Racine carrée de sept

La racine carrée de 7 est le nombre réel positif qui, multiplié par lui-même, donne le nombre premier 7. On l'appelle plus précisément racine carrée principale de 7, pour le distinguer du nombre négatif ayant la même propriété. Il se note √7 ou 7^1/2.

C'est un nombre algébrique irrationnel. Ses soixante premières décimales sont :

2,64575131106459059050161575363926042571025918308245018036833....

ce qui peut être arrondi à 2,646 avec une précision d'environ 99,99 % . La valeur approchée $127 / 48$ (≈ 2,645833...) est meilleure malgré un dénominateur de seulement 48.

Plus d’un million de décimales de la racine carrée de sept ont été publiés^[1].

Approximations rationnelles[modifier | modifier le code]

Développements décimaux[modifier | modifier le code]

Les méthodes d'extraction des décimales des racines carrées utilisent la racine carrée de 7 comme exemple ou exercice dans les manuels scolaires depuis des centaines d'années. Nombres de chiffres après la virgule obtenus : 5 en 1773 ^[2] et 1852^[3], 3 en 1835 ^[4], 6 en 1808 ^[5] et 7 en 1797 ^[6]. Une obtention de décimales par la méthode de Newton a été illustrée en 1922, concluant que √7 vaut 2,646 « au millième près » ^[7].

Développements en fraction continue[modifier | modifier le code]

Pour obtenir une famille de bonnes approximations rationnelles, la racine carrée de 7 peut être exprimée sous forme de fraction continue simple :

[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+\dots }}}}}}}}}}

, les coefficients formant la suite A010121 de l'OEIS.

Les réduites successives de cette fraction continue sont :

{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},{\frac {5}{2}},{\frac {8}{3}},{\frac {37}{14}},{\frac {45}{17}},{\frac {82}{31}},{\frac {127}{48}},{\frac {590}{223}},{\frac {717}{271}},\dots

Leurs numérateurs en sont 2, 3, 5, 8, 37, 45, 82, 127, 590, 717, 1307, 2024, 9403, 11427, 20830, 32257… suite A041008 de l'OEIS, et les dénominateurs 1, 1, 2, 3, 14, 17, 31, 48, 223, 271, 494, 765, 3554, 4319, 7873, 12192… suite A041009 de l'OEIS.

Chaque réduite est une meilleure approximation rationnelle de √7 ; en d'autres termes, elle est plus proche de √7 que n’importe quel rationnel de dénominateur plus petit. Le nombre de décimales correctes augmente linéairement à raison de moins d'un chiffre par pas :

{\frac {2}{1}}=2,0\,;\quad {\frac {3}{1}}=3,0\,;\quad {\frac {5}{2}}=2,5\,;\quad {\frac {8}{3}}=2,66\dots ;\quad {\frac {37}{14}}=2,6429...;\quad {\frac {45}{17}}=2,64705...;\quad {\frac {82}{31}}=2,64516...;\quad {\frac {127}{48}}=2,645833...;\quad \ldots

Une réduite sur quatre, en commençant par $8 / 3$ , vérifie l'équation de Pell-Fermat :

x^{2}-7y^{2}=1

.

√7 se développe aussi sous la fraction continue généralisée : ${\sqrt {7}}=2+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {3}{4+\ddots }}}}}}$ .

Suite de Héron[modifier | modifier le code]

√7 est la limite de la suite de Héron définie par $x 1 = 3$ et $x n +1 = 1 / 2 (x n + 7 / x n)$

x_{1}=3,\quad x_{2}={\frac {8}{3}}=2,66...,\quad x_{3}={\frac {127}{48}}=2,6458...,\quad x_{4}={\frac {32257}{12192}}=2,645751312...,\quad x_{5}={\frac {2081028097}{786554688}}=2,645751311064591...,\quad \dots

Tous les termes sauf le premier satisfont à l’équation de Pell-Fermat ci-dessus.

Cette méthode est équivalente à la méthode de Newton pour la recherche de la solution positive de l'équation $f(x)=x^{2}-7=0$ . La suite associée est définie par $x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n}),$ ce qui s'écrit bien $x_{n+1}=(x_{n}+7/x_{n})/2$ . La suite converge quadratiquement (nombre de chiffres décimaux proportionnel au carré du nombre de pas newtoniens ou babyloniens).

Géométrie[modifier | modifier le code]

En géométrie plane, la racine carrée de 7 peut être construite à la règle et au compas via la suite de rectangles illustrée ci-contre ^[8]^,^[9]^,^[10].

Le rectangle englobant minimal d'un triangle équilatéral de longueur d'arête 2 a une diagonale de longueur √7^[11].

Le nombre 7 étant le plus petit entier >0 qui n'est pas somme de trois carrés (voir le théorème des trois carrés) , √7 est la plus petite racine carrée d'un entier naturel qui ne peut pas être la distance entre deux points quelconques d'un réseau cubique entier (ou de manière équivalente, la longueur de la diagonale d'un parallélépipède rectangle de longueurs de côtés entières). √15 est le nombre suivant de ce type.

