Racine carrée de cinq

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La racine carrée de cinq, notée 5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236.

C'est un irrationnel quadratique et un entier quadratique.

Éléments introductifs[modifier | modifier le code]

Définition, notation et prononciation[modifier | modifier le code]

  • 5 se prononce « racine carrée de cinq » ; se prononçait aussi « radical de cinq ».
  • 5 se note également 51/2 (notation Unicode : 5½).

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

5 vaut approximativement

Fraction continue[modifier | modifier le code]

Le développement en fraction continue de 5 est [2, 4] (suite A040002 de l'OEIS). Les réduites successives sont donc

Approximation par la méthode de Héron[modifier | modifier le code]

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs ; elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la partie entière de 5,

La méthode de Héron nous indique que

Ici, . Par itérations successives, on obtient :

Le nombre d'or[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 entre dans la composition du nombre d'or

On trouve donc

Preuve de l'irrationalité[modifier | modifier le code]

Supposons que 5 est rationnel et écrivons-le sous la forme d'une fraction irréductible m/n (PGCD(m, n) = 1). L'hypothèse 5 = m/n conduit à 5n2 = m2. Ainsi, 5 divise m2, donc divise m. On peut écrire m = 5r, soit 5n2 = (5r)2 = 25r2, n2 = 5r2, soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m, n) est alors divisible par 5, contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m, n) = 1.

Trigonométrie[modifier | modifier le code]

Comme 2 et 3, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

Formules de Ramanujan[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant des fractions continues généralisées :

Articles connexes[modifier | modifier le code]


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of 5 » (voir la liste des auteurs).