Résidu d'un entier naturel

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Le résidu[réf. nécessaire] ou racine numérique[1] (digital root) d’un entier naturel est la somme des chiffres itérée de ce nombre (pour la notation usuelle en base 10), c'est-à-dire que celle-ci est obtenue en additionnant tous les chiffres du nombre initial, puis en additionnant les chiffres du résultat, et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un nombre à un seul chiffre.

Par exemple, dans le cas du nombre 65 536, le résultat est 7 car 6 + 5 + 5 + 3 + 6 = 25, puis 2 + 5 = 7.

La somme des chiffres itérée (en base 10) d'un nombre entier non nul est l'unique nombre entier compris entre 1 et 9 ayant même reste par division euclidienne par 9, c'est-à-dire dans la même classe de congruence modulo 9. En particulier elle fournit un moyen pour calculer ce reste, donc un critère de divisibilité par 9 ou par 3, et peut servir de « somme de contrôle » pour les opérations compatibles avec la relation de congruence modulo 9, dans le cas de la preuve par neuf.

Elle est utilisée, sous le nom de réduction théosophique, dans des contextes non scientifiques comme l'occultisme ou la numérologie[2].

Congruence modulo 9[modifier | modifier le code]

Le nombre 10 et ses puissances successives (100, 1000, etc.) étant congrus à 1 modulo 9, un nombre écrit en base 10 est congru à la somme de ses chiffres (propriétés algébriques des congruences). Ainsi, dans le cas d'un nombre à trois chiffres qui s'écrit abc, comme 10 ≡ 1 (mod 9) et 102 ≡ 12 ≡ 1(mod 9) Cette somme étant nécessairement plus petite que le nombre initial dès que celui-ci a plusieurs chiffres, le procédé itératif se termine sur un nombre à un seul chiffre, non nul dès que l'entier initial est non nul. Celui-ci caractérise la classe de congruence puisqu'il y a exactement 9 chiffres différents de 0 et 9 classes de congruences[3]. On en déduit le reste de la division par 9 du nombre initial, appelé aussi résidu modulo 9 de ce nombre[4].

  • si la somme des chiffres itérée de n est 9, le reste de la division de n par 9 est 0 ;
  • sinon, la somme des chiffres itérée de n égale le reste de la division de n par 9.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Preuve par 9[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Preuve par 9.

Des propriétés de compatibilité des congruences sur les entiers avec l'addition et la multiplication, on déduit

  • la somme des chiffres itérée de la somme de deux entiers est la somme des sommes des chiffres itérées de chacun de ses termes ;
  • la somme des chiffres itérée du produit de deux entiers est le produit des sommes des chiffres itérées de chacun de ses termes ;

et donc un procédé qui permet de contrôler le résultat de ces opérations sur les entiers (il permet de repérer certaines erreurs mais pas de garantir que le résultat est correct).

Par exemple : 1 234 + 5 678 = 6 912 et 1 234 × 5 678 = 7 006 652.

La somme des chiffres itérée de 1 234 est 1. Celle des chiffres de 5 678 est 8.

La somme des chiffres itérée de 6 912 est bien 9 = 1 + 8.

La somme des chiffres itérée de 7 006 652 est bien 8 = 1 × 8.

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Toujours en utilisant la caractérisation des classes de congruence modulo 9 par la somme des chiffres itérée, on obtient par exemple que

  • la somme des chiffres itérée d'un carré parfait est 1, 4, 7, ou 9 ;
  • la somme des chiffres itérée d'un multiple de 3 est 3, 6, ou 9 ;
  • la somme des chiffres itérée d'un nombre qui n'est pas multiple de 3, comme par exemple un nombre premier différent de 3, est donc 1, 2, 4, 5, 7, ou 8 ;
  • la somme des chiffres itérée d’une puissance de 2 est 1, 2, 4, 5, 7, ou 8 ;
  • la somme des chiffres itérée d’un nombre parfait pair (excepté 6) est 1 ;
  • la somme des chiffres itérée d'un nombre étoilé est 1 ou 4.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Digital root » (voir la liste des auteurs).

  1. Michael Marshall Smith (trad. B. Domis), Le Livre des nombres irrationnels, Bragelonne, (ISBN 978-2-82050601-6, lire en ligne) — titre original de l'anthologie : More Tomorrow & Other Stories (en).
  2. Observatoire Zététique : la numérologie La réduction théosophique (...) : réduction de tout nombre en un seul chiffre (de 1 à 9), par addition successive de ses chiffres jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'un.
  3. (en)F. M. Hall: An Introduction into Abstract Algebra. 2nd edition, CUP ARchive 1980, (ISBN 978-0-521-29861-2), p. 101 (lire en ligne sur Google Livres)
  4. Par exemple Jacques Stern, La science du secret, Odile Jacob, (lire en ligne), p. 154.