En dehors des mathématiques[modifier | modifier le code]

Au revers du billet d'un dollar américain actuel, le rectangle intérieur est le rectangle ayant une diagonale de 6 pouces et un rapport longueur/largeur égal à √7 ^[12]; il est donc de largeur $3 / \sqrt 2$ ≈ 2,121 pouces et de longueur $3 \sqrt 7 / \sqrt 2$ ≈ 5,612 pouces.

Voir également[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 7 » (voir la liste des auteurs).

↑ Robert Nemiroff et Jerry Bonnell, The square root of 7, 2008 (lire en ligne)
↑ Alexander Ewing, Institutes of Arithmetic: For the Use of Schools and Academies, Edinburgh, T. Caddell, 1773 (lire en ligne), p. 104
↑ Joseph Ray, Ray's Algebra, Part Second: An Analytical Treatise, Designed for High Schools and Academies, Part 2, Cincinnati, Sargent, Wilson & Hinkle, 1852 (lire en ligne), p. 132
↑ Ebenezer Bailey, First Lessons in Algebra, Being an Easy Introduction to that Science..., Russell, Shattuck & Company, 1835, 212–213 p. (lire en ligne)
↑ James Thompson, The American Tutor's Guide: Being a Compendium of Arithmetic. In Six Parts, Albany, E. & E. Hosford, 1808 (lire en ligne), p. 122
↑ William Hawney, The Complete Measurer: Or, the Whole Art of Measuring. In Two Parts. Part I. Teaching Decimal Arithmetic ... Part II. Teaching to Measure All Sorts of Superficies and Solids ... Thirteenth Edition. To which is Added an Appendix. 1. Of Gaging. 2. Of Land-measuring, London, 1797, 59–60 p. (lire en ligne)
↑ George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper, Fundamentals of Practical Mathematics, Ginn and Company, 1922 (lire en ligne), p. 113
↑ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, Whitefish, MT, Kessinger Publishing, 1920 (1^re éd. 1920), 19–29 (ISBN 0-7661-7679-7, lire en ligne) :
« Dynamic Symmetry root rectangles. »
↑ Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, Courier Dover Publications, 1977, 126–127 (ISBN 9780486235424, lire en ligne )
↑ Rachel Fletcher, Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature, George F Thompson Publishing, 2013 (ISBN 978-1-938086-02-1, lire en ligne)
↑ William Blackwell, Geometry in Architecture, Key Curriculum Press, 1984 (ISBN 9781559530187, lire en ligne), p. 25
↑ Ken McGrath, The Secret Geometry of the Dollar, AuthorHouse, 2002, 47–49 p. (ISBN 9780759611702, lire en ligne).

Portail des mathématiques

[million-1] Robert Nemiroff et Jerry Bonnell, The square root of 7, 2008 (lire en ligne)

[2] Alexander Ewing, Institutes of Arithmetic: For the Use of Schools and Academies, Edinburgh, T. Caddell, 1773 (lire en ligne), p. 104

[3] Joseph Ray, Ray's Algebra, Part Second: An Analytical Treatise, Designed for High Schools and Academies, Part 2, Cincinnati, Sargent, Wilson & Hinkle, 1852 (lire en ligne), p. 132

[bailey-4] Ebenezer Bailey, First Lessons in Algebra, Being an Easy Introduction to that Science..., Russell, Shattuck & Company, 1835, 212–213 p. (lire en ligne)

[thompson-5] James Thompson, The American Tutor's Guide: Being a Compendium of Arithmetic. In Six Parts, Albany, E. & E. Hosford, 1808 (lire en ligne), p. 122

[hawney-6] William Hawney, The Complete Measurer: Or, the Whole Art of Measuring. In Two Parts. Part I. Teaching Decimal Arithmetic ... Part II. Teaching to Measure All Sorts of Superficies and Solids ... Thirteenth Edition. To which is Added an Appendix. 1. Of Gaging. 2. Of Land-measuring, London, 1797, 59–60 p. (lire en ligne)

[wentworth-7] George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper, Fundamentals of Practical Mathematics, Ginn and Company, 1922 (lire en ligne), p. 113

[hambidge-8] Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, Whitefish, MT, Kessinger Publishing, 1920 (1^re éd. 1920), 19–29 (ISBN 0-7661-7679-7, lire en ligne) :
« Dynamic Symmetry root rectangles. »

[ghyka-9] Matila Ghyka, The Geometry of Art and Life, Courier Dover Publications, 1977, 126–127 (ISBN 9780486235424, lire en ligne )

[fletcher-10] Rachel Fletcher, Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture, and Nature, George F Thompson Publishing, 2013 (ISBN 978-1-938086-02-1, lire en ligne)

[blackwell-11] William Blackwell, Geometry in Architecture, Key Curriculum Press, 1984 (ISBN 9781559530187, lire en ligne), p. 25

[12] Ken McGrath, The Secret Geometry of the Dollar, AuthorHouse, 2002, 47–49 p. (ISBN 9780759611702, lire en ligne).

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