Sommation de Cesàro

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La sommation de Cesàro est, en analyse, une méthode alternative pour assigner une somme à une série. Si la série converge dans le sens usuel, alors la série est également sommable au sens de Cesàro et sa somme de Cesàro est égalé à sa somme « classique ». En revanche, une série qui ne converge pas peut avoir une somme de Cesàro bien définie.

La sommation de Cesàro porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859–1906).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit :

  • une suite réelle ;
  • la somme partielle d'ordre k de la série , somme des k premiers termes de .

On dit que la série est sommable au sens de Cesàro si la valeur moyenne de ses sommes partielles Sk tend vers  :

.

A est alors la somme de Cesàro de la série. En d'autres termes, la somme de Cesàro d'une série est la limite de la moyenne arithmétique de ses n premières sommes partielles quand n tend vers l'infini.

D'après le lemme de Cesàro, toute série convergente est sommable au sens de Cesàro, et sa somme de Cesàro est égale à la somme de la série. En revanche, il existe des séries divergentes qui sont néanmoins sommables au sens de Cesàro.

Exemples[modifier | modifier le code]

1 − 1 + 1 − 1 ⋯[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Série de Grandi.

Soit la suite définie par :

Soit G la série correspondante :

Alors la suite des sommes partielles est

Il est ainsi évident que la série G, également connue comme série de Grandi, n'est pas convergente, car elle alterne entre deux valeurs. En revanche, les termes de la suite tn des sommes partielles de sn sont :

Ici, la suite des sommes partielles d'indices pairs t2n est constante égale à 1/2 et celle des sommes partielles d'indices pairs t2n+1 converge vers la même valeur (on a t2n+1 = n/2n –1). Ainsi, on a bien

La somme de Cesàro de la série G est 1/2.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯[modifier | modifier le code]

Article détaillé : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

Soit la suite définie par :

Soit G la série correspondante :

La suite de ses sommes partielles est :

Ce qui en fait une série divergente. Les termes de la suite de la moyenne de ses sommes partielles sont :

Ici, cette suite diverge également : G n'est pas sommable au sens de Cesàro. En fait, pour toute série qui diverge vers l'infini, la méthode de Cesàro conduit à une suite qui diverge de la même façon : une telle série n'est pas sommable au sens de Cesàro.

Sommation (C, α)[modifier | modifier le code]

En 1890, Ernesto Cesàro décrit une famille plus large de méthodes de sommation qui sont depuis appelées (C, n) pour les entiers positifs n. La méthode (C, 0) est la sommation ordinaire, (C, 1) est la sommation de Cesàro décrite ci-dessus. Les méthodes d'ordre plus élevées sont décrites ainsi :

Soit la suite an et la série correspondante . On définit les quantités

On définit également les quantités En correspondant aux valeurs An décrites ci-dessus pour la série . Alors, la somme (C, α) de est notée et possède la valeur

si elle existe[1]. Cette description représente l'application de la méthode de sommation initiale itérée α fois et peut être reformulée :

Encore plus généralement, pour , soit donné implicitement par les coefficients de la série

et Eα
n
défini comme précédemment (les Eα
n
sont les coefficients binomiaux de puissance −1 − α). Alors la somme (C, α) de est définie comme précédemment.

L'existence d'une sommation (C, α) implique l'existence de toutes les sommations d'ordre supérieure, ainsi que an = o(nα) si α > −1.

Sommation de Cesàro d'une intégrale[modifier | modifier le code]

Soit α ≥ 0. L'intégrale est (C, α)-sommable au sens de Cesàro si

existe et est finie[2]. La valeur de cette limite, si elle existe, est la somme (C, α) de l'intégrale. Si α = 0, le résultat est la convergence de l'intégrale impropre. Si α = 1, la convergence (C, 1) est équivalente à l'existence de la limite

qui est la limite des moyennes des intégrales partielles.

De façon similaire aux séries, si une intégrale est (C,α)-sommable pour une valeur α ≥ 0, elle est également (C,β)-sommable pour tout β > α, et la valeur de la limite résultante est la même.

Annexes[modifier | modifier le code]

Liens internes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. Shawyer et Watson 1994, p. 16-17.
  2. Titchmarsh 1948, p. §1.15.