Racine carrée de cinq

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La racine carrée de cinq, notée √5 ou 51/2, est un nombre réel remarquable en mathématiques et valant approximativement 2,236.

C'est un nombre algébrique et irrationnel.

Éléments introductifs[modifier | modifier le code]

Définition, notation et prononciation[modifier | modifier le code]

  • √5 se prononce « racine carrée de cinq » ; se prononçait aussi « radical de cinq ».
  • √5 se note également 51/2 : « Cinq puissance un demi ». (notation Unicode : 5½)

Valeur approchée[modifier | modifier le code]

√5 vaut approximativement 2,23606798 dans le système décimal, 10.0011110001101111 dans le système binaire et 2.3C6EF372FE94F82C dans le système hexadécimal.

\sqrt 5 \approx 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089

Fraction continue[modifier | modifier le code]

√5 peut s'écrire sous la forme d'une fraction continue.
\sqrt 5=2 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots\qquad{}}}}}

Approximation par la méthode de Héron[modifier | modifier le code]

La méthode de Héron permet de calculer la valeur approchée d'une racine carrée avec une grande précision et en peu de calculs, elle est applicable à la racine carrée de 5.

Prenons la première valeur approchée de √5 qui vaut 2.
x_{0}=2
Et la méthode de Héron nous indique que x_{n+1} = \frac{x_n+ \frac{A}{x_n}}{2}.

Ici, A=5. Par itérations successives, on obtient :

  • x_{1}=\frac{2+\tfrac{5}{2}}{2}=2,25
  • x_{2}=\frac{2,25+\tfrac{5}{2,25}}{2}\approx 2,2361
  • x_{3}=\frac{2,2361+\tfrac{5}{2,2361}}{2}\approx \sqrt 5

Le nombre d'or[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 entre dans la composition du nombre d'or, celui-ci vérifiant \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

On trouve donc \sqrt{5} = 2 \varphi -1
et \sqrt{5} = \varphi +\frac{1}{\varphi}

Preuve de l'irrationalité[modifier | modifier le code]

Supposons que \sqrt{5} est rationnel et écrivons le sous la forme d'une fraction réduite \frac{m}{n} (PGCD(m,n)=1).

\sqrt{5}=\frac{m}{n}

conduit à :

5n^2=m^2

5 divise donc m^2, donc divise m. On peut écrire m=5m'. Soit :

5n^2=(5m')^2
5n^2=25m'^2
n^2=5m'^2

Soit 5 divise n. Cela nous conduit à une absurdité puisque PGCD(m,n)=5 contradictoirement avec l'hypothèse PGCD(m,n)=1.

Trigonométrie[modifier | modifier le code]

Comme \sqrt{2} et \sqrt{3}, la racine carrée de 5 est présente dans les formules pour les constantes trigonométriques exactes incluant des angles en degrés divisibles par 3 mais pas par 15. Les plus simples sont :

\sin\frac{\pi}{10}=\sin 18^\circ=\tfrac{1}{4}\left(-1+\sqrt5\right),\,
\sin\frac{\pi}{5}=\sin 36^\circ=\tfrac14\sqrt{2(5-\sqrt5)},\,
\sin\frac{3\pi}{10}=\sin 54^\circ=\tfrac14(1+\sqrt5),\,
\sin\frac{2\pi}{5}=\sin 72^\circ=\tfrac14 \sqrt{2 (5+\sqrt5)}\, .

Formules de Ramanujan[modifier | modifier le code]

La racine carrée de 5 est présente dans plusieurs formules données par Srinivasa Ramanujan impliquant les fractions continues :


\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}}
= \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).



\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}}
= \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}.



4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx
= \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.