05).
  9. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 26.
  10. a et b Montgomery 1994, p. 18.
  11. a et b (en) Hugh L. Montgomery, Twentieth century harmonic analysis–a celebration. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Il Ciocco, Italy, July 2–15, 2000, vol. 33, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, coll. « NATO Sci. Ser. II, Math. Phys. Chem. », (zbMATH 1001.11001), « Harmonic analysis as found in analytic number theory », p. 271-293.
  12. Cf. (de) Felix Bernstein, Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem, vol. 71, (DOI 10.1007/BF01456856), chap. 3, p. 417-439.
  13. J. F. Koksma (de), « Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins », Compositio Mathematica, vol. 2,‎ , p. 250–258 (zbMATH 61.0205.01, lire en ligne).
  14. Kuipers et Niederreiter 2006, p. 171.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